数学建模之离散模型课件.ppt
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1、关于数学建模之离散模型第1页,此课件共65页哦离散模型离散模型 离散模型:差分方程(第离散模型:差分方程(第7 7章)、整章)、整数规划(第数规划(第4 4章)、图论、对策论、网章)、图论、对策论、网络流、络流、分析社会经济系统的有力工具分析社会经济系统的有力工具 只用到代数、集合及图论(少许)只用到代数、集合及图论(少许)的知识的知识第2页,此课件共65页哦8.1 层次分析模型层次分析模型背背景景 日常工作、生活中的决策问题日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大作比较判断时人的主观选择起相当大的作用,各因素的重要性难
2、以量化的作用,各因素的重要性难以量化 Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process)AHP一种一种定性与定量相结合的、系统定性与定量相结合的、系统化、层次化化、层次化的分析方法的分析方法第3页,此课件共65页哦目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2海南海南P1桂林桂林P3张家界张家界准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途一一.层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例.选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、费个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素
3、选择用、居住条件等因素选择.第4页,此课件共65页哦“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归纳思维过程的归纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次:目标层个层次:目标层O,准则层,准则层C,方案,方案层层P;每层有若干元素,;每层有若干元素,各层元素间的关系用相连的直线各层元素间的关系用相连的直线表示。表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方案通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方案对每一准则的权重。对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的权重。将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完层次分析法将定性分析与定量分析结合
4、起来完成以上步骤,给出决策问题的定量结果。成以上步骤,给出决策问题的定量结果。第5页,此课件共65页哦层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比,对比采用相对尺度元素之间两两对比,对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地景色景色费用费用居住居住饮食饮食旅途旅途第6页,此课件共65页哦成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况一致比较一致比较不一致不一致允许不一致,但要确定不一致的允
5、许范围允许不一致,但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量第7页,此课件共65页哦成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵,如,如 A的秩为的秩为1,A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致(但在允许范围内但在允许范围内)的成对比的成对比较阵较阵A,建议用对应于最大特征根,建议用对应于最大特征根 的特的特征向量作为权向量征向量作为权向量w,即,
6、即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量第8页,此课件共65页哦2 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强aij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵,种比较尺度对若
7、干实例构造成对比较阵,算出权向量,与实际对比发现,算出权向量,与实际对比发现,19尺度较优。尺度较优。便于定性到定量的转化:便于定性到定量的转化:成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量第9页,此课件共65页哦一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知:已知:n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证:可证:n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且 =n时为一致阵时为一致阵定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大,不一致越严重越大,不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1
8、.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小,引入的大小,引入随机一致性指标随机一致性指标 RI随机模拟得随机模拟得到到aij,形成形成A,计算,计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR=CI/RI 当当CR0.1时,通过一致性检验时,通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下第10页,此课件共65页哦“选择旅游地选择旅游地”中准中准则层对目标的权向量则层对目标的权向量及一致性检验及一致性检验准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,
9、0.110)T一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.016=n,=n是是A为一致阵的充要条件。为一致阵的充要条件。正互反阵的最大特征根是正数,正互反阵的最大特征根是正数,特征向量是正向量。特征向量是正向量。一致性指标一致性指标 定义合理定义合理第20页,此课件共65页哦2.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 精确计算的复杂和不必要精确计算的复杂和不必要 简化计算的思路简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量,一致性尚一致阵的任一列向量都是特征向量,一致性尚好的
10、正互反阵的列向量都应近似特征向量,可取其某种意义下的平均。好的正互反阵的列向量都应近似特征向量,可取其某种意义下的平均。和法和法取列向量的算术平均取列向量的算术平均列向量列向量归一化归一化算术算术平均平均精确结果精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010第21页,此课件共65页哦根法根法取列向量的几何平均取列向量的几何平均幂法幂法迭代算法迭代算法1)任取初始向量)任取初始向量w(0),k:=0,设置精度,设置精度 2)计算计算3)归一化)归一化5)计算计算简化简化计算计算4)若)若 ,停止;否则,停止;否则,k:=k+1,转转2第22页,此课件共65页哦3.特征向量作
11、为权向量特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应成对比较的多步累积效应问题问题一致阵一致阵A,权向量权向量w=(w1,wn)T,aij=wi/wjA不一致不一致,应选权向量应选权向量w使使wi/wj与与 aij相差尽量相差尽量小(对所有小(对所有i,j)。用拟合方法确定用拟合方法确定w非线性非线性最小二乘最小二乘线性化线性化对数最小二乘对数最小二乘结果与根法相同结果与根法相同第23页,此课件共65页哦 按不同准则确定的权向量不同,按不同准则确定的权向量不同,特征向量有什么优点。特征向量有什么优点。成对比较成对比较Ci:Cj(直接比较)直接比较)aij 1 1步强度步强度aisasj Ci通过通
12、过Cs 与与Cj的比较的比较aij(2)2步强度步强度更能反映更能反映Ci对对Cj 的强度的强度多步累积效应多步累积效应体现体现多步累积效应多步累积效应定理定理1 1特征向量体现特征向量体现多步累积效应多步累积效应当当k足够大足够大,Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的权重的权重求求Ak的行和的行和第24页,此课件共65页哦4.不完全层次结构中组合权向量的计算不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构:上层每一元素与下层所有元素相关联完全层次结构:上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构不完全层次结构设第设第2层对第层对第1层权向量层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定已定第
13、第3层对第层对第2层权向量层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得讨论由讨论由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3)计算计算第第3层对第层对第1层权向量层权向量w(3)的方法的方法贡献贡献O教学教学C1科研科研C2P2 P1P3P4例例:评价教师贡献的层次结构评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学只作教学,P4只作科研只作科研,P3兼作教学、科研。兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等支配元素的数目不等第25页,此课件共65页哦 不考虑支配元素数目不等的影响不考虑支配元素数目不等的影响 仍用仍
14、用 计算计算 支配元素越多权重越大支配元素越多权重越大用支配元素数目用支配元素数目n1,n2对对w(2)加权修正加权修正 若若C1,C2重要性相同重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1P4能力相同能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的评价应为:公正的评价应为:P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 再用再用 计算计算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T 支配元素越多权重越小支配元素越多权重越小教学、科研任务由上级安排教学、科研任务由上级安排教学、科研靠个人积极性教
15、学、科研靠个人积极性考察一个特例:考察一个特例:第26页,此课件共65页哦5.残缺成对比较阵的处理残缺成对比较阵的处理miA第第i 行行中中 的个数的个数 为残缺元素为残缺元素辅助矩阵辅助矩阵第27页,此课件共65页哦6.更复杂的层次结构更复杂的层次结构 递阶层次结构:层内各元素独立,无相互影响和支递阶层次结构:层内各元素独立,无相互影响和支配;层间自上而下、逐层传递,无反馈和循环。配;层间自上而下、逐层传递,无反馈和循环。更复杂的层次结构:更复杂的层次结构:层内各元素间存在相互影响或支层内各元素间存在相互影响或支配;层间存在反馈或循环。配;层间存在反馈或循环。制动制动底盘底盘车轮车轮方向盘方
16、向盘发动机发动机减震装置减震装置刹车刹车转向转向运行运行加速性能加速性能汽车行驶性能汽车行驶性能汽车汽车1汽车汽车2汽车汽车n例例第28页,此课件共65页哦 层次分析法的优点层次分析法的优点 系统性系统性将对象视作系统,按照分解、比较、判断、综合的思将对象视作系统,按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策维方式进行决策系统分析(与机理分析、测试分析并列);系统分析(与机理分析、测试分析并列);实用性实用性定性与定量相结合,能处理传统的优化方法不定性与定量相结合,能处理传统的优化方法不能解决的问题;能解决的问题;简洁性简洁性计算简便,结果明确,便于决策者直接了计算简便,结果明确,便于决策者直
17、接了解和掌握。解和掌握。层次分析法的局限层次分析法的局限 囿旧囿旧只能从原方案中选优,不能产生新方案;只能从原方案中选优,不能产生新方案;粗略粗略定性化为定量,结果粗糙;定性化为定量,结果粗糙;主观主观主观因素作用大,结果可能难以服人。主观因素作用大,结果可能难以服人。第29页,此课件共65页哦8.2 循环比赛的名次循环比赛的名次 n支球队循环赛,每场比赛支球队循环赛,每场比赛只计胜负,没有平局。只计胜负,没有平局。根据比赛结果排出各队名次根据比赛结果排出各队名次方法方法1:寻找按箭头方向通过全寻找按箭头方向通过全部顶点的路径。部顶点的路径。123456312456146325方法方法2:计算
18、得分:计算得分:1队胜队胜4场,场,2,3队各胜队各胜3场,场,4,5队队各胜各胜2场,场,6队胜队胜1场。场。无法排名无法排名2,3队,队,4,5队无法排名队无法排名6支球队比赛结果支球队比赛结果32,4 5排名排名 132456 合理吗合理吗第30页,此课件共65页哦123(1)123(2)1234(1)1234(2)1234(3)1234(4)循环比赛的结果循环比赛的结果竞赛图竞赛图每对顶点间都有边相连的有向图每对顶点间都有边相连的有向图3个顶点个顶点的竞赛图的竞赛图名次名次1,2,3(1,2,3)并列并列1,2,3,42,(1,3,4)(1,3,4),24个顶点的个顶点的竞赛图竞赛图名
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