常微分方程 线性方程精选PPT.ppt
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1、常微分方程常微分方程 线性方线性方程程1第1页,此课件共33页哦2.1 2.1 线性方程线性方程2.2 2.2 变量可分离方程变量可分离方程2.3 2.3 全微分方程全微分方程2.4 2.4 变量替换法变量替换法2.5 2.5 一阶隐式方程一阶隐式方程2.6 2.6 近似解法近似解法2.7 2.7 一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用2.8 2.8 习题课习题课本章的主要内容2第2页,此课件共33页哦一、一、线性齐次方程线性齐次方程线性齐次方程线性齐次方程:若若中中时,时,求解思想:求解思想:2.1 2.1 线性方程线性方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程 将将 进行变形,将方程左端进行变形,
2、将方程左端整理成某一个函数的导数,再进行积分求解。整理成某一个函数的导数,再进行积分求解。3第3页,此课件共33页哦例2.1.1求线性齐次方程求线性齐次方程的通解。的通解。解:对于方程两端乘以解:对于方程两端乘以 得得 由于由于 故故方程的通解为方程的通解为故故 其中其中为任意常数。为任意常数。4第4页,此课件共33页哦一般地,对方程一般地,对方程即即 整理得通解为整理得通解为后得后得 两端同乘以两端同乘以 5第5页,此课件共33页哦二、二、线性非齐次方程线性非齐次方程1.积分因子法积分因子法给方程两边乘以函数给方程两边乘以函数两种解法两种解法变成一个函数的导数,变成一个函数的导数,使左边使左
3、边整理得整理得:积分得通解积分得通解:称为方程的称为方程的积分因子积分因子。6第6页,此课件共33页哦2.2.常数变易法常数变易法思想:将一个对应齐次方程的通解中的常数思想:将一个对应齐次方程的通解中的常数变为函数,代入原方程后确定出该方程的通解。变为函数,代入原方程后确定出该方程的通解。再把通解表达式中的常数再把通解表达式中的常数c 换成一个待定函数换成一个待定函数 。即令即令 先求先求 对应的齐次方程的通解为:对应的齐次方程的通解为:7第7页,此课件共33页哦线性线性非齐次非齐次方程方程设想设想 待定函数待定函数8第8页,此课件共33页哦一阶线性非齐次一阶线性非齐次微分方程的通解:微分方程
4、的通解:常数变易法:常数变易法:齐次方程通解中的常数变易为待定函数。9第9页,此课件共33页哦非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解对应齐次对应齐次方程通解方程通解一阶线性方程解的结构一阶线性方程解的结构注注高阶线性方程解的结构,高阶线性方程解的结构,高阶非齐次线性方程的常数变易法高阶非齐次线性方程的常数变易法.10第10页,此课件共33页哦线性微分方程解的性质:1.1.齐次方程的解或者恒为零,或恒不为零。齐次方程的解或者恒为零,或恒不为零。2.2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。3.3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和齐次方程的任一解与非齐次
5、方程的任一解之和仍为非齐次方程的解。仍为非齐次方程的解。4.4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。5.5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。的通解之和是非齐次方程的通解。11第11页,此课件共33页哦解解练习练习12第12页,此课件共33页哦练习练习解初值问题解初值问题:解解改写方程:改写方程:特解特解:13第13页,此课件共33页哦解解 典型的一阶非齐次线性方程典型的一阶非齐次线性方程.分析分析练习练习14第14页,此课件共33页哦既不是线性方程既不是线性方程,也不能
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