基于随机库存系统的提前期需求分布推导8491.docx

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1、基于随机机库存系系统的提提前期需需求分布布推导摘要对研研究提前前期需求求分布（disstriibuttionn off leead timme ddemaand）的几种种方法，本本文关注注的是其其中的复复合分布布法。为为减少分分析量，大部分已知的分析模型都运用复合分布法，并忽略一些分量的复合性质。本文描述了一个理论检验，并阐明了分析模型时的假设，为研究人员和实践者提供一些预防措施。关键词存存货提前前期需求求复合分分布更新新过程1. 引言提前期需需求分布布是设计计存货管管理系统统的基本本知识，这这使提前前期需求求不断得得到研究究人员和和实践者者的关注注。在随随机存货货模型的的作品中中，关于于LT

2、DD的理论论研究可可被粗略略的分为为三组：第一组组运用多多种理论论分布表表示LTTD，包包括泊松松分布、伽玛分布、正态分布、截略正态分布、对数正态分布、威布尔分布、非参数分布（Poisson, Gamma， Normal, Truncated Normal, Lognormal, Weibull, Non-parametric）等等。第二组试试图适应应包含44个参数数的分布布中的一一个，皮尔逊逊分布或或SchhmeiiserrDeuutscch。这组的的研究者者包括KKotttas和和Lauu (119800)，Kummaraan和Achharyy(19996)，Lauu和Lauu(19993

3、)，Shoore(19999)等等。第三三组尝试试从给定定的需求求分布和和提前期期得到LTTD分布布，包括括Baggchii等人(119844)，Carrlsoon (19882)，Girrlicch (19996)，McFFaddden (19972)，vann deer HHeijjdenn和de Kokk (119988)等。本文的重重点在第第三组方方法，很很明显它它将LTTD分布布视为复复合分布布。如BBagcchi等等人提到到的，复复合分布布法有以以下优势势：（11）复合合分布的的分量能单单独作为为模型，可可以估计计参数；（2）由于于单个分分量有更更简单的的结构，所所以这比比直接用用

4、复合分分布建模模更加可可靠，而而且这种种方法可可充分利利用数据据。以上研究究中，期期间需求求和提前前期被假假定为随随机变量量，LTTD分布布被视为为复合分分布。Baggchii等人提出出了得到到LTDD分布的的方法。OS-OI-LT法首先将订单强度（order intensity）、订单大小（order size）、交货提前期作为主要因素。然后，为减少LTD的分析任务，将其中的两个合并为中间因素。依据此法法的研究究是最让让人满意意的，这这并不让让人奇怪怪。因为为即使只只有两个个随机因因素，复复合分布布的分析析依然是是具有挑挑战性的的。一方方面，对对LTDD分布建建模会出出现大量量的计算算困难，

5、不不易操作作。另一一方面，即使用更简单的LTD分布法建模，也不足以代表真实值。毫无疑问问，我们们会将用用更简单单的分布布法得到到的值作作为近似似值。然然而，我我们需要要研究的的是在什什么情况况下更适适合用更更简单的的方法。本本文并不不旨在评评论复合合分布法法中最常常用的OOS-OOI-LLT法，而而是通过过阐明OOS-OOI-LLT法的的假设和和一些预预防措施施来帮助助研究人人员和实实践者们们在现实实中运用用OS-OI-LT法法。首先，我我们定义义了所研研究的问问题的情情形，将将得到LLTD的的两种分分布法-OOS-OOI-LLT和OS-IT-LT视视为复合合分布法法。然后后从理论论上对两两种

6、方法法进行检检验和比比较。基基于检验验和比较较的结果果，详细细观察了了OS-OI-LT法法的特征征，并指指出在哪哪种情况况下适合合用OSS-OII-LTT法。最后后，我们们在不同同情形下下进行了了对比实实验。2.LTTD的复复合分布布法图1描述述了我们们关注的的情况。顾顾客订单单到达的的时间是是随机的的，假定定下订单单的时间间间隔是是随机的的且相互互独立，由由单位的的数量表表示。假假定订单单大小也也相互独独立，那那么LTTD就是是在LTT顾客需需要的总总单位数数量。如如图1中的LTTD是19。若将0-t之间间的累积积需求定定义为DD（t），那那么LTTD就是是D（LT）。在在存货管管理系统统中

7、，LLT或补充存存货时间间是装满满一个订订单与从从供应商商那里接接到订单单的时间间（LTT0）。图2描述述了两种种得到LLTD的的方法。左左边的方方法是由由Baggchii等人提出出的OSS-OII-LTT法。它它首先通通过订单单强度（OI）、每每个时期期的订单单量和订订单大小小（OS）得得到每单单位时间间的需求求(DPPUT)，即一一个时期期的总需需求。然然后将DDPUTT和LT结合合在一起起就得到到了LTTD。（Baagchhi等人人还提出出过另外外一种方方法，此此法运用用了提前前期订单单饱和度度、由OOI和LT得到到的提前前期订单单数量，然然而由于于这种方方法与OOS-OOI-LLT法基

8、基本相同同，且知知道的人人不多，所所以本文文将此法法略去。）右边的方方法是OOS-IIT-LLT法，常被被用于研研究随机机存货系系统。OOS-IIT-LLT法首首先运用用OS和到达间间隔（IT，连连续订单单间的持持续时间间）得到到D(tt)，然然后联合合D(tt)和LT得到到LTDD。虽然然OS-IT-LT法法在计算算和分析析上较为为棘手，但但它比OOS-OOI-LLT法更更适合我我们考虑虑的情形形。我们们将通过过OS-IT-LT法法来研究究OS-OI-LT法法的特点点。2.1 OSS-ITT-LTT法OS-IIT-LLT法运运用OSS和IT得到到D(tt)，即即在0到t期间的的总需求求。假设

9、设一个订订单大小小的数列列OSi，i=00,1,2,，数列列中每个个OSi都是独独立的，且且有相同同的概率率质量函函数（proobabbiliity masss ffuncctioon） h(.)和和累积分布布函数HH(.)，均值值为mOSS，方差差为s2OS。那那么当tt0时D(tt)可定定义如下下：N（t）是是0到t期间顾顾客的订订单数，N(0)=0，D(0)=0。F(d;t)是D(tt)的分分布函数数，给定定时间tt，令d,t0，则假设数列列ITi,i=0,11,2,为顾客客下订单单的时间间间隔，其其中每个个ITi都相互互独立，服服从相同同的概率率密度函函数g(.)和和分布函函数G(.)

10、，均均值mITT，方差s2IT。非负整整数随机机过程（nonnneggatiiveinteegerr-vaalueed sstocchassticc prroceess）N(t),t0是一一个更新新过程，它它记录了了0到t期间顾顾客下的的订单。设Wn为为第n个订单单发生前前的等待待时间。这里W00=0，IT0=0。等等待时间间过程Wn,n=0,11,2,和再生生过程N(tt),tt0间的的基本联联系是，如如果只有有Wnt，那么么N(tt)n。对于于n,tt0，（4）这里Gnn(t)是G(tt)的n重积分分。当t0时，G0(tt)=11,G11(t)=G(t)。因此，从从（4）中，可可以得到到，

11、当nn,t00时，将（6）代代入2中，得得d,tt0时Hn(dd)是H(dd)的n重积分分，因此此d0时，H0(dd)=11，H1(d)=H(d)。由（7）表表示的DD(t)的累积分布布函数决决定于（5）和（8），通过转化方式可以得到D(t)的更加详细的描述。我们分别用定理1和定理2表示一般的离散型分布和连续型分布（general discrete andcontinuous distributions）。定理1：h(xx)是x的（离离散型）概概率质量量函数，xx=，(x)定义为为，当nn时这里jll是非负负整数，证明：运运用离散散拉普拉拉斯算子子Luu=，得得*是离散散型有限限积分，由由（1

12、00）定义义的是中sj的系数数。定义为指指示函数数（inddicaatorr fuuncttionn），即x=0时，=11，x0时，=0。将将代入（111）中中，得定理2：如果gg(t)是t00时的（连连续型）概概率密度度函数，那么时Gn(t)可大概定义为L是将的的时间等等分成的的数量，jl是非非负整数数，证明：我我们通过过拉格朗朗日插值值多项式式（Laagraangee innterrpollatiingppolyynommiall）pl(t)在点（tti,g(ti)）处处接近gg(t)，。（55）中的的Gn（t）重重新定义义为将拉普拉拉斯算子子Luu=代代入到（115）中中，得其中bnn(

13、k)由（114）定定义，它它是1/sj在中的系系数。将将代入（116），得得到（113）。最后，联联合D(t)和和LT，得得到LTTD。设设L(dd)是LLTD的的累积分分布函数数，LTT服从kk(.)的概率率密度函函数，均均值为mLLT，方差s2LT,则dd0时2.2 OSS-OII-LTT法OS-OOI-LLT法结结合OSS和OII，通过过隐式处处理DPPUT的的复合性性质，减减少了决决定LTTD的分分析任务务。假定定OI服服从概率率质量函函数p(.)，均均值mOII，方差s2OI,那么每每单位时时间的需需求可定定义为其联合概概率分布布（asssocciatted proobabbilii

14、ty disstriibuttionn）为为得出LLTD，OS-OI-LT法将DPUT和LT联合起来。然而，（19）式没有包括时间参数。因此，在OS-OI-LT法中，在0到t时间的总需求D（t）由一段时间的DPUT得到。换句话说，因为DPUT是单位时间的需求，OS-OI-LT法假定D（t）是由和DPUT成比例的时间得到。则d0,t0时与（7）式式相比，（20）表明了OS-OI-LT法通过忽略DPUT的复合性质而减少任务量。最后，得到的LTD与（17）式类似。2.3 对OSS-ITT-LTT法的理理论检验验Bagcchi等等人认为为，为得得到解答答，忽略略OS-OI-LT法法中的中中间分量量的复

15、合合性质可可能需要要支付代代价。然然而，如如果这个个代价不不可接受受，我们们认为最最好还是是考虑其其他方法法。通过过比较这这两种方方法，我我们检验验需求过过程的特特性，并并指出在在何种情情况下，适适合用OOS-OOI-LLT法。在OS-IT-LT法法中，由由于（11）中的的OSii和N（tt）是随随机变量量，所以以D(tt)也是是随机变变量。DD(t)的均值值和方差差为同样，（118）式式中，DDPUTT也是随随机变量量，均值值和方差差为由于OSS-OII-LTT法假定DD（t）是是由和DDPUTT成比例例的时间间得到，OS-OI-LT法法中D(t)的的均值和和方差为为我们运用用方差和和均值的

16、的比值（variance-to-mean ratio） (VMR)来测量需求变化。虽然VMR（也称离差指数）与经常使用的变动系数相比少为人知，但它更易区分离散分布。根据（23）式，OS-OI-LT法基于假定累积需求的VMR是不变的。换句话说，累积需求的均值和方差随着时间以相同比率增加。当（21）中的更新过程是泊松过程时，这个假定是有道理的，换句话说，只有当IT服从指数分布时，OS-OI-LT法和OS-IT-LT法才是相容的。但是，根根据N(t)的的渐近性性态（aasymmptooticc beehavviorrs），N(t)的均值值和方差差的估计计值分别别是t/IT和，这就就意味着着在时间间足

17、够长长的情况况下，无无论ITT服从什什么分布布，两种种方法得得到的DD（t）类类似。基于以上上理论检检验，我我们可以以推断，OOS-OOI-LLT法适适合需求求过程是是复合泊泊淞过程程的情况况。我们们还可以以推断，即即使是其其他情况况，当IIT的均均值IT大到到允许使使用渐近近线时，也也可以用用OS-OI-LT法法。下一一节我们们通过不不同情形形下的对对比实验验来检验验这个推推测。3.对比比试验为检验两两种方法法，我们们进行了了多种情情况下的的对比试试验，见见表1。设IT的的分布为为均匀分分布和指指数分布布，OSS的分布布为均匀匀分布、二二项式分分布和泊泊松分布布。为了了确定LLT的影影响，我

18、我们考虑虑LT=3.0，LT=5.0（ITT）和IT=110.00，IT=220.00（IT）以以及LTT服从指指数分布布的情形形。 图3表表示了表表1中的的不同情情形下DD（t）的的VMRR，可以以看到，随随着时间间的变化化，所有有情形下下的D（tt）的VVMR都都接近一一个固定定值。因因此，我我们可以以推测，如如果考虑虑的时间间足够长长，则两两种方法法得出的的LTDD相似。LTD的的累积分分布函数数L(dd)可用用OS-IT-LT法法有（117）式式得到。然然而，为为了用OOS-OOI-LLT法得得到L(d)（来来自（220）式式中的DD（t）,我们需需要有关关OI和和p(nn)(它它们都

19、很很难进行行分析)的信息息。由于于我们的的单独实实验结果果表明，给给定时间间时，DD（t）向向右倾斜斜，数据据点也进进一步证证实，因因此我们们用伽玛玛分布作作为D（tt）的渐渐进逼近近。又由由于OSS-OII-LTT法基于于假设累累积需求求的VMMR是固固定不变变的，所所以这里里的伽玛玛分布有有一个依依赖于时时间t的的参数。图（4）表表示的是是在表11中的情情形1下下，两种种方法得得出的LL（d）的的对比。第第一个对对比的是是ITU（1.0，99.0），OOSU（155，255），LLTEE（3.0）或或E（110.00）的情情况，第第二个对对比的是是ITU（6.0，114.00），OOSU（

20、155，255），LLTEE（5.0）或或E（220.00）的情情况。这是只解解释一种种对比实实验的结结果，另另一种可可按同样样方式进进行推导导。在图图4中的的第一个个对比中中，LT=33.0（即即LTIT)是是的近似似均值为为4.00。如果果对两种种方法的的近似均均值进行行对比，可可以看到到近似均均值为440的（LTIT）的结果比12（LTIT时，结果将更好。图5-7表示了表1中的其他情形的对比结果。可以看到，它们的结果与图4相似。 图33 图图4 图图5 图图6 图图74.结论论求LTDD分析的的过程涉涉及需求求和LTT，它引引出了复复合分布布，这使使其分析析任务变变得困难难。为减减少任务

21、务量，人人们通过过忽略一一些分量量的复合合性质来来进行研研究，是是这种研研究最成成功的一一点。本本文从理理论上研研究了最最常用的的方法Baagchhi等人人提出的的OS-OI-LT法法，并阐阐明了OOS-OOI-LLT法的的假设。对比OSS-OII-LTT法和OOS-IIT-LLT法，可可以得出出:（11）OSS-OII-LTT法适用用于需求求过程是是复合泊泊松过程程的情形形；（22）即使使是其他他情形，当当LT的的均值大大到允许许使用渐渐近线时时，OSS-OII-LTT法也是是可接受受的。然然而，对对比实验验表明，若若LT不不够长，OOS-OOI-LLT法就就会有问问题。尝尝试在实实践中使使用OSS-OII-LTT法时，研研究人员员和实践践者应该该注意这这种情形形，而未未来的研研究也需需就这个个问题进进行。题目：基基于随机机库存系系统的提提前期需需求分布布推导作者:CChanngkyyu PParkk页码：2263-2722