常微分方程的欧拉方法精选PPT.ppt

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1、常微分方程的欧拉方法第1页，此课件共16页哦第第8章章 常微分方法的数值解法常微分方法的数值解法教学目的教学目的 1.1.掌握解常微分方程的单步法：掌握解常微分方程的单步法：EulerEuler方法、方法、TaylorTaylor方法方法和和Runge-KuttaRunge-Kutta方法；方法；2.2.掌握解常微分方程的多步法：掌握解常微分方程的多步法：AdamsAdams步法、步法、SimpsonSimpson方法和方法和MilneMilne方法等；方法等；3.3.了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。教学重点及难点教学重点

2、及难点 重点重点是解常微分方程的单步法：是解常微分方程的单步法：EulerEuler方法、方法、TaylorTaylor方法和方法和Runge-KuttaRunge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：方法和解常微分方程的多步法：AdamsAdams步法、步法、SimpsonSimpson方法和方法和MilneMilne方法等；方法等；难点难点是理解单步法的收敛性、相容性与稳定性及多步法的稳定是理解单步法的收敛性、相容性与稳定性及多步法的稳定性。性。第2页，此课件共16页哦第第8章章 常微分方法的数值解法常微分方法的数值解法科学技术与工程问题常常需要建立微分方程形式的数学模型，科学技术与工程

3、问题常常需要建立微分方程形式的数学模型，下面是这类问题的例子。下面是这类问题的例子。设设N（t）为某物种的数量，）为某物种的数量，为该物种的的出生率与死亡率之为该物种的的出生率与死亡率之差，差，为生物的食物供给及它们所占空间的限制，描述该物种增长为生物的食物供给及它们所占空间的限制，描述该物种增长率的数学模型是率的数学模型是设设Q是电容器上的带电量，是电容器上的带电量，C为电容，为电容，R为电阻，为电阻，E为电源的为电源的电动势，描述该电容器充电过程的数学模型是电动势，描述该电容器充电过程的数学模型是第3页，此课件共16页哦以上两个例子是常微分方程初值问题，下面是一个两点边值问题的例子。以上两

4、个例子是常微分方程初值问题，下面是一个两点边值问题的例子。设一跟长为设一跟长为L的矩形截面的梁，两端固定。的矩形截面的梁，两端固定。E是弹性模量，是弹性模量，S是端点作用力，是端点作用力，I（x）是惯性矩，）是惯性矩，q是均匀荷载强度，梁的桡度是均匀荷载强度，梁的桡度y（x）满足如下方程）满足如下方程针对实际问题建立的数学模型，要找出模型解的解析表达式往往是困难的，针对实际问题建立的数学模型，要找出模型解的解析表达式往往是困难的，甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的数值解法，即计算解域内离甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的数值解法，即计算解域内离散点上的近似值的方法。本章

5、讨论常微分方程数值解的基本方法和理论。散点上的近似值的方法。本章讨论常微分方程数值解的基本方法和理论。第4页，此课件共16页哦8.1 Euler 方法方法8.1.1 Euler 方法及其有关的方法方法及其有关的方法考虑一阶常微分方程初值的问题：考虑一阶常微分方程初值的问题：设设f（x,y）是连续函数，对）是连续函数，对y满足满足Lipschitz条件，这样初值问题的解是条件，这样初值问题的解是存在唯一的，而且连续依赖于初始条件。存在唯一的，而且连续依赖于初始条件。为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题（为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题（8.1.1）进行）进行离散化。一般是

6、引入点列离散化。一般是引入点列 ，这里，这里为步长，经常考虑定长的情形，即为步长，经常考虑定长的情形，即 。记记 为初始问题（为初始问题（8.1.1）的问题准确解）的问题准确解 在在 处的值，处的值，用均差近似代替（用均差近似代替（8.1.1）的导数得）的导数得 第5页，此课件共16页哦令令 为为 的近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得的近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得（8.1.2）（8.1.3）从从 处的初值处的初值 开始，按（开始，按（8.1.2）可逐步计算以后各点上的值。称）可逐步计算以后各点上的值。称（8.1.2）式为）式为显式显式Euler。由于（。由于（8.1.3）式的

7、右端隐含有待求函数值）式的右端隐含有待求函数值 ，不能逐步显式计算，称（不能逐步显式计算，称（8.1.3）式为）式为隐式隐式Euler公式公式或或后退后退Euler公式公式。如果。如果将（将（8.1.2）和（）和（8.1.3）两式作算术平均，就得）两式作算术平均，就得梯形公式。梯形公式。第6页，此课件共16页哦梯形公式也是隐式公式。以上公式都是由梯形公式也是隐式公式。以上公式都是由 去计算去计算 ，故称它们为单步法。，故称它们为单步法。例例8.1 取取h=0.1，用，用Euler方法、隐式方法、隐式Euler方法和梯形方法解方法和梯形方法解 解解 本题有本题有 如果用如果用Euler方法，由（

8、方法，由（8.1.2）并代入并代入h=0.1得得 同理，用隐式同理，用隐式Euler方法有方法有（8.1.4）第7页，此课件共16页哦用梯形公式有用梯形公式有三种方法及准确解三种方法及准确解 的数值结果如表的数值结果如表8-1所示。从表中看所示。从表中看 到，在到，在 处，处，Euler方法和隐式方法和隐式Euler方法的误差方法的误差 分分别是别是 和和 ，而梯形方法的误差却是，而梯形方法的误差却是 。在例在例8.1中，由于中，由于f（x，y）对）对y是线性的，所以对隐式公式也可以方便地计是线性的，所以对隐式公式也可以方便地计算算 。但是，当。但是，当f（x，y）是）是y的非线性函数时，如的

9、非线性函数时，如 ，其隐式，其隐式Euler公式为公式为 。显然，它是。显然，它是 的非线性方程，可以选择的非线性方程，可以选择非线性方程求根的迭代求解非线性方程求根的迭代求解 。以梯形公式为例，可用显式。以梯形公式为例，可用显式Euler公式提供公式提供迭代初值迭代初值 ，用公式，用公式第8页，此课件共16页哦表表8-1 Euler方法方法 隐式隐式Euler方法方法 梯形法梯形法 准确解准确解 0 1 1 1 10.1 1.000000 1.009091 1.004762 1.0048370.2 1.010000 1.026446 1.018549 1.018731 0.3 1.02900

10、0 1.051315 1.040633 1.040818 0.4 1.056100 1.083013 1.070096 1.070320 0.5 1.090490 1.120921 1.106278 1.106531 第9页，此课件共16页哦反复迭式，直到反复迭式，直到其中，步长其中，步长h成为迭代参数，它需要满足一定的条件，才能收敛。若将成为迭代参数，它需要满足一定的条件，才能收敛。若将（8.1.4）式减去该迭代公式，得）式减去该迭代公式，得假设假设f（x，y）关于）关于y满足满足Lipschiz条件，则有条件，则有第10页，此课件共16页哦这里，这里，L是是Lipschiz常数。当常数。当

11、hL/21即即h2/L时，迭代序列时，迭代序列 收敛收敛 。对于隐式公式，通常采用估计对于隐式公式，通常采用估计-校正技术，即先用显式公式计算，得到校正技术，即先用显式公式计算，得到预估值，然后以预估值作为隐式公式的迭代初值，用隐式公式迭代一次得到预估值，然后以预估值作为隐式公式的迭代初值，用隐式公式迭代一次得到校正值，称为校正值，称为预估预估-校正技术校正技术。例如，用显式。例如，用显式Euler公式作预估，用梯形公式公式作预估，用梯形公式作校正，即作校正，即称该公式为称该公式为改进的改进的Euler公式公式。它显然等价于显式公式为。它显然等价于显式公式为，（8.1.6）第11页，此课件共1

12、6页哦也可以表示为下列平均化的形式也可以表示为下列平均化的形式例例8.2 取取h=0.1，用改进的，用改进的Euler方法解方法解解解 按（按（8.1.5），改进的），改进的Euler方法解方法解第12页，此课件共16页哦由由 得计算结果如表得计算结果如表8-2。该初值问题的准确解为。该初值问题的准确解为 。表表 8-2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0959 1.1841 1.2662 1.3434 1.4164 1.4860 1.5525 1.6153 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1

13、.6165 第13页，此课件共16页哦8.1.2 局部误差和方法的阶局部误差和方法的阶 初值问题（初值问题（8.1.1）的单步法可以写成如下统一形式）的单步法可以写成如下统一形式（8.1.7）其中其中 与与 有关。若有关。若 中不含中不含 ，则方法是显式的，否则是隐式的，所以一，则方法是显式的，否则是隐式的，所以一般显式单步法表示为般显式单步法表示为（8.1.8）例如，例如，Euler方法中，有方法中，有 对于不同的方法，计算值对于不同的方法，计算值 与准确解与准确解 的误差各不相同。所以有必要讨论方的误差各不相同。所以有必要讨论方法的截断误差。我们称法的截断误差。我们称 为某一方法在为某一方

14、法在 点的点的整体截断误差整体截断误差。显。显然，然，不单与不单与 这步的计算有关，它与以前各步的计算也有关，所以误差被称这步的计算有关，它与以前各步的计算也有关，所以误差被称为整体的。分析和估计整体截断误差为整体的。分析和估计整体截断误差 是复杂的。为此，我们假设是复杂的。为此，我们假设 处的处的 没有误差，即没有误差，即 ，考虑从，考虑从 到到 这一步的误差，这就是如下的局部这一步的误差，这就是如下的局部误差的概念。误差的概念。第14页，此课件共16页哦定义定义8.1 设设 是初值问题（是初值问题（8.1.1）的准确解，则称）的准确解，则称为单步法（为单步法（8.1.7）的）的局部截断误差

15、局部截断误差。定义定义8.2 如果给定方法的如果给定方法的 局部截断误差局部截断误差 ，其中，其中 为整数，则称该方法是为整数，则称该方法是p阶阶的，或具有的，或具有p阶精度阶精度。若一个。若一个p阶单步法的局部截阶单步法的局部截断误差为断误差为则称其第一个非零项则称其第一个非零项 为该方法的为该方法的局部截断误差的主项局部截断误差的主项。对于对于Euler方法，有方法，有Taylor展开有展开有第15页，此课件共16页哦对于隐式对于隐式Euler方法，其局部截断误差为方法，其局部截断误差为所以所以Euler方法是一种一阶方法，其局部截断误差的主项为方法是一种一阶方法，其局部截断误差的主项为 。梯形方法也是一种隐式单步法，类似可得其局部截断误差梯形方法也是一种隐式单步法，类似可得其局部截断误差所以隐式所以隐式Euler方法也是一种一阶方法，该方法的局部截断误差的主项方法也是一种一阶方法，该方法的局部截断误差的主项为为 ，仅与显式，仅与显式Euler方法的局部截断误差的主项反一个符号。方法的局部截断误差的主项反一个符号。可见，梯形方法是二阶精度的。可见，梯形方法是二阶精度的。第16页，此课件共16页哦