小学数学奥数知识点总结.pdf
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1、目目目目录录录录和差倍问题.2年龄问题的三个基本特征.2归一问题的基本特点.2植树问题.2鸡兔同笼问题.2盈亏问题.3牛吃草问题.3周期循环与数表规律.3平均数.4抽屉原理.4定义新运算.4数列求和.4二进制及其应用.5加法乘法原理和几何计数.5质数与合数.6约数与倍数.6数的整除.7余数及其应用.7余数、同余与周期.8分数与百分数的应用.8分数大小的比较.9分数拆分.9完全平方数.9比和比例.10综合行程.10工程问题.10逻辑推理.11几何面积.11立体图形.11时钟问题快慢表问题.12时钟问题钟面追及.12浓度与配比.12经济问题.13简单方程.13不定方程.13循环小数.14和差倍问题
2、和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数两个数的和,差,倍数关系公式(和差)2=较小数较小数差=较大数和较小数=较大数(和差)2=较大数较大数差=较小数和较大数=较小数和(倍数1)=小数小数倍数=大数和小数=大数差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数年龄问题的三个基本特征年龄问题的三个基本特征两个人的年龄差是不变的;两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;两个人的年龄的倍数是发生变化的;归一问题的基本特点归一问题的基本特点问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般
3、用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;植树问题植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封 闭 曲 线 上植树基本公式棵数=段数1棵距段数=总长棵数=段数1棵距段数=总长棵数=段数棵距段数=总长关键问题确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;把假设错的那部分置换出来;基本思路:假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):假设后,发生
4、了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。基本公式:把所有鸡假设成兔子:鸡数(兔脚数总头数总脚数)(兔脚数鸡脚数)把所有兔子假设成鸡:兔数(总脚数一鸡脚数总头数)(兔脚数一鸡脚数)关键问题:找出总量的差与单位量的差。盈亏问题盈亏问题基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后
5、根据题意求出对象的总量基本题型:一次有余数,另一次不足;基本公式:总份数(余数不足数)两次每份数的差当两次都有余数;基本公式:总份数(较大余数一较小余数)两次每份数的差当两次都不足;基本公式:总份数(较大不足数一较小不足数)两次每份数的差基本特点:对象总量和总的组数是不变的基本特点:对象总量和总的组数是不变的。关键问题:确定对象总量和总的组数。牛吃草问题关键问题:确定对象总量和总的组数。牛吃草问题基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;关键问题:确定两个不
6、变的量。基本公式:生长量=(较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数)(长时间-短时间);总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量;周期循环与数表规律周期循环与数表规律周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题:确定循环周期。闰年:一年有366天;年份能被4整除;如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;平年:一年有365天。年份不能被4整除;如果年份能被100整除,但不能被400整除;平均数平均数基本公式:平均数=总数量总份数总数量=平均数总份数总份数=总数量平均数平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数基本
7、算法:求出总数量以及总份数,利用基本公式进行计算.基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式抽屉原理抽屉原理抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在 n 个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么
8、一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。抽屉原则二:如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里,其中 nm,那么必有一个抽屉至少有:k=n/m+1个物体:当 n 不能被 m 整除时。k=n/m 个物体:当 n 能被 m 整除时。理解知识点:X表示不超过 X 的最大整数。例4.351=4;0.321=0;2.9999=2;关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。定义新运算关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。定义新运算基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合
9、)运算。基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。注意事项:新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。数列求和数列求和等差数列:在一列数中,任意相邻任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示;项数:等差数列的所有数的个数,一般用 n 表示;公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用 d 表示;通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示
10、基本思路:等差数列中涉及五个量:a1,an,d,n,sn,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。基本公式:通项公式:an=a1+(n1)d;通项首项(项数一1)公差;数列和公式:sn,=(a1+an)n2;数列和(首项末项)项数2;项数公式:n=(an+a1)d1;项数=(末项-首项)公差1;公差公式:d=(ana1)(n1);公差=(末项首项)(项数1);关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;二进制及其应用关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;二进制及其应用加法乘法原理和几何计数加法乘法原理和几何计数
11、加法原理:如果完成一件任务有 n 类方法,在第一类方法中有 m1种不同方法,在第二类方法中有 m2种不同方法,在第 n 类方法中有 mn种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+m2.+mn种不同的方法。关键问题:确定工作的分类方法。基本特征:每一种方法都可完成任务。乘法原理:如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行,做第1步有 m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有 m2种方法不管前面 n-1步用哪种方法,第 n 步总有 mn种方法,那么完成这件任务共有:m1m2.mn种不同的方法。关键问题:确定工作的完成步骤。基本特征:每一步只能完成任务的一部分。直线:一点在直线或空间沿一定方向或相
12、反方向运动,形成的轨迹。直线特点:没有端点,没有长度。线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点:有两个端点,有长度。射线:把直线的一端无限延长。射线特点:只有一个端点;没有长度。数线段规律:总数1+2+3+(点数一1);数角规律=1+2+3+(射线数一1);数长方形规律:个数=长的线段数宽的线段数:数长方形规律:个数=11+22+33+行数列数质数与合数质数与合数约数与倍数约数与倍数约数和倍数:若整数 a 能够被 b 整除,a 叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的约数。公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质:1、几
13、个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数 m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。例如:12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有:1、2、3、6、9、18;那么12和18的公约数有:1、2、3、6;那么12和18最大的公约数是:6,记作(12,18)=6;求最大公约数基本方法:1、分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。2、短除法:先找公有的约数,然后相乘。3、辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所
14、求的最大公约数。公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。12的倍数有:12、24、36、48;18的倍数有:18、36、54、72;那么12和18的公倍数有:36、72、108;那么12和18最小的公倍数是36,记作12,18=36;最小公倍数的性质:1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法数的整除数的整除一、基本概念和符号:1、整除:如果一个整数 a,除以一个自然数 b,得到一个整数商 c,而且没有余数,那么叫做
15、 a 能被 b 整除或 b 能整除 a,记作 b|a。2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“”,所以的符号“”;二、整除判断方法:1.能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。2.能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3.能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4.能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。5.能被7整除:末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6.能被11整除:末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
16、奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7.能被13整除:末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质:1.如果 a、b 能被 c 整除,那么(a+b)与(a-b)也能被 c 整除。2.如果 a 能被 b 整除,c 是整数,那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3.如果 a 能被 b 整除,b 又能被 c 整除,那么 a 也能被 c 整除。4.如果 a 能被 b、c 整除,那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。余数及其应用余数及其
17、应用基本概念:对任意自然数 a、b、q、r,如果使得 ab=qr,且0rb,那么 r 叫做 a 除以 b 的余数,q叫做 a 除以 b 的不完全商。余数的性质:余数小于除数。若 a、b 除以 c 的余数相同,则 c|a-b 或 c|b-a。a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以 c 的余数。余数、同余与周期余数、同余与周期一、同余的定义:若两个整数a、b 除以m的余数相同,则称a、b 对于模m同余。已知三个整数 a、b、m,如果 m|a-
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