矢量分析：旋度、散度、梯度幻灯片.ppt

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1、矢量分析：旋度、散度、梯度第1页，共111页，编辑于2022年，星期一v基本要求基本要求1.掌握矢量在正交坐标系中的表示方法掌握矢量在正交坐标系中的表示方法2.掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义3.掌握矢量积、标量积的计算掌握矢量积、标量积的计算4.了了解解矢矢量量场场散散度度的的定定义义，掌掌握握其其计计算算方方法法和和物物理理意意义义；掌掌握握散散度定理的内容，并能熟练运用。度定理的内容，并能熟练运用。5.了了解解矢矢量量场场旋旋度度的的定定义义，掌掌握握其其计计算算方方法法和和物物理理意意义义；掌掌握握斯斯托托克克斯斯公式的内容，并能数量

2、应用。公式的内容，并能数量应用。第2页，共111页，编辑于2022年，星期一6.了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义7.正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用8.了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换9.了了解解曲曲面面坐坐标标系系中中散散度度、旋旋度度的的表表示示线线元元、面面积积元元、体体积积元元的表示的表示10.正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。第3页，共1

3、11页，编辑于2022年，星期一物理量的表示物理量的表示矢量矢量：大写黑体斜体字母大写黑体斜体字母 A 大写斜体字母加表示矢量的符号标量：标量：小写斜体字母 u单位矢量：单位矢量：小写上加倒勾ex第4页，共111页，编辑于2022年，星期一 若若一一个个矢矢量量在在三三个个相相互互垂垂直直的的坐坐标轴上上的的分分量量已已知知,这这个个矢矢量量就就确确定定了了。例例如如在在直直角角坐坐标系系中中,矢矢量量A的的三三个个分分量量模模值分分别是是Ax,Ay,Az,则矢量的模矢量的模 Magnitude of vector1.1 矢量表示法矢量表示法及其及其运算运算1.1.1 矢量表示法及其和差矢量表

4、示法及其和差第5页，共111页，编辑于2022年，星期一A的的单位矢量位矢量 Unit vector和或差和或差:Vector addition or subtraction则 第6页，共111页，编辑于2022年，星期一图 1-2 矢量的相加和相减矢量的相加和相减 第7页，共111页，编辑于2022年，星期一 矢量的相乘有两种定矢量的相乘有两种定义:标量量积(点乘点乘)和矢量和矢量积(叉乘叉乘)。它符合交它符合交换律律:1.1.2 标量量积和矢量和矢量积定义：定义：标量量积AB是一是一标量量,其大小等于两个矢量模其大小等于两个矢量模值相乘相乘,再再乘以它乘以它们夹角角AB(取小角取小角,即即

5、AB)的余弦的余弦:一、一、标量量积 Dot production 特点：特点：1、第8页，共111页，编辑于2022年，星期一|B|cos AB是矢量是矢量B在矢量在矢量A上的投影，上的投影，|A|cos AB是矢量是矢量A在矢在矢量量B上的投影。上的投影。B矢量在矢量在A矢量上的投影（或者说矢量矢量上的投影（或者说矢量B 在在A 上的分量）等于上的分量）等于AB/|A|2、第9页，共111页，编辑于2022年，星期一并有 互相垂直的两个矢量的点积为互相垂直的两个矢量的点积为03、4、第10页，共111页，编辑于2022年，星期一 定义定义：矢量矢量积AB是一个矢量是一个矢量,其大小等于两个

6、矢量的模其大小等于两个矢量的模值相乘相乘,再乘以它再乘以它们夹角角AB()的正弦的正弦,其方向与其方向与A,B成右手螺旋关系成右手螺旋关系,为A,B所在平面的右手法向所在平面的右手法向 :1、它不符合交它不符合交换律。律。由定由定义知知,二、二、矢量矢量积 Cross production 特点：特点：第11页，共111页，编辑于2022年，星期一2、第12页，共111页，编辑于2022年，星期一AB各各分分量量的的下下标次次序序具具有有规律律性性。例例如如,分分量量第第一一项是是yz,其第二其第二项下下标则次序次序对调:zy,依次依次类推。并有推。并有 第13页，共111页，编辑于2022年

7、，星期一图 1-3 矢量乘矢量乘积的的说明明 第14页，共111页，编辑于2022年，星期一矢量矢量的三连乘也有两种。的三连乘也有两种。标量三重积标量三重积:Scalar triple production 矢量三重积矢量三重积:Vector triple production 公式右边为公式右边为“BAC-CAB”,故称为故称为“Back-Cab”法则法则,以便记忆。以便记忆。1.1.3 三重积三重积 A B C第15页，共111页，编辑于2022年，星期一解解：AB在C上的分量为：例：例：，求求 给定两矢量给定两矢量 和和上的分量上的分量。在在第16页，共111页，编辑于2022年，星期一

8、如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设可以确定该未知矢量。设A A为一已知矢量，为一已知矢量，p和和P已知，试求已知，试求X 解：解：由由P=A X，有，有A P A(A X)=(AX)A-(AA)X=pA-(AA)X例例第17页，共111页，编辑于2022年，星期一作业作业P31 1-1 1-3第18页，共111页，编辑于2022年，星期一1.2 通量与散度通量与散度,散度定理散度定理Flux,divergence of a vector field,divergence theorem1.2.1 矢

9、量场的通量矢量场的通量矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述 矢量场的通量矢量场的通量 定义：定义：若矢量场若矢量场A A分布于空间中，在空间中存在任分布于空间中，在空间中存在任意曲面意曲面S S，则，则为为矢量矢量 A A 沿有向曲面沿有向曲面S S 的的通量通量。若若S 为闭合曲面为闭合曲面 物理意义：物理意义：表示穿入和穿出闭合面表示穿入和穿出闭合面S S的矢量通量的代数和。的矢量通量的代数和。在电场电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量电通量；在在磁场磁场中，磁感应

10、强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量磁通量。第19页，共111页，编辑于2022年，星期一通过闭合面通过闭合面S的通量的物理意义：的通量的物理意义：在直角坐标系中，通量可以写成在直角坐标系中，通量可以写成 a)若若 ，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，量，闭合面内有产生矢量线的正源；闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；中的正电荷就是发出电力线的正源；b)若若 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，量，闭合面内有吸收矢量线的

11、负源；闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；电荷就是接受电力线的负源；c)若若 ，闭合面无源。，闭合面无源。第20页，共111页，编辑于2022年，星期一1.2.2 散度散度 Divergence of a vector field2、散度的物理意义、散度的物理意义 1)1)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；2)2)矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是一个标量；3)3)矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；1、定义：、定义：当闭合面当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量向某点无限收缩

12、时，矢量 A 通过该闭合面通过该闭合面S 的的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该在该 点的散度，以点的散度，以 div A 表示，即表示，即第21页，共111页，编辑于2022年，星期一3 3、直角坐标系中散度的表示、直角坐标系中散度的表示散度可用算符散度可用算符 哈密顿哈密顿 表示为表示为哈密顿哈密顿拉普拉斯2第22页，共111页，编辑于2022年，星期一正源负源无源第23页，共111页，编辑于2022年，星期一 散度的基本运算公式散度的基本运算公式 C为常矢量为常矢量k为常数为常数u为标量为标量第24页，共111页，编辑于2

13、022年，星期一上式称上式称为散度定理散度定理,也称也称为高斯公式高斯公式。1.2.3 散度定理散度定理 The divergence theorem既然矢量的散度代表的是其通量的体密度既然矢量的散度代表的是其通量的体密度,因此直观地可知因此直观地可知,矢量矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即即 从从数学角度数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从从物理角度物理角度可以理解为高斯定理建立了区域可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域中的场和包围区域

14、 V 的闭合面的闭合面 S 上的场之间的关系。上的场之间的关系。如果已知区域如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦上的场，反之亦然。然。散度定理散度定理：散度定理的物理意义：散度定理的物理意义：第25页，共111页，编辑于2022年，星期一点点电荷荷q在离其在离其r处产生的生的电通量密度通量密度为 求任意点求任意点处电通量密度的散度通量密度的散度D，并求穿出，并求穿出r为半径的球面半径的球面的的电通量通量解解例例第26页，共111页，编辑于2022年，星期一第27页，共111页，编辑于2022年，星期一可可见，除点，除点电荷所在源

15、点（荷所在源点（r=0）外，空）外，空间各点的各点的电通量密度散度均通量密度散度均为零。零。这证明在此球面上所穿明在此球面上所穿过的的电通量通量 的源正是点的源正是点电荷荷q。第28页，共111页，编辑于2022年，星期一球面球面S上任意点的位置矢量上任意点的位置矢量为 试利用散度定理利用散度定理计算算 解解：例例：第29页，共111页，编辑于2022年，星期一 矢量矢量A沿某封沿某封闭曲曲线的的线积分分,定定义为A沿沿该曲曲线的的环量量(或或旋旋涡量量),记为 1.3 环量与旋度量与旋度,斯托克斯定理斯托克斯定理Curl,circulation,The Stokess theorem1.3.

16、1 环量量 Curl of a vector field第30页，共111页，编辑于2022年，星期一为反映反映给定点附近的定点附近的环量情况量情况,我我们把封把封闭曲曲线收小收小,使它包使它包围的面的面积S趋近于零近于零,取极限取极限 这个极限的意个极限的意义就是就是环量的面密度量的面密度,或称或称环量量强度。度。由于面元是有方向的由于面元是有方向的,它与封它与封闭曲曲线l的的绕行方向成右手螺旋关系行方向成右手螺旋关系,因此因此在在给定点定点处,上述极限上述极限值对于不同的面元是不同的。于不同的面元是不同的。为此此,引入引入旋度旋度(curl或或rotation):1.3.2 旋度的定旋度的

17、定义和运算和运算1、定义：、定义：第31页，共111页，编辑于2022年，星期一2 2、旋度的物理意义、旋度的物理意义1)矢量矢量A的旋度是一个矢量的旋度是一个矢量,其大小是矢量其大小是矢量A在在给定点定点处的最大的最大环量面密度量面密度,其方向就是当面元的取向使其方向就是当面元的取向使环量面密度最大量面密度最大时,该面元矢量的方向面元矢量的方向 。2)它描述它描述A在在该点点处的的旋旋涡源源强度度。3)若某区域中各点若某区域中各点curl A=0,称称A为无旋无旋场或保守或保守场。第32页，共111页，编辑于2022年，星期一矢量矢量A的旋度可表示的旋度可表示为密勒密勒算子算子 与与A的矢量

18、的矢量积,即即 计算算A时,先按矢量先按矢量积规则展开展开,然后再作微分运算然后再作微分运算,得得 3 3、旋度的计算、旋度的计算第33页，共111页，编辑于2022年，星期一第一章 矢 量 分 析 即即 第34页，共111页，编辑于2022年，星期一4、旋度运算旋度运算规则:在直角坐在直角坐标系中有系中有 第35页，共111页，编辑于2022年，星期一任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零。任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。任何旋度场一定是无散场任何旋度场一定是无散场第36页，共111页，编辑于2022年，星期一一一个

19、个矢矢量量场场的的旋旋度度是是一一个个矢矢量量函函数数，而而一一个个矢矢量量场场的的散散度度是是一一个个标标量函数；量函数；旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；是矢量场中各点的场量与通量源的关系；如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为能存在旋涡源，因而称之为无旋场无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存

20、在通量源，因而全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为称之为无源场无源场（或管形场）；（或管形场）；在旋度公式中，矢量场的场分量在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；其垂直的方向上的变化规律；在散度公式中，矢量场的场分量在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对分别只对x、y、z求偏求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿

21、着各自方向上的变化规律。规律。4、旋度与散度的区别、旋度与散度的区别：第37页，共111页，编辑于2022年，星期一因因为旋度代表旋度代表单位面位面积的的环量量,因此矢量因此矢量场在在闭曲曲线l上的上的环量就量就等于等于l所包所包围的曲面的曲面S上的旋度之上的旋度之总和和,即即 此式称此式称为斯托克斯斯托克斯(Stokes)定理或定理或斯托克斯公式斯托克斯公式。它可将矢量旋度的面它可将矢量旋度的面积分分变换为该矢量的矢量的线积分分,或反之。或反之。1.3.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 The Stokess theorem第38页，共111页，编辑于2022年，星期一自由空自由空间中的点中的点

22、电荷荷q所所产生的生的电场强度度为 求任意点求任意点处(r0)电场强度的旋度度的旋度E。例例第39页，共111页，编辑于2022年，星期一解解：第40页，共111页，编辑于2022年，星期一可可见,向分量向分量为零零;同同样,向和向和 向分量也都向分量也都为零。零。故故 这说明点明点电荷荷产生的生的电场是无旋是无旋场。因因第41页，共111页，编辑于2022年，星期一证明下述矢量斯托克斯定理：明下述矢量斯托克斯定理：式中式中S为包包围体体积V的封的封闭面。面。证 设C为一任意常矢，一任意常矢，则从而有从而有（1-37）例例1.4第42页，共111页，编辑于2022年，星期一根据散度定理，上式左

23、根据散度定理，上式左边等于等于于是得于是得由于上式中常矢由于上式中常矢C是任意的，故式（是任意的，故式（1-37）必成立。）必成立。第43页，共111页，编辑于2022年，星期一1.4 方向导数与梯度方向导数与梯度,格林定理格林定理标量量场(x,y,z)在某点沿在某点沿l方向的方向的变化率称化率称为沿沿该方向的方向方向的方向导数数 。它的。它的值与所与所选取的方向取的方向 有关有关,设 方向导数方向导数一、方向导数与梯度一、方向导数与梯度第44页，共111页，编辑于2022年，星期一梯度梯度 gradient1.是一个矢量是一个矢量2.的模就是的模就是在在给定点的最大方向定点的最大方向导数数3

24、.方向就是方向就是该具有最大方向具有最大方向导数的方向数的方向,亦即亦即的的变化率最化率最大的方向。大的方向。第45页，共111页，编辑于2022年，星期一梯度运算梯度运算规则:第46页，共111页，编辑于2022年，星期一2 2、梯度的物理意义、梯度的物理意义1)1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定等于零的

25、梯度的旋度一定等于零。任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度任何梯度场一定是无旋场任何梯度场一定是无旋场。梯度的重要性质梯度的重要性质第47页，共111页，编辑于2022年，星期一将散度定理中矢量将散度定理中矢量A表示表示为某某标量函数的梯度量函数的梯度与另一与另一标量函数量函数的乘的乘积,则有有 取上式在体取上式在体积V内的内的积分分,并并应用散度定理用散度定理,得得 二、二、格林定理格林定理 The Greens theorem(1)沿沿n方向的方向导数方向的方向导数格林格林(G.Green)第一第一恒等式恒等式 Greens first iden

26、tity 第48页，共111页，编辑于2022年，星期一S是包是包围体体积V的封的封闭面面,是封是封闭面面S的外法的外法线方向方向单位矢量。位矢量。适用于适用于在体在体积V内具有内具有连续二二阶偏偏导数的数的标量函数量函数和和(2)说明：说明：把式中的把式中的与与交交换位置位置,有有 格林第二格林第二恒等式恒等式 Greens first identity 第49页，共111页，编辑于2022年，星期一(1)(2)两式相减两式相减 得得 设矢量函数矢量函数P和和Q在封在封闭面面S所包所包围的体的体积V内有内有连续的二的二阶偏偏导数数,则有有 矢量格林定理矢量格林定理第50页，共111页，编辑于

27、2022年，星期一矢量格林第二定理矢量格林第二定理:利用上述格林定理利用上述格林定理,可以将体可以将体积V中中场的求解的求解问题变换为边界界S上上场的求的求解解问题。如果已知其中一个如果已知其中一个场的分布特性的分布特性,便可利用格林定理求解另一便可利用格林定理求解另一场的分布的分布特性。特性。第51页，共111页，编辑于2022年，星期一参参看看图1,场点点P(x,y,z)与与源源点点P(x,y,z)间的距离的距离为|R|,试证 这里里表示表示对带撇坐撇坐标(x,y,z)作微分运算作微分运算(将将P取取为定点定点,P为动点点):例：例：第52页，共111页，编辑于2022年，星期一证证 第5

28、3页，共111页，编辑于2022年，星期一即即 同理可得同理可得 第54页，共111页，编辑于2022年，星期一例例:求求P点的点的电位梯度位梯度。解解：在点在点电荷荷q的静的静电场中中,P(x,y,z)点的点的电位位为 第55页，共111页，编辑于2022年，星期一图 1-8 柱坐柱坐标系系 1.5 曲面坐曲面坐标系系1.5.1 圆柱坐柱坐标系系Cylindrical coordinate system三个单位矢量：三个单位矢量：矢量矢量P三个坐标分量三个坐标分量各物理量的变化范围：各物理量的变化范围：一、坐标系一、坐标系第56页，共111页，编辑于2022年，星期一 矢量矢量A在柱坐在柱坐

29、标系中系中的的表示表示为：以坐以坐标原点原点为起点起点,指向指向P点的矢量点的矢量r,称称为P点的点的位置矢量或矢径位置矢量或矢径。在柱坐。在柱坐标系中系中P点的位置矢量是点的位置矢量是 对任意的增量任意的增量d,d,dz,P点位置沿点位置沿 ,方向的方向的长度增量度增量(长度元度元)分分别为 三者三者总保持正交关系保持正交关系,并遵循右手螺旋法并遵循右手螺旋法则:位置矢量位置矢量二、矢量表示及相关物理量的表示二、矢量表示及相关物理量的表示长度增量度增量(长度元度元)第57页，共111页，编辑于2022年，星期一每个坐标长度增量每个坐标长度增量同各自坐同各自坐标增量之比增量之比,称称为度量系数

30、度量系数,又称拉梅又称拉梅(G.Lame)系数系数,分分别为 与三个与三个单位矢量相垂直的三个面位矢量相垂直的三个面积元和体元和体积元分元分别是是 度量系数度量系数(拉梅拉梅系数系数)：面面积元和体元和体积元元：第58页，共111页，编辑于2022年，星期一图 1-9 球面坐标系 1.5.2 球面坐球面坐标系系 Spherical coordinate system三个单位矢量：三个单位矢量：矢量矢量P三个坐标分量三个坐标分量各物理量的变化范围：各物理量的变化范围：一、坐标系一、坐标系第59页，共111页，编辑于2022年，星期一遵循右旋法遵循右旋法则:矢量矢量A在球坐在球坐标系中系中的的表示

31、表示：二、矢量表示及相关物理量的表示二、矢量表示及相关物理量的表示长度增量度增量(长度元度元)度量系数度量系数：第60页，共111页，编辑于2022年，星期一面面积元和体元和体积元元：第61页，共111页，编辑于2022年，星期一图 1-10 三种坐三种坐标间的的变换 1.5.3 三种坐三种坐标的的变换及及场论表示式表示式第62页，共111页，编辑于2022年，星期一直角坐标柱坐标直角坐标柱坐标第63页，共111页，编辑于2022年，星期一直角坐标球坐标直角坐标球坐标第64页，共111页，编辑于2022年，星期一 在柱坐标中三个长度元分别为在柱坐标中三个长度元分别为d,d和和dz,因而其算子相

32、应地因而其算子相应地换为换为 球坐标长度元为球坐标长度元为dr,rd和和r sind,故其故其算子为算子为 算子算子 第65页，共111页，编辑于2022年，星期一柱坐柱坐标中矢量中矢量A的散度和旋度的散度和旋度 为了对矢量函数求导为了对矢量函数求导,一个常用的公式是一个常用的公式是 第66页，共111页，编辑于2022年，星期一球球坐坐标中矢量中矢量A的散度和旋度的散度和旋度第67页，共111页，编辑于2022年，星期一在在一一对相相距距为l的的点点电荷荷+q和和-q(电偶偶极极子子)的的静静电场中中,距距离离rl处的的电位位为 求其求其电场强度度E(r,)。解解：例例 1.7第68页，共1

33、11页，编辑于2022年，星期一亥姆霍兹定理的简化表述如下亥姆霍兹定理的简化表述如下:若矢量场若矢量场F在无限空间中处处单值在无限空间中处处单值,且且其导数连续有界其导数连续有界,而源分布在有限区域中而源分布在有限区域中,则矢量场由其散度和旋度则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。唯一地确定。并且并且,它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和函数的旋度之和,即即 1.6 亥姆霍亥姆霍兹定理定理第69页，共111页，编辑于2022年，星期一二二.矢量场的分类矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类

34、：1)1)调和场调和场 若矢量场若矢量场F在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有：F=0和和F=0 则在该区域则在该区域V V内，场内，场F F为调和场。为调和场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场第70页，共111页，编辑于2022年，星期一如果如果 ，则称矢量场，则称矢量场F为无旋场。无旋场为无旋场。无旋场F可以表示可以表示为另一个标量场的梯度，即为另一个标量场的梯度，即函数函数u称为无旋场称为无旋场F F的标量位函数，简称标量

35、位。的标量位函数，简称标量位。无旋场无旋场F沿闭合路径沿闭合路径C C的环量等于零，即的环量等于零，即这这一一结结论论等等价价于于无无旋旋场场的的曲曲线线积积分分 与与路路径径无无关关，只只与与起点起点P P和终点和终点Q Q有关。有关。标量位标量位u的积分表达式：的积分表达式：2)有源无旋场有源无旋场 第71页，共111页，编辑于2022年，星期一由由 ，有，有第72页，共111页，编辑于2022年，星期一函数函数A称为无源场称为无源场F的矢量位函数，简称的矢量位函数，简称矢量位矢量位。无源场无源场F通过任何闭合曲面通过任何闭合曲面S的通量等于零的通量等于零，即，即4)有源有旋场有源有旋场一

36、般的情况下，如果在矢量场一般的情况下，如果在矢量场F的散度和旋度都不为零，即的散度和旋度都不为零，即 如果如果 ，则称矢量场，则称矢量场F为无源场。无源场为无源场。无源场F可以表示为可以表示为另一个矢量场的旋度，即另一个矢量场的旋度，即3)无源有旋场无源有旋场第73页，共111页，编辑于2022年，星期一可将矢量场可将矢量场F表示为一个无源场表示为一个无源场Fs和无旋场和无旋场Fi 的叠加，即的叠加，即其中其中Fs和和Fi分别满足分别满足 于是于是 因而，可定义一个标量位函数因而，可定义一个标量位函数u和矢量位函数和矢量位函数A A，使得，使得 第74页，共111页，编辑于2022年，星期一常

37、用的矢量恒等式第75页，共111页，编辑于2022年，星期一第76页，共111页，编辑于2022年，星期一矢量分析小结基本内容基本内容 矢量场的表示方法和代数运算和乘积运算矢量场的表示方法和代数运算和乘积运算 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度 标量场的梯度标量场的梯度 曲面坐标系曲面坐标系 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程第77页，共111页，编辑于2022年，星期一v基本要求基本要求1.掌握矢量在正交坐标系中的表示方法掌握矢量在正交坐标系中的表示方法2.掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义3.掌握矢量积、标量积的计算掌握矢量积、标量积的计算4.了了

38、解解矢矢量量场场散散度度的的定定义义，掌掌握握其其计计算算方方法法和和物物理理意意义义；掌掌握握散散度度定理的内容，并能熟练运用。定理的内容，并能熟练运用。5.了了解解矢矢量量场场旋旋度度的的定定义义，掌掌握握其其计计算算方方法法和和物物理理意意义义；掌掌握握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。斯托克斯公式的内容，并能数量应用。第78页，共111页，编辑于2022年，星期一6.了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义7.正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用8.了解曲面坐标系

39、中矢量的表示方法、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换9.了了解解曲曲面面坐坐标标系系中中散散度度、旋旋度度的的表表示示线线元元、面面积积元元、体体积积元元的的表表示示10.正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。第79页，共111页，编辑于2022年，星期一本章重要公式第80页，共111页，编辑于2022年，星期一第81页，共111页，编辑于2022年，星期一第82页，共111页，编辑于2022年，星期一例例利用直角坐标，证明利用直角坐标，证明 证明：证明：第83页，共111页，编辑于2022年，星期一例：例：给定两矢量

40、给定两矢量A=2ex+3ey-4ez和和B=4ex-5ey+6ez ，求它们之间的夹，求它们之间的夹角和角和A在在B上的分量。上的分量。解：解：A A与与B B之间的夹角为之间的夹角为 A A在在B B上的分量为上的分量为 第84页，共111页，编辑于2022年，星期一例：例：在在的方向导数为的方向导数为求标量函数求标量函数 x2yz的梯度及的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量向由单位矢量 定出；求点定出；求点(2,3,1)(2,3,1)的方向导数的方向导数值值解：解：第85页，共111页，编辑于2022年，星期一例：例：利用散度定理及斯托克斯定理

41、证明利用散度定理及斯托克斯定理证明：1）2）证明证明:对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理由斯托克斯定理由于曲面由于曲面S是任意的，故有是任意的，故有 第86页，共111页，编辑于2022年，星期一2)对对于于以以任意任意闭闭合合曲面曲面S为边界的体积为边界的体积V V，由散度定理有，由散度定理有 其中其中S S1 1和和S S2 2如图如图1 1所示。由斯托克斯定理，有所示。由斯托克斯定理，有 由题图由题图1 1可知可知C C1 1和和C C2 2是方向相反的同一回路，则有是方向相反的同一回路，则有 第87页，共111页，编辑于2022年，星期一

42、图1S1S2C2C1n1n2所以得到所以得到 由于体积由于体积V V是任意的，故有是任意的，故有第88页，共111页，编辑于2022年，星期一习题及答案习题及答案 已知已知 ,求：求：(b)(c)(d)（a）1-5解：解：(a)(b)(c)(d)第89页，共111页，编辑于2022年，星期一1-8设设为使为使，且且，的模的模B=1，试确定，试确定a、b的值。的值。解：解：，则则得得，又因又因即即得得或或第90页，共111页，编辑于2022年，星期一应用散度定理计算下述积分：应用散度定理计算下述积分：S是是和和所围成的半球区域的外表面所围成的半球区域的外表面解：解：1-13第91页，共111页，

43、编辑于2022年，星期一1-14，在在r=1和和r=2两个球面之间的区域存在矢量场两个球面之间的区域存在矢量场计算：计算：（a）（b）解：解：（a）第92页，共111页，编辑于2022年，星期一（b）可见散度定理成立。可见散度定理成立。第93页，共111页，编辑于2022年，星期一1-16，证明：证明：证：证：设设所以，所以，第94页，共111页，编辑于2022年，星期一又又所以，所以，第95页，共111页，编辑于2022年，星期一1-18，y的积分限为的积分限为）。并验证斯托克）。并验证斯托克设设，试计算下述面积分：试计算下述面积分：S为为x-y平面第一象限内半径为平面第一象限内半径为3的四

44、分之一圆（即的四分之一圆（即x的积分的积分限为限为斯定理。斯定理。解：解：303xyz第96页，共111页，编辑于2022年，星期一所以所以第97页，共111页，编辑于2022年，星期一又，又，所以，所以，斯托克斯定理成立。斯托克斯定理成立。第98页，共111页，编辑于2022年，星期一1-21在静电场中，电场强度在静电场中，电场强度。试求点（。试求点（2，2，0）处的）处的，设（，设（a）；（；（b）解：解：（a）所以；所以；第99页，共111页，编辑于2022年，星期一（b）所以，所以，第100页，共111页，编辑于2022年，星期一1-23求求在点（在点（2，3，1）处的梯度及沿方向）处

45、的梯度及沿方向的方向导数。的方向导数。解：解：所以，所以，第101页，共111页，编辑于2022年，星期一习题及答案习题及答案1.11.1 给定三个矢量、和如下：A=1ex+2ey-3ez，B=3ex+1ey+2ez，C=2ex-1ez求：(1)|A|，|B|，|C|；(2)ea，eb，ec；(3)AB；(4)A B;(5)(A B)C，(A C)B;(6)(A B)C，(A B)C;解(1)A A|B B|C|第102页，共111页，编辑于2022年，星期一(3)AB=-1(2)(4)第103页，共111页，编辑于2022年，星期一(6)-(A C)B=(A B)C=(7ex-11ey-5e

46、z)(2ex-1ez)=19(5)(A B)C=(A C)B=(A B)C-(B C)A=-(2ex-1ez)-4(1ex+2ey-3ez)=-6 ex-8ey+13ez 第104页，共111页，编辑于2022年，星期一解解（1）三个顶点的位置矢量分别为三角形三边的对应矢量为其中可见，该三角形为一直角三角形三角形的面积为：1-3 角形的三个顶点为 和 。（1）判断是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。第105页，共111页，编辑于2022年，星期一(1-4)给定矢量函数A=exy+eyx，试计算 (1)沿抛物线x2y2；（2）沿连接该两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的

47、线积分的值解：(2)连接点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的直线方程为 即(1)14第106页，共111页，编辑于2022年，星期一1.8 若标量函数为 ，试求在P(1,-2,1)点处的梯度。解：在P(1,-2,1)点处 第107页，共111页，编辑于2022年，星期一1-14 试证明：证明：第108页，共111页，编辑于2022年，星期一第109页，共111页，编辑于2022年，星期一1.18 已知矢量场F F的散度 F F q(r r)，旋度F F=0，试求该矢量场。解：由F F=0，可将F F表示为F=，代入F F q(r r)中，得到 q(r)，即 2q(r)F=二阶偏微分方程的解为：第110页，共111页，编辑于2022年，星期一1.17(1.17(E E)E E=(=(E E)E E-E E/2/2证明：证明：(E)E=(E)E-E/2 由得到：第111页，共111页，编辑于2022年，星期一