大学物理力学--运动的质量16243.docx

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1、大学物理 力学第四篇：运动的质量清华大学电子工程系 无13班 蔡杨导论：做功和能能量是力学研研究中的一个个永恒的主题题。从功能原原理，到动能能定理，到机机械能守恒，到到能量守恒，似似乎已经成为为了我们我学学习力学的一一贯路径。但但是本文毕竟竟不是正版教教材，因此不不会按常规套套路出牌。我我们将从不同同于上述套路路的几个方面面来讨论功和和能量。由于我们以前主主要是以地作作为参考系，而而且只研究单单个质点，对对于非惯性系系和质点系统统的认识还不不够。本文将将主要从这几几个方面展开开。首先介绍几个定定义：（1） 保守力和耗散力力（或称非保保守力）：保守力：做功和和路径无关，只只与始末位置置有关的力叫

2、叫做保守力。保保守力都有其其对应的势能能。如：重力力，静电场力力等。耗散力：做功和和路径有关，而而且通常伴随随的是系统能能量的减少（耗耗散）的力称称为耗散力。耗耗散力无所谓谓势能。如：摩擦力。（2） 质心系：与一个个质点系统的的质心固连的的参考系叫做做质心系。质质心系威力之之巨大，令人人发指。许多多力学问题在在地面系中无无从下手，但但在质心系中中，只在弹指指一笑之间。（它它是个零动量量参考系，即即在此参考系系中观测到的的系统的总动动量为）（3） 内力和外力：内力：系统内部部的成员之间间的相互作用用称为内力。外力：系统内部部成员以外的的质元对系统统内部成员的的作用力称为为外力。（4）恢复系数数：

3、实际物体体都不是完美美的刚体。两两物体碰撞后后的相对速度度一般都比碰碰前要小。碰碰后速度同碰碰前速度的比比值称为恢复复系数。其次给出几个基基本定理：（1） 非惯性系的功能能原理：地参考系中的功功能原理：一个质点系，以以地为参考系系：外界对系系统所做的功功=系统能量量的变化。非惯性系中的功功能原理：由于我们研究范范围暂不涉及及其他能量，因因此右侧的特特指机械能。（2） *质点系的动能能定理（和教教程不一样样）：假设一个质点系系有个质点，对对其中的第个个质点用动能能定理：将系统内的所有有质点的方程程加起来，得得到：即：在某个过程程中，外力对对系统所做的的功和内力所所做的功的和和=质点系统统总的动能

4、的的变化。（这个讨论和教教程不一样样，仅作参考考，如有谬误误，请付之一一笑）（3） 非惯性系中的动动能定理：加个惯性力以后后就和我们经经常说的动能能定理一样了了。（真实力+惯性性力）对质点点所做的功=质点动能的的变化（4） 质点系的柯尼希希定理（描述质点系在在地参考系中中的动能和在在质心系中的的动能的关系系）：注：下式中表示示对地动能，表示对质心系动能。表示对地速度，表示对质心系速度，表示质心的速度。为第个质点的质量，为整个系统的总质量。表示质心系的质元个数。上式利用了一个个结论 ： 质心系是零动量量参考系，即得到：（5） 瞬时的巨大作用用（碰撞和爆爆炸）：通常认为此过程程动量守恒，能能量不守

5、恒（但但是有个恢复复系数）。大大家通常习惯惯于列两个方方程：动量守守恒+能量关关系。实际上上这里面蕴含含了一个重大大的秘密：上上面那个二次次方程组，不不好解，我们们可以写作一一个格式，但但不用去解它它。上面的方方程组在物理理意义上等价价于： 动量守恒恒 远离速度度=接近速度度很多人不禁会问问，二次方程程组应该有两两组解，怎么么会等价于两两个线性方程程呢。我想反反问一句，每每次做这种题题解出来俩解解，你的答案案一般是一个个呢？还是两两个呢？那就让我们进入入魔幻的能量量题海吧：(每次都能看到到这一题)两两个等高的小小定滑轮相距距为m，物块块A和B的质质量都是1kkg，物块CC的质量为11.9kg。

6、初初始时两滑轮轮间的细绳水水平，系统静静止。假设绳绳和滑轮的质质量均不计，且且不计滑轮轴轴上的摩擦。当当C下降0.75m时，试试问：（1）A、B、CC的速度分别别是多少。（2）A、B、CC的加速度分分别是多少。解答：本题很多多辅导材料上上都有，但有有很多都是解解错的。错误误的原因一般般都在于：他他们认为第二二小问答案是是0。下面将将证明这是不不对的。在题文中研究的的时刻，易得得以下几何关关系：(1) 思路：一个机械械能守恒就解解决问题了。注注意二者的速速度关系即可可。中间物块块沿绳方向的的分速度等于于旁边物块的的速度。然后后就是势能减少量 = 动能增加加量所求A、B、CC的速度分别别记作，有机

7、机械能守恒：还有个速度牵连连：代入有关数据，解解得：(2) 设绳中张力为TT，左右的小小物块的加速速度为，中间间的小物块的的速度为。则则有动力学方方程：下面便是比较容容易错的一步步：有平面极坐标方方程下的加速速度表达式：径向加速度：整理后得到：从这个结果我们们惊奇地发现现：速度最大的点还还不在这里，那那个位置应该该在更下方的的位置。至于于具体位置，还还有待笔者的的进一步计算算。如下图所示，假假设地面光滑滑。三个半径径均为r，质质量分别为mm、的球叠放在在一起，他们们之间的摩擦擦力忽略不计计。试求解当当小球A落地地时它的速度度为多少？解答：如下图所所示为角位置置为时的情况况，假设此时时A、B两球

8、球即将分离，则则根据机械能能守恒定律得得到：沿直线方向速度度相等：由于即将分离，二二者之间没有有相互作用力力：取B做参考系，则则此系为一惯惯性系。A相对于它作圆圆周运动，相相对速度：列出A的动力学学方程：解得：此后A与另外两两个球分道扬扬镳，不再接接触。对系统从静止到到A落地使用用机械能守恒恒：A落地时时：轻松加愉快地解解得：做完这一题的感感觉：分析清清楚了受力和和运动，这个个题看起来爆爆2B。不过过计算真的很很烦人。而且且多了一项、少少了一项都会会是致命的错错误。所以，如如果做错了，借借用司马懿那那句话安慰你你下：下次次注意点儿！如图，质量为的的小环套在水水平光滑的固固定细杆上，并并用长为地

9、轻轻线与质量为为的小球连接接。初始时轻轻线位于水平平位置且处于于拉直状态，问问轻线与杆夹夹角为时线中中的张力。解答：角方位为为时运动状态态已经在图中中给出（画了了好久哦亲）。有由此可以解出：因此小球相对于于环的速度下面进行动力学学分析：以小环作为参考考系，此系为为一非惯性系系，其加速度度：小球在此系中的的动力学方程程（沿法向）：联立上述两式，可可以解得：小球从水平地面面上以初速度度斜抛出去，小小球落地时在在竖直方向上上发生的非弹弹性碰撞恢复复系数为，小小球与地面间间的摩擦因数数为。若要求求小球第一次次与地面碰撞撞后竖直弹起起，试求小球球可能达到的的最大水平射射程。解答：小球的水水平、竖直初初速

10、度分别为为：水平射程为：竖直方向上用动动量：合理近似得到：水平方向上用动动量：上式中：整理得到：代入的数值后得得到：讨论：（1）若若，则可以取，则有有：=（2） 若，则抛射角的的取值范围：此时当取最小时，抛抛射距离最大大：本题精华在于摩摩擦力冲量和和支持力冲量量的关系！在水平桌面上，质质量分别为和和（）的两个物物体A、B，由由一个倔强系系数为的轻弹弹簧连接，两两物体与桌面面的摩擦系数数都是。开始始时，A静止止而B以初速速度的初速度度拉伸弹簧，求求弹簧的最大大伸长量的值值。解答：这道题从从惯性系来解解，生还的可可能性非常之之小。但是从从质心系中来来看这个问题题，却显得十十分的简单。我们将问题分作

11、作两部分来研研究：（1） A尚未运动前：A运动的条条件：而此过程中：代入，得到：（2） A运动起来后，在在质心系里面面看：功能原理告之：由于在质心系中中，惯性力对对系统不做功功，即（惯性性力对系统的的作用等效作作用于质心，而而在质心系中中质心的位置置不变）而摩擦力做功：式中，故得到：解之：注：折合质量，上上式中我们十十分轻松的写写出了质心系系中二质点系系统的动能，这这是因为我们们有利器在手手。质心系中中二质点系统统的动能：上式中，为二质质点系统的折折合质量。是是两质点的相相对速度，在在牛顿的世界界观里，这个个速度和参考考系的选取无无关。解题中之所以不不写出，是怕怕和摩擦系数数弄混。特此此声明。（折合质量各类类教材中都会会给出十分详详细讨论。这这儿就打打酱酱油，从略了了。个人观点点：科大的力力学篇关于于折合质量的的部分很不错错）。在我的观点里，做做功和能量是是力学中最优优美的求解形形式。它不用用将运动分离离的四分五裂裂，破坏自然然界的和谐。只只关心始末的的状态。然而而，很多时候候也会令人抓抓狂。总而言言之，运动的的质量：功功和能量是是力学殿堂中中举足轻重的的一位长老，我我们想要征服服他，就首先先要膜拜他。2012.3.9