第七章后半部分改完优秀课件.ppt
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1、第七章后半部分改完第1页,本讲稿共21页将上述线性方程的根取为根的近似值,即将上述线性方程的根取为根的近似值,即该格式称为方程求根的该格式称为方程求根的Newton迭代格式。迭代格式。若若 ,过,过 处的切线方程为处的切线方程为该切线与该切线与X轴的交点为轴的交点为Newton法的几何意义法的几何意义 逐次用切线与逐次用切线与X轴的交点代替曲轴的交点代替曲线与线与X轴的交点。轴的交点。Newton法亦称为切线法法亦称为切线法第2页,本讲稿共21页2.局部收敛性与收敛的阶局部收敛性与收敛的阶定理定理 设设为为的根,在开区间内,连续且,则当 时,Newton迭代格式至少为二阶收敛。该定理说明该定理
2、说明Newton迭代格式:迭代格式:局部收敛性;局部收敛性;收敛收敛 阶至少为二阶;阶至少为二阶;适用于单根。适用于单根。证明 Newton迭代可以看作由迭代可以看作由的同解方程构造的不动点迭代。第3页,本讲稿共21页因此 故 由于在内连续,得在内连续,且 故由迭代局部收敛的充分条件知。Newton迭代法局部是收敛,且至少为二阶收敛。Remark 在Newton迭代中,当初值选的充分接近根,才能保证序列收敛,且迭代为二阶收敛。第4页,本讲稿共21页3 非局部收敛性定理 设,且满足:对,(,不变号)取,使则在内有唯一的根;Newton迭代格式产生的序列收敛于且第5页,本讲稿共21页证明:由在上连
3、续,且,知在内至少有一根。由(即不变号),知在内有唯一的根,且保证了该根为单根。条件和有四种情况。仅就的情况证明。由中值定理,存在使得因在上不变号,因而对即在上单调增。又由,可知第6页,本讲稿共21页又由又由 ,知,知 ,而而 ,得得又由又由 在在 的的Taylor展开式:展开式:其中其中 在在x与与 之间。之间。得得即即 故故第7页,本讲稿共21页一般地,设一般地,设 ,类似可得,类似可得 ,且且 即有即有 因因 单调递减且有下界,则必有极限单调递减且有下界,则必有极限 。对对 取极限,得取极限,得故故Newton迭代格式产生的序列收敛于迭代格式产生的序列收敛于 。由由,得,得故故Newto
4、n迭代具有二阶收敛性迭代具有二阶收敛性。第8页,本讲稿共21页更一般的更一般的非局部收敛定理非局部收敛定理如下:如下:定理定理 设设 在上连续,且在上连续,且对对 则对则对 ,Newton迭代序列迭代序列 收敛于收敛于 在在 内的唯一实根内的唯一实根 。标准牛顿迭代法仅适用于单根的情形。标准牛顿迭代法仅适用于单根的情形。第9页,本讲稿共21页二二 重根情形的牛顿迭代重根情形的牛顿迭代1 标准标准Newton法法设设 为为 的的m 根重根。根重根。在在 的某邻域内有的某邻域内有m阶连续导数,这时阶连续导数,这时 将将 在在 处展开,有处展开,有其中其中 介于介于 与与 之间。之间。第10页,本讲
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