第七章二重积分优秀课件.ppt

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1、第七章二重积分第1页，本讲稿共27页(5)比较定理：比较定理：(6)估值定理：估值定理：(7)积分中值定理：积分中值定理：第2页，本讲稿共27页(9)被积函数的奇偶性与积分区域的对称性被积函数的奇偶性与积分区域的对称性12若若D对称于对称于x 轴，关于变量轴，关于变量y被积函数被积函数 是奇函数，是奇函数，其积分值为其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于；若是偶函数，其积分值两倍于y0 的区域上的积分；的区域上的积分；若若D对称于对称于y 轴，关于变量轴，关于变量x被积函数被积函数 是奇函数，是奇函数，其积分值为其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于；若是偶函数，其积分值两倍于x0 的区域

2、上的积分；的区域上的积分；3第3页，本讲稿共27页011-122-2xyxy-221-1第4页，本讲稿共27页二、二重积分的计算二、二重积分的计算直角坐标系下：直角坐标系下：步骤：步骤：(1)画积分区域的草图，求交点坐标；画积分区域的草图，求交点坐标；（2）根据被积函数及积分区域）根据被积函数及积分区域D的形状选择积的形状选择积分次序分次序:*如果如果D由上下曲线围成，一般先对由上下曲线围成，一般先对y后对后对x积分积分,此时各交点向此时各交点向x轴引垂线并确定垂足坐标；轴引垂线并确定垂足坐标；*如果如果D由左、右曲线围成，一般先对由左、右曲线围成，一般先对x后对后对y积分，此时各交点向轴引垂

3、线并确定垂足积分，此时各交点向轴引垂线并确定垂足坐标；坐标；1.第5页，本讲稿共27页*若若D不是简单区域，用平行于坐标轴的直线穿不是简单区域，用平行于坐标轴的直线穿过区域时交点多于两个，或过区域时交点多于两个，或D内不同的两条平内不同的两条平行于坐标轴的直线穿过区域时会交于不同的两行于坐标轴的直线穿过区域时会交于不同的两条曲线，则要分块积分，此时各交点向坐标轴条曲线，则要分块积分，此时各交点向坐标轴引垂线（若要对引垂线（若要对y积分，交点向积分，交点向x轴引垂线轴引垂线,若要对若要对x积分，交点向积分，交点向y轴引垂线）轴引垂线）.*如果被积函数是如果被积函数是x的不可积函数，则先对的不可积

4、函数，则先对y后后x积分；是积分；是y的不可积函数时，则先对的不可积函数时，则先对x后对后对y积分；积分；*如果二重积分是以二次积分的形式给出的，如果二重积分是以二次积分的形式给出的，一般要更换积分次序。一般要更换积分次序。第6页，本讲稿共27页如果积分区域为：如果积分区域为：a、平行于、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；于两个；b、第7页，本讲稿共27页a、穿过区域且平行于、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多轴的直线与区域边界的交点不多于两个。于两个。b、第8页，本讲稿共27页(3)(3)积分限的确定积分限的确定1若先对若

5、先对y后对后对x积分，则积分，则y的积分限可这样的积分限可这样确定：用平行于确定：用平行于y轴的直线沿轴的直线沿y轴方向穿过轴方向穿过区域，穿进的边界曲线为区域，穿进的边界曲线为下限，穿出的边界曲线为下限，穿出的边界曲线为上限，后对上限，后对x积分其积分限是常量（由交点积分其积分限是常量（由交点向向x轴作垂线的垂足耒确定）轴作垂线的垂足耒确定）第9页，本讲稿共27页2若先对若先对x后对后对y积分，则积分，则x的积分限可这样的积分限可这样确定：用平行于确定：用平行于x轴的直线沿轴的直线沿x轴方向穿过轴方向穿过区域，穿进的边界曲线为区域，穿进的边界曲线为下限，穿出的边界曲线为下限，穿出的边界曲线为

6、上限，后对上限，后对y积分其积分限是常量（由交点积分其积分限是常量（由交点向向y轴作垂线的垂足耒确定）轴作垂线的垂足耒确定）第10页，本讲稿共27页(4)(4)更换积分次序的方法：更换积分次序的方法：12由所给的累次积分上下限列出关于由所给的累次积分上下限列出关于x,y的联立不的联立不等式等式;根据联立不等式画出根据联立不等式画出D的草图（先将不等号换成的草图（先将不等号换成等号画出边界曲线，再用等号画出边界曲线，再用“以点示面以点示面”的方法确定的方法确定积分区域）；积分区域）；3根据积分区域根据积分区域D写出新的积分限。写出新的积分限。2.极坐标系下：极坐标系下：令令第11页，本讲稿共27

7、页步骤：步骤：（1）画出积分区域）画出积分区域D的草图，将的草图，将D的边界曲线的边界曲线的直角坐标方程化极坐标方程的直角坐标方程化极坐标方程;（2）将二重积分化为极坐标系下的二重积分）将二重积分化为极坐标系下的二重积分(3)将极坐标系下的二重积分一般化为先对将极坐标系下的二重积分一般化为先对 r后后对对 的二次积分；的二次积分；（4）积分限的确定：）积分限的确定：先对先对r积分，则从极点作射线穿过区域，穿进的边界曲积分，则从极点作射线穿过区域，穿进的边界曲线的极坐标方程是下限，穿出的线的极坐标方程是下限，穿出的是上限；后对积分其积分限是常量是上限；后对积分其积分限是常量,由过极点的射由过极点

8、的射第12页，本讲稿共27页线自极轴开始反时针旋转到区域的边界或顶点（扫过线自极轴开始反时针旋转到区域的边界或顶点（扫过整个区域）。整个区域）。注注1：在极坐标系下计算二重积分主要适用于积分区：在极坐标系下计算二重积分主要适用于积分区域为园域、园环域、扇形域或边界曲线用极坐标表域为园域、园环域、扇形域或边界曲线用极坐标表示又比较简单，被积函数常为示又比较简单，被积函数常为等形式时，通常将二重积分化为极坐标系下的二重积等形式时，通常将二重积分化为极坐标系下的二重积分耒计算。分耒计算。第13页，本讲稿共27页注注2：几种常见曲线的极坐标方程：几种常见曲线的极坐标方程.-110ra2a00.a2ax

9、yY=x0rr第14页，本讲稿共27页0D-22分析：注意到被积函数只与分析：注意到被积函数只与y有关有关解解1：在直角坐标系下，先：在直角坐标系下，先x对后对对后对y积分积分第15页，本讲稿共27页解解2.化为矩形域上的二重积分减去半圆上的二重积分化为矩形域上的二重积分减去半圆上的二重积分第16页，本讲稿共27页解解:先对先对y后对后对x积分积分第17页，本讲稿共27页先对先对x后对后对y:第18页，本讲稿共27页例例解：解：X-型型第19页，本讲稿共27页解解：（如图）如图）-12例例第20页，本讲稿共27页解：解：积分区域如图积分区域如图xyo231原式原式第21页，本讲稿共27页例计算例计算，解：画图解：画图2o第23页，本讲稿共27页例计算，例计算，是由圆周是由圆周，及直线所围第一象限部分及直线所围第一象限部分解：画图解：画图3131o第24页，本讲稿共27页二重积分课后练习二重积分课后练习第25页，本讲稿共27页第26页，本讲稿共27页第27页，本讲稿共27页