上次课讲到了电子的运动特点和描述电子运动的方法fuoc.docx

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1、第三讲上次课讲讲到了电电子的运运动特点点和描述述电子运运动的方方法，电电子的运运动具有有波粒二二象性，且且波性不不同于经经典的波波性，不不为振动动的传播播，是波波强与电电子出现现几率成成正比的的几率波波，粒性性不同于于经典的的粒性，没没有运动动的轨道道，只有有几率分分布的规规律。因因此对其其状态的的描述要要引起注注意，若若服从不不确定关关系，则则要用量量子力学学的方法法来描述述，在量量子力学学中是用用波函数数来描述述，表示示几率密密度。而而用描述述电子的的运动状状态在量量子力学学中是以以基本假假设的形形式提出出来的，需需要说明明的是，只只要给出出了波函函数的具具体形式式，则在在某一时时间空间间

2、各点的的几率就就确定了了，几率率分布亦亦就定了了，而几几率分布布更有其其意义几率分布布可以说说明空间间各点附附近单位位体积中中几率的的大小，另另外还可可说明波波函数的的一个重重要性质质，即cc与描述的的是同一一状态（因因不影响响几率分分布），这这与经典典波不同同。那么到底底该如何何理解波波函数呢呢？描述述的粒子子在微观观体系的的状态反映映微观粒粒子的全全部信息息（要知知什么可可知什么么）表示几几率密度度到此微观观粒子的的运动状状态用什什么来描描述的问问题就解解决了，但但这并不不是我们们的目的的，目的的是要知知道所有有描述微微观粒子子运动状状态的力力学量。在在经典力力学中，是是通过坐坐标和动动量

3、来求求其他力力学量，在在量子力力学中只只能通过过对波函函数的一一些运算算来求其其他力学学量，故故还有一一个其他他力学量量怎样通通过波函函数得到到的问题题，这就就引出了了力学量量与算符符。1.4.2 力力学量与与算符这就是说说，要知知道力学学量先得得知道算算符。(1) 算符使一个函函数变成成另一个个函数的的运算符符号（数数学符号号）。如微分： 微分算算符 开方方算符那么给我我一个力力学量，如如何得到到其算符符呢？(2) 力学量量算符的的组成（F：力学量 ：算符） 如果果 如果果 这这么说有有点糊涂涂，现举举例说明明。例1、坐坐标算符符为其本本身 例2、动动量算符符 这种算符符对应关关系是通通过其

4、他他实验认认识到的的。例3、动动能算符符Laaplaace拉拉普拉斯斯算符 例4、势势能算符符 （结结合坐标标算符说说明）例5、总总能量算算符哈密密顿算符符 HHarmmitoon我们了解解力学量量算符组组成的目目的为了了得到力力学量的的确定值值，但是是一个力力学量并并不是在在任何情情况下都都有确定定值，那那么在什什么情况况下有确确定值呢呢？那就就用到了了量子力力学的第第二个基基本假设设。假设二：对于描述述微观粒粒子状态态的每一一个力学学量A都对应应一个算算符，若若一个力力学量的的算符作作用于一一个波函函数等于于一个常常数乘以以，即那么这一一微观粒粒子的力力学量AA对于所描述述的状态态就有确确

5、定值aa。a称为力力学量算算符的本本征值。称为力力学量算算符的本本征函数数，该方方程为本本征方程程。(3) 力学量量的本征征态和本本征值本征值就就是确定定值，如如果我们们讨论的的状态是是力学量量的本征征态，则则力学量量就有确确定值，即即。（本本征值就就是确定定值，本本征态是是力学量量有确定定值的状状态）前面提到到的两个个假设，一一是波函函数，另另一个是是力学量量和力学学量的求求法，还还没有说说明波函函数怎么么求，故故又引出出第三个个基本假假设。1.4.3 薛薛定谔方方程（假假设三）体系的能能量为体体系的动动势能之之和，能能量相应应的算符符为哈密密顿算符符，哈密密顿算符符作用于于波函数数等于能能

6、量与波波函数之之积，即即通过此薛薛定谔方方程就可可以求得得波函数数，这里里的是不含含t的，即定定态波函函数，是是能量算算符的本本征函数数，本征征值就是是能量。定态是能能量有确确定值的的状态。即即能量的的本征态态电子的状状态用来描述述，可以通通过求解解薛定谔谔方程而而得到，但但实验发发现完全相相同的电电子在磁磁场中还还有两种种不同的的表现，故故又列出出了第四四个基本本假设。1.4.4 电电子的自自旋状态态（假设设四）电子具有有两种不不同的自自旋状态态，用表表示，不不为顺逆逆时针，前前面提到到电子的的运动具具有波粒粒二象性性，以前前只讲其其与经典典波区别别，不讲讲其相似似之处，相相似之处处是经典典

7、波有叠叠加性，粒粒子波同同样应有有叠加性性，并服服从叠加加原理。1.4.5 态态叠加原原理（假假设五）若123n是体系系可能的的状态，则则其体系系组合所所成的亦是该该体系可可能的状状态。其中的cc为任意意常数，其其大小反反映由决定的的状态中中i的贡献献。该原理的的主要用用途： 从氢原原子波函函数的复复数形式式导出实实函数形形式； 帮助了了解原子子轨道的的杂化（不不同的原原子轨道道组成杂杂化轨道道）。波函数通通过求解解薛定谔谔方程来来得到，但但解出的的不一定定都是合合格的，只只有满足一定条条件才是是合格的的，这个个条件则则为其合合格条件件（举 一例）。1.4.6波函函数的标标准条件件（合格格条件

8、）(1)单单值 在空间间任一点点，波函函数只有有一个值值，否则则几率、几几率密度度在空间间某点就就不唯一一；(2)连连续 波函数数及一级级微商在在全部空空间为连连续函数数，否则则薛定谔谔方程中中的二级级微商是是无意义义的；(3)平平方可积积（有限限）表示示在中的的几率，不不同有不不同几率率，要知知道在全全部空间间的几率率，则要要在全部部空间积积分在全全空间的的几率总总和应为为1，即即。 满足上上式的波波函数为为归一化化波函数数。这里里要求是是平方可可积的，否否则谈何何归一。 满足上上述三个个条件的的波函数数为品优优函数，若若一个波波函数的的平方在在全部空空间的积积分不等等于1，只只要是有有限值

9、则则可归一一。如：则只要乘以一一个常数数因子即即可做到到归一。 根据波函函数的性性质，与与代表同同一状态态。得到一个个不归一一波函数数，该如如何处理理呢？其中为归归一因子子，由未未归一化化波函数数求得归归一化波波函数的的过程为为函数归归一化。如如果真正正找到描描述电子子运动状状态的波波函数，就就应该是是归一的的。接下来的的问题就就是如何何用量子子力学方方法来处处理（描描述）一一个体系系了。量子力学学处理问问题的一一般步骤骤 根据据已知条条件写出出薛定谔谔方程 求解解薛定谔谔方程 进行行讨论分分析本着简单单到复杂杂的原则则，以下下讨论一一维势箱箱。1.5 一维势势箱中的的粒子V=V=0V=0LL

10、1.5.1 一一维势箱箱特点0xl V=00 V=一维无限限深的势势井，井井中的势势能为零零，外面面势能无无限大。化学中的的许多体体系都可可看作是是一维势势井，如如金属中中的电子子，按照照量子力力学处理理问题的的一般步步骤。1.5.2 一一维势箱箱薛定谔谔方程由于电子子不可能能出现于于、区，故故只要写写出区的波波函数即即可。注注意到一一维势箱箱只有一一个变量量，故有有 （解解释各项项）1.5.3 解解一维势势箱薛定定谔方程程 （1） 此为为二阶常常系数线线性齐次次微分方方程其通解为为： （22） 代入（11）（3）代代入（22）得两两个独立立的解，其其通解为为此种形式式不大有有用，可可通过尤尤

11、拉公式式更换成成适用的的形式。（尤拉公公式： ）通解 到此此关键的的问题就就是要求求C、DD，即CC=？ D=？ 利用用边界条条件（4）可可知，否则则永远是是0，无无意义，这这样必有有，再利利用边界界条件，则，这样样（n0，因因n=0，则则在全部部空间，而而粒子在在全部空空间出现现的几率率为0是是不合理理的。另另外，由由波函数数的性质质可知，n取正、负整数表示同一状态），并可意外地获得能量，将E代代入（44）有到此还没没有得到到D。 利用用归一性性 到此此一维势势箱中的的波函数数和能量量就得到到了。即得到：xl 或x00xl通过可以以了解到到电子运运动的具具体形式式，但同同学们还还做不到到，故要要做一些些讨论。（时间有有余）