线性代数方程组的迭代解法.ppt
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1、关于线性代数方程组的迭代解法现在学习的是第1页,共25页2 Jacobi和和Gauss-Seidel迭代法迭代法一、一、Jacobi迭代法迭代法设方程组设方程组将系数矩阵将系数矩阵分裂分裂为:为:其中其中现在学习的是第2页,共25页如果如果原方程组可化为原方程组可化为其中其中相应的迭代格式相应的迭代格式上述方法称为上述方法称为Jacobi迭代法,简称迭代法,简称J法或法或简单简单迭代法迭代法分量分量形式:形式:现在学习的是第3页,共25页二、二、Gauss-Seidel迭代法迭代法G-S迭代法是迭代法是J迭代法的一种迭代法的一种改进改进在在J迭代公式中,计算迭代公式中,计算 时,利用已经算出来
2、的时,利用已经算出来的新的新的值,从而得到值,从而得到G-S迭代法。迭代法。G-S迭代法的迭代法的分量分量形式:形式:现在学习的是第4页,共25页例例1 1:利用利用Jacobi和和Gauss-Seidel迭代法求解方程组迭代法求解方程组解:解:Jacobi迭迭代代格格式式现在学习的是第5页,共25页G-S迭迭代代格格式式计计算算结结果果取初值取初值Jacobi迭代法迭代法 要求 精度迭代次数 0.001 9(1.0002507 1.0000694 1.0002507)0.0001 10(0.9999541 1.0001253 0.9999541)0.00001 14(0.9999981 1.
3、0000020 0.9999981)方方 程程 组组 的的 近近 似似 解解现在学习的是第6页,共25页 G-S迭代法的迭代矩阵:迭代法的迭代矩阵:计计算算结结果果Gauss-Seidel迭代法迭代法 要求 精度迭代次数 0.001 5(0.9997916 0.9998479 1.0000664)0.0001 7(0.9999929 0.9999949 1.0000022)0.00001 8(1.0000013 1.0000009 0.9999996)方方 程程 组组 的的 近近 似似 解解取初值取初值由迭代公式由迭代公式迭代矩阵迭代矩阵现在学习的是第7页,共25页三、三、Jacobi和和Ga
4、uss-Seidel迭代法的收敛性迭代法的收敛性Jacobi迭代法收敛的迭代法收敛的充要充要条件是条件是Gauss-Seidel迭代法收敛的迭代法收敛的充要充要条件是条件是推论推论1:Jacobi迭代法收敛的迭代法收敛的充分充分条件是条件是Gauss-Seidel迭代法收敛的迭代法收敛的充分充分条件是条件是 如例如例1 1:利用利用J和和G-S迭代法求解方程组迭代法求解方程组现在学习的是第8页,共25页Jacobi迭代矩阵迭代矩阵系数矩阵系数矩阵现在学习的是第9页,共25页Gauss-Seidel迭代矩阵迭代矩阵现在学习的是第10页,共25页设设 满足满足称称 为严格为严格对角占优对角占优矩阵
5、矩阵如果如果 且至少有一个严格且至少有一个严格不等式成立,则称不等式成立,则称 为为弱对角占优弱对角占优矩阵。矩阵。设设 ,如果能找到,如果能找到排列排列阵阵 ,使得,使得其中其中 与与 均为均为方方阵阵,称,称 为为可约可约的的否则称否则称 为为不可约不可约的的现在学习的是第11页,共25页例如:例如:矩阵矩阵是是可约可约的的若系数矩阵是若系数矩阵是可约可约的,则可通过的,则可通过行行与与列重排列重排化为化为(*)式,从而可以将方程组简化为式,从而可以将方程组简化为低阶低阶方程组。方程组。现在学习的是第12页,共25页(补充(补充:可约可约矩阵的矩阵的等价等价定义)定义)是可约矩阵,当且仅当
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