直线的方向向量与直线的向量方程幻灯片.ppt

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1、直线的方向向量与直线的向量方程第1页，共46页，编辑于2022年，星期一第2页，共46页，编辑于2022年，星期一32.1直直线线的方向向量与直的方向向量与直线线的向量方程的向量方程第3页，共46页，编辑于2022年，星期一第4页，共46页，编辑于2022年，星期一问题问题1：当：当t确定确定时时，点，点P的位置是否被确定？的位置是否被确定？提示：确定提示：确定提示：提示：过点过点A且平行于向量且平行于向量a的一条直线的一条直线第5页，共46页，编辑于2022年，星期一用向量表示直线或点在直线上的位置用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给给定一个定点定一个定点A和一个向量和一个向量a，再任

2、，再任给给一个一个实实数数t，以，以A为为起点作向量起点作向量 ta，这时这时点点P的位置被的位置被t的的值值完全确定当完全确定当t在在实实数数集集R中取遍所有中取遍所有值时值时，点，点P的的轨轨迹是通迹是通过过点点A且平行于且平行于 的一条直的一条直线线l，反之，在，反之，在l上任取一点上任取一点P，一定存，一定存在一个在一个实实数数t，使，使 ，则则向量方程向量方程通常称作直通常称作直线线l以以 的参数方程的参数方程 称称为该为该直直线线的方向向量的方向向量向量向量at为为参数参数向量向量a第6页，共46页，编辑于2022年，星期一第7页，共46页，编辑于2022年，星期一 若直若直线线l

3、1的方向向量的方向向量为为v1，直，直线线l2的方向向量的方向向量为为v2，且，且v1，v2.问题问题1：若：若v1v2，则则l1与与l2有什么关系？有什么关系？提示：平行或重合提示：平行或重合 问题问题2：若直：若直线线l的方向向量的方向向量v与与v1，v2共面，且共面，且v1、v2不不共共线线，则则直直线线l与平面与平面平行平行吗吗？提示：不一定，提示：不一定，l可能在可能在内内 问题问题3：若平面：若平面，则则v1，v2与与什么关系？什么关系？提示：提示：v1，v2.第8页，共46页，编辑于2022年，星期一v1v2v1且且v2vxv1yv2第9页，共46页，编辑于2022年，星期一 问

4、题问题1：两条直：两条直线线垂直，垂直，对应对应的方向向量垂直的方向向量垂直吗吗？提示：垂直提示：垂直 问题问题2：两条直：两条直线线所成的角所成的角与两直与两直线线的方向向量的的方向向量的夹夹角角之之间间有什么关系？有什么关系？提示：相等或互提示：相等或互补补第10页，共46页，编辑于2022年，星期一 用向量运算用向量运算证证明两条直明两条直线线垂直或求两条直垂直或求两条直线线所成的角所成的角 设设直直线线l1和和l2所成的角所成的角为为，方向向量分，方向向量分别为别为v1和和v2，则则l1l2 ，cos v1v2|cosv1，v2|第11页，共46页，编辑于2022年，星期一 1直直线线

5、的方向向量不是唯一的，可以分的方向向量不是唯一的，可以分为为同向和反向两同向和反向两类类解解题时题时，可以，可以选选取坐取坐标标最最简简的方向向量的方向向量 2若直若直线线l1，l2的方向向量平行，的方向向量平行，则则包括包括l1与与l2平行和平行和l1与与l2重合两种情况重合两种情况 3求异面直求异面直线线所成的角所成的角时时要注意范要注意范围围第12页，共46页，编辑于2022年，星期一第13页，共46页，编辑于2022年，星期一第14页，共46页，编辑于2022年，星期一第15页，共46页，编辑于2022年，星期一第16页，共46页，编辑于2022年，星期一第17页，共46页，编辑于20

6、22年，星期一 一点通一点通此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可组求解即可第18页，共46页，编辑于2022年，星期一1已知已知O为为坐坐标标原点，四面体原点，四面体OABC中，中，A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，直，直线线ADBC，并且，并且AD交坐交坐标标平面平面xOz于点于点D，求点，求点D的坐的坐标标第19页，共46页，编辑于2022年，星期一第20页，共46页，编辑于2022年，星期一

7、例例2已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱长为长为2，E、F分分别别是是BB1、DD1的中点，求的中点，求证证：(1)FC1平面平面ADE；(2)平面平面ADE平面平面B1C1F.思路点思路点拨拨利用直利用直线线的方向向量以及的方向向量以及线线面平行，面面平行的面平行，面面平行的条件条件证证明明第21页，共46页，编辑于2022年，星期一第22页，共46页，编辑于2022年，星期一第23页，共46页，编辑于2022年，星期一 一点通一点通 (1)证证两条直两条直线线平行可平行可转转化化为证为证明两直明两直线线的方向向量的方向向量平行平行 (2)用向量法用向量法证证明明线线面平行

8、：一是面平行：一是证证明直明直线线的方向向量与平面的方向向量与平面内的某一向量是共内的某一向量是共线线向量且直向量且直线线不在平面内；二是不在平面内；二是证证明直明直线线的方的方向向量与平面内的两个不共向向量与平面内的两个不共线线向量是共面向量且直向量是共面向量且直线线不在平面内不在平面内 (3)利用向量利用向量证证明面面平行，可明面面平行，可转转化化为证为证明明线线面平行面平行第24页，共46页，编辑于2022年，星期一3在在长长方体方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB4，AD3，AA1 2，P、Q、R、S分分别别是是AA1、D1C1、AB、CC1的中点的中点 证证明：明：PQRS.第2

9、5页，共46页，编辑于2022年，星期一第26页，共46页，编辑于2022年，星期一第27页，共46页，编辑于2022年，星期一5.如右如右图图，在平行六面体，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中中E、F、G分分别别是是A1D1、D1D、D1C1的中点的中点求求证证：平面：平面EFG平面平面AB1C.第28页，共46页，编辑于2022年，星期一第29页，共46页，编辑于2022年，星期一 例例3在棱在棱长为长为a的正方体的正方体OABCO1A1B1C1中，中，E、F分分别别是是AB、BC上的上的动动点，且点，且AEBF，求，求证证：A1FC1E.思路点拨思路点拨第30页，共46页，编辑于20

10、22年，星期一第31页，共46页，编辑于2022年，星期一 一点通一点通利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量量第32页，共46页，编辑于2022年，星期一6正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E为为AC的中点，的中点，证证明：明：(1)BD1AC，(2)BD1EB1.第33页，共46页，编辑于20

11、22年，星期一第34页，共46页，编辑于2022年，星期一第35页，共46页，编辑于2022年，星期一第36页，共46页，编辑于2022年，星期一 思路点思路点拨拨先建立空先建立空间间直角坐直角坐标标系，求出系，求出A1C与与AD1的方向向的方向向量再求出方向向量的量再求出方向向量的夹夹角的余弦角的余弦值值，最后，最后转转化化为为异面直异面直线线A1C与与AD1所成的角所成的角第37页，共46页，编辑于2022年，星期一精解精解详详析析建立如建立如图图所示的空所示的空间间直角坐直角坐标标系，系，第38页，共46页，编辑于2022年，星期一第39页，共46页，编辑于2022年，星期一 一点通一点

12、通利用向量求异面直利用向量求异面直线线所成角的步所成角的步骤为骤为：(1)确定空确定空间间两条直两条直线线的方向向量；的方向向量；(2)求两个向量求两个向量夹夹角的余弦角的余弦值值；(3)确定确定线线线线角与向量角与向量夹夹角的关系：当向量角的关系：当向量夹夹角角为锐为锐角角时时，即，即为为两两直直线线的的夹夹角；当向量角；当向量夹夹角角为钝为钝角角时时，两直，两直线线的的夹夹角角为为向量向量夹夹角的角的补补角角第40页，共46页，编辑于2022年，星期一第41页，共46页，编辑于2022年，星期一第42页，共46页，编辑于2022年，星期一8已知正四棱已知正四棱锥锥PABCD底面底面边长为边长为a，高，高PO的的长长也也为为a，E，F分分别别是是PD，PA的中点，求异面直的中点，求异面直线线AE与与BF所成角的余弦所成角的余弦值值解：解：如下如下图图，以，以O为为原点，原点，过过O点平行于点平行于AB、BC的直的直线为线为x轴轴、y轴轴，PO为为z轴轴建立空建立空间间直角坐直角坐标标系由已知得系由已知得第43页，共46页，编辑于2022年，星期一第44页，共46页，编辑于2022年，星期一第45页，共46页，编辑于2022年，星期一点击下图进入点击下图进入“应用创新演练应用创新演练”第46页，共46页，编辑于2022年，星期一