微积分在经济中的应用9879.docx

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1、高等数学知知识在经济学学中的应用举举例复利与贴现问题题2复利公式2实利率与虚利率率3数e的经济解释释4贴现问题4增长率4级数应用举例5银行通过存款和和放款“创造”货币问题5投资费用6库存问题8（一）成批到到货，不允许许短缺的库存存模型8（二）陆续到到货，不允许许短缺的模型型11（三）成批到到货，允许短短缺的模型13由于现代化生产产发展的需要要，经济学中中定量分析有有了长足的进进步，数学的的一些分支如如数学分析、线线性代数、概概率统计、微微分方程等等等已进入经济济学，出现了了数理统计学学、经济计量量学、经济控控制论等新分分支，这些新新分支通常成成为数量经济济学。数量经经济学的目的的在于探索客客观

2、经济过程程的数量规律律，以便用来来知道客观经经济实践。应应用数量经济济学研究客观观经济现象的的关键就是要要把所考察的的对象描述成成能够用数学学方法来解答答的数学经济济模型。这里里我们简单介介绍一下一元元微积分与多多元微积分在在经济中的一一些简单应用用。复利与贴现问题题复利公式 货币所有有者（债权人人）因贷出货货币而从借款款人（债务人人）手中所得得之报酬称为为利息。利息息以“期”，即单位时时间（一般以以一年或一月月为期）进行行结算。在这这一期内利息息总额与贷款款额（又称本本金）之比，成成为利息率，简简称利率，通通常利率用百百分数表示。如果在贷款的全全部期限内，煤煤气结算利息息，都只用初初始本金按

3、规规定利率计算算，这种计息息方法叫单利利。在结算利利息时，如果果将前一期之之利息于前一一期之末并入入前一期原有有本金，并以以此和为下一一期计算利息息的新本金，这这就是所谓的的复利。通俗俗说法就是“利滚利”。下面推出按福利利计息方法的的复利公式。现有本金A0，年年利率r=pp%，若以复复利计息，tt年末A0将增值到AAt，试计算AAt。若以年为一期计计算利息：一年末的本利和和为A1=A0（1+r）二年末的本利和和为A2=A0（1+r）+A0（1+r）rr= A0（1+r）22类推，t年末的的本利和为AAt= A0（1+r）tt （1）若把一年均分成成m期计算利利息，这时，每每期利率可以以认为是，

4、容容易推得 （2）公式（1）和（22）是按离散散情况计息的“期”是确定的时时间间隔，因因而计息次数数有限推得的计计算At的复利公式式。若计息的“期”的时间间隔隔无限缩短，从从而计息次数数，这时，由由于所以，若以连续续复利计算利利息，其复利利公式是例1 A0100元，rr=8%，tt1，则一年计息1期 一年计息2期 一年计息4期 一年计息12期期 一年计息1000期 连续复利计息 实利率与虚利率率由例1知，年利利率相同，而而一年计息期期数不同时，一一年所得之利利息也不同。当当年利率为88，一年计计息1期，确确实按8计计算利息；一一年计息2期期，实际上所所得利息是按按8.16计算的结果果；一年计息

5、息4期，实际际上所得利息息是按8.2243计算算；一年计息息12期，实实际上是按88.3计算算；一年计息息100次，实实际所得利息息是按8.3325计算利利息。这样，对于年期期以下的复利利，我们称年年利率8为为虚利率或名名义利率，而而实际计算利利息之利率称称为实利率。如如8.16为一年复利利2期的实利利率，8.33为一年复复利12期的的实利率，88.329为一年连续续复利的实利利率。记r为名义年利利率，rm为一年计息息m期的实利利率，本金AA0，按名义利利率一年计息息m期，一年年末将增值到到A0（1+）m，按实利率率计息，一年年末将增值到到A0（1+rm）。于是，有有1+rm（11+）m，即是

6、离散情情况下实利率率与虚利率之之间的关系式式。若记rm为连续续复利的实利利率，由于所以，实利率与与虚利率之间间的关系为。数e的经济解释释设年利率为1000%，连续续复利计息，一一元本金到年年末的本利和和为这就是说，按名名义利率1000%，连续续复利计息，一一元本金年末末将增长到ee元。这可作作为数e的经经济解释。由于，所以，这这是的实利率率大约为1772。贴现问题我们已经知道，初初时本金A00，年利率rr，t年末的的本利和Att，以年为期期的复利公式式是，一年均均分为m期的的复利公式是是 ，连续续复利公式是是。若称A0为现在在之，At为未来值，一一只现在值求求未来值是复复利问题，与与此相反，若

7、若已知未来值值At求现在值AA0，则称贴现现问题，这时时利率r称为为贴现率。由复利公式，容容易推得：离散的贴现公式式为 连续的贴现公式式为 例2 设年利率率为6.5，按连续复复利计算，现现投资多少元元，16年之之末可得12200元。这里，贴现率rr=6.5，未来值AAt=12000，t=166。所以，现现在值增长率设变量y是时间间t的函数yy = f (t)，则则比值为函数f (tt)在时间区区间上的相对对改变量；如如果f (tt)可微，则则定义极限为函数f (tt)在时间点点t的瞬时增增长率。对指数函数而言言，由于，因因此，该函数数在任何时间间点t上都以以常数比率rr增长。这样，关系式 （*

8、）就不仅可作为复复利公式，在在经济学中还还有广泛的应应用。如企业业的资金、投投资、国民收收入、人口、劳劳动力等这些些变量都是时时间t的函数数，若这些变变量在一个较较长的时间内内以常数比率率增长，都可可以用（*）式式来描述。因因此，指数函函数中的“r”在经济学中中就一般的解解释为在任意意时刻点t的的增长率。如果当函数中的的r取负值时时，也认为是是瞬时增长率率，这是负增增长，这时也也称r为衰减减率。贴现问问题就是负增增长。例3 某国现有有劳动力两千千万，预计在在今后的500年内劳动力力每年增长22%，问按预预计在20556年将有多多少劳动力。由于未来值A00=20000，r=0.02，t=50，所

9、以以，50年后后将有劳动力力例4 某机械设设备折旧率为为每年5，问问连续折旧多多少年，其价价值是原价值值的一半。若原价值为A00，经t年后后，价值为，这这里r=-00.05。由由，若取，易算算出t=133.86（年年），即大约约经过13.86年，机机械设备的价价值是原价值值的一半。级数应用举例银行通过存款和和放款“创造”货币问题商业银行吸收存存款后，必须须按照法定的的比率保留规规定数额的法法定准备金，其其余部分才能能用作放款。得得到一笔贷款款的企业把它它作为活期存存款，存入另另一家银行，这这银行也按比比率保留法定定准备金，其其余部分作为为放款。如此此继续下去，这这就是银行通通过存款和放放款“创

10、造”货币。设R表示最初存存款，D表示示存款总额（即即最初存款“创造”的货币总额额），r表示示法定准备金金占存款的比比例，ruu，每单位时时间内净增加加存货为P-u，到时刻刻t1终了库存出出现一个顶点点，这时，库库存量为t11(P-u)。由于经历时间tt1到货总量为为Q，因此，从从而最大库存存量为这种库存模型的的库存水平变变动情况如图图3所示。T（时间）图3Q（库存水平）Otttt1(P-u)平均库存水平t1t1t1这样，在一个计计划期内，平平均库存量应应为最大库存存量之半，因因而库存费为为。本问题中，因为为生产准备费费或订购费与与“成批到货，不不许短缺”库存模型一一样，因此，存存货总费用EE与

11、每批数量量Q的函数关关系，即目标标函数是为决策变量Q，由由极值的必要要条件和充分分条件，容易易算得，经济济批量这时，库存总费费用的最小值值最优批量Q*的的表达式（66）也可由下下式得到：例2 同例1，但但产品陆续存存入仓库，每每月到货2000台，试确确定经济批量量和最佳费用用。解 已知条件是是：由（5）（6）（77）可得经济济批量为3227.3台，这这时最佳费用用为305550元。（三） 成批到货，允许许短缺的模型型前面讨论的两个个库存模型是是不允许缺货货。允许缺货货是指，缺货货时未能满足足的需求，在在下一批货物物到货时要予予以满足，而而且缺货时的的需求直接输输出而不经过过库存。其它它情况同模

12、型型一。如果缺缺货带来的损损失很小，且且不会因暂时时缺货而失去去销售机会，缺缺货现象是允允许存在的。允许缺货情况，库库存水平变动动情况见图44。图中的tt是一个存贮贮循环延续时时间，从前一一批到货至库库存量减少为为0的时间为为t1，从库存是是0至下一批批货物到达的的时间为t22。Q（库存水平）批量QOt2tt最高库存水平T（时间）图4t2t1t1BQB这里尚需补充假假设B：库存得到补补充之前的允允许缺货量；C3：在一个计计划期内，缺缺一件产品的的损失费。需要注意的是每每批投产或每每次订购的数数量Q包括了了最大的允许许缺货量B。本库存模型中，生生产准备费与与订购费与前前面模型相同同：库存费：因有

13、货货时间t1占一个存贮贮循环时间的的比率为，所所以，在一个个机会期内，有有货时间所占占比率也为。有有货时，最大大库存量为QQ-B，从而而平均库存量量为，由图44中 相似三三角形易知因此，在一个计计划期内，库库存费为缺货费：在缺货货时间t2占一个存贮贮循环时间的的比率为，在在一个计划期期内，缺货总总时间所占比比例也为。最最大缺货量为为B，因此，平平均缺货量为为，由图4的的相似三角形形得知。因此此，在一个计计划期内，缺缺货量为.综上，在一个计计划期内，库库存总费用或写作这是该问题的目目标函数。现在的问题是决决策两个变量量Q和B，以以使目标函数数取极小值。根据（8）式式，由二元函函数极值存在在的必要

14、条件件，有解该方程组，可可得 可以验证极值存存在的充分条条件满足：， 因此，将代入入（8）式，可可得存货总费费用的最小值值：比较（9）式和和（3）式，如如果缺一件产产品的损失费费C3为无穷大，因因，则（9）式式就是（3）式式，这表明：不允许缺货货可视为缺货货损失为无穷穷大的情况。此此式，又因，由由（10）式式知，恰有缺缺货量B*=0。例3 某厂，一一年劳动日为为300天，生生产率（单位位时间内的产产量）固定，一一年可组装机机床15000台；若组装装一台机床的的零部件价值值144000元，而一年年的保管费为为其价值的222，因缺缺零部件而停停工，少装一一台机床的损损失费为零部部件价值的550；又

15、每每次订购零部部件的手续费费为75000元，为使一一年存货总费费用最小，试试就下列各种种情况决策最最优批量和允允许缺货量（如如果允许缺货货的话）并计计算最佳费用用：（1）不管每次次订购数量为为多少，都可可立即到货，不不允许停工待待料；（2）若订货后后，每天可到到货30台机机床的零部件件，不允许停停工待料；（3）不管每次次订货多少，都都可立即到货货，允许停工工待料，但缺缺料时未完成成的任务，当当到货后，可可不占劳动日日就能完成。解 由题设知 （1）这是成成批到货，不不许缺货的情情况。目标函函数为：，由（2）式得最最优批量844.27，可可取Q*=84台；由目标函数数可得最佳费费用E*266988

16、5元。（2）这是陆续续到货，不许许短缺的情况况。目标函数数为由（6）式得最最优批量922.3，取QQ*=92台；最佳费用EE*2437723元。下面，比较成批批到货和陆续续到货两种情情况：成批到货陆续到货最优批量最大库存水平一年订购次数一年总费用Q=84Q=84N=18(实为为17.855)E=2669885Q=92Q=77N=17(实为为16.3)E=2437223显然，陆续到货货总费用减少少，这是因为为一年订购次次数减少且平平均库存量减减少。（3）这是成批批到货，允许许短缺的情况况。目标函数数由（9）式和（110）式可分分别得到最优优批量和最大大缺货量：由此知，允许停停工待料的情情况，取，最最佳费用E2224887元。这种种情况也比第第一种情况节节省存货总费费用。22