利用初等函数的连续性求极限精.ppt

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1、利用初等函数的连续性求极限第1页，本讲稿共33页一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为第2页，本讲稿共33页2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率=割线MN的斜率的极限第3页，本讲稿共33页两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.为函数关于自变量的瞬时变化率的问题第4页，本讲稿共33页二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点

2、处可导可导,在点的导数导数.若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在就说函数的导数为无穷大.第5页，本讲稿共33页在 时刻的瞬时速度运动质点的位置函数曲线在 M 点处的切线斜率第6页，本讲稿共33页1.设存在,则2.已知则解解:3.设存在,且求所以第7页，本讲稿共33页4.设存在,求极限解解:原式第8页，本讲稿共33页 存在,在点的某个右右 邻域内则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作(左)(左左)定义定义2.设函数有定义,定理定理定理定理2.2.存在不存在单侧导数单侧导数若极限第9页，本讲稿共33页例如例如,在 x=0 处有第10页，本讲稿共33页若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导

3、数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就称函数在 I 内可导.若函数与则称在开区间 内可导,在闭区间 上可导.且第11页，本讲稿共33页例例1.求函数(C 为常数)的导数.解解:即例例2.求函数的导数.解解:即第12页，本讲稿共33页说明：说明：对一般幂函数(为常数)例如，例如，第13页，本讲稿共33页四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数(P94)第14页，本讲稿共33页四、四、导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法

4、线方程:第15页，本讲稿共33页例例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线第16页，本讲稿共33页五、五、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.即第17页，本讲稿共33页判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义 可导必连续,但连续不一定可导;第18页，本讲稿共33页在求.设其中

5、在因故正确解法:时,下列做法是否正确?处连续,第19页，本讲稿共33页第二节函数的求导法则 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 第20页，本讲稿共33页一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且第21页，本讲稿共33页此法则可推广到任意有限项的情形.推论推论:(C为常数)(C为常数)第22页，本讲稿共33页例例1.解解:第23页，本讲稿共33页例例2.求证证证:第24页，本讲稿共33页二、反

6、函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2.y 的某邻域内单调可导,例例1.求反三角函数的导数.解解:设则,则第25页，本讲稿共33页在点 x 可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,例例2.求下列导数:解解:(1)(2)(3)第26页，本讲稿共33页例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.第27页，本讲稿共33页例例3.设求解解:例例4.设解解:第28页，本讲稿共33页 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数第29页，本讲稿共33页例例7.求解解:关键关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导第30页，本讲稿共33页例例8.设求解解:第31页，本讲稿共33页.求下列函数的导数解解:(1)(2)或第32页，本讲稿共33页思考思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同练习练习:1、设解解:、第33页，本讲稿共33页