标量衍射的角谱理论.ppt

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1、标量衍射的角谱理论现在学习的是第1页，共22页2-1 光波的数学描述光波的数学描述光振动的复振幅表示光振动的复振幅表示光场随时间的变化光场随时间的变化e-j2pnpnt不重要不重要:u(P,t)=a(P)cos2pnpnt -j j(P)=ea(P)e-j2pnpnt-j j(P)n n 1014Hz,无法探测无法探测n n为常数为常数,线性运算后亦不变线性运算后亦不变对于携带信息的光波对于携带信息的光波,感兴趣的是其空间变化部分感兴趣的是其空间变化部分.故引入故引入复振幅复振幅U(P):为了导出为了导出a(P)、n n、j j(P)必须满足的关系，将光场用复数表示必须满足的关系，将光场用复数

2、表示,以以利于简化运算利于简化运算=ea(P)e jj j(P).e-j2pnpnt 复数表示有利于将复数表示有利于将时空变量分开时空变量分开U(P)=a(P)e jj(P)则则 u(P,t)=e U(P)e-j2pnpnt 现在学习的是第2页，共22页2-1 光波的数学描述光波的数学描述亥姆霍兹（亥姆霍兹（Helmholtz)方程方程可导出复振幅满足的方程为：可导出复振幅满足的方程为：将将U(P)exp(j2pn pn t)代入波动方程代入波动方程即亥姆霍兹（即亥姆霍兹（Helmholtz)方程方程 -不含时间的波动方程不含时间的波动方程 称为称为波数波数或或传播常数传播常数，表示表示单位长

3、度上产生的相位变化单位长度上产生的相位变化 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足亥姆霍兹亥姆霍兹方方程。也就是说，程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场。波场。现在学习的是第3页，共22页2-1 光波的数学描述光波的数学描述光振动的复振幅表示光振动的复振幅表示:说明说明 U(P)是空间点的复函数是空间点的复函数,描写光场的空间分布描写光场的空间分布,与时间无关与时间无关;U(P)=a(P)e jj j(P)U(P)同时表征了空间各点的振幅同时表征了空间各点的振幅|

4、U(P)|=|a(P)|和相对位相和相对位相arg(U)=j j(P)方便运算方便运算,满足叠加原理满足叠加原理 实际物理量是实量实际物理量是实量.要恢复为真实光振动要恢复为真实光振动:光强分布光强分布:I=UU*光强是波印廷矢量的时间平均值光强是波印廷矢量的时间平均值,正比于电场振幅的平方正比于电场振幅的平方 u(P,t)=eU(P)exp(-j2pnpnt)即可即可现在学习的是第4页，共22页2-1 光波的数学描述光波的数学描述2、球面波的复振幅表示、球面波的复振幅表示点光源或会聚中心点光源或会聚中心球面波球面波:等相面为球面等相面为球面,且所有等相面有且所有等相面有共同中心共同中心的波的

5、波k=|k|=2p p/l l,为波数为波数.表示由表示由于波传播于波传播,在单位长度上引起在单位长度上引起的位相变化的位相变化,也表明了光场变也表明了光场变化的化的“空间频率空间频率”(P(x,y,z)0zyx源点源点S(rk设观察点设观察点P(x,y,z)与发散球面波中心的距离为与发散球面波中心的距离为r,k:传播矢量传播矢量球面波的等位相面球面波的等位相面:kr=c 为球面为球面则则P点处的复振幅点处的复振幅:j j(P)=k.rk:传播矢量传播矢量球面波球面波:k/ra0:单位距离处单位距离处的光振幅的光振幅现在学习的是第5页，共22页2-1 光波的数学描述光波的数学描述会聚球面波会聚

6、球面波会聚球面波会聚球面波(P(x,y,z)会聚点S(r0zyxk现在学习的是第6页，共22页2-1 光波的数学描述光波的数学描述球面波球面波:空间分布空间分布距离距离 r 的表达的表达若球面波中心在原点若球面波中心在原点:若球面波中心在若球面波中心在 S(x0,y0,z0):P点处的复振幅点处的复振幅:取决于取决于k与与r是平行是平行还是反平行还是反平行现在学习的是第7页，共22页光波的数学描述光波的数学描述球面波球面波:在给定平面的分布在给定平面的分布以系统的光轴为以系统的光轴为z轴轴,光沿光沿 z 轴正方向传播轴正方向传播.所所考察的平面垂直于考察的平面垂直于z 轴轴令点光源位于令点光源

7、位于z=0的平面上坐标的平面上坐标(x0,y0)处处.考察与其距离考察与其距离为为z的的x-y平面上的光分布平面上的光分布需要作近轴近似需要作近轴近似z现在学习的是第8页，共22页光波的数学描述光波的数学描述球面波球面波:近轴近似近轴近似只考虑只考虑 x-y平面上对源点平面上对源点 S 张角不大的范围张角不大的范围,即即可以作泰勒展开可以作泰勒展开(1+D D)1/2 1+D D/2一级近似一级近似二级近似二级近似对振幅中对振幅中r 的可作一级近似的可作一级近似.但因为但因为 k 很大很大,对位相中的对位相中的 r 须作二级近似须作二级近似现在学习的是第9页，共22页2-1 光波的数学描述光波

8、的数学描述二、球面波二、球面波:近轴近似近轴近似已将球面波中心取在已将球面波中心取在 z=0的平面的平面,且光波沿且光波沿 z 轴正方向传播轴正方向传播.如果如果 z 0,上式代表从上式代表从 S 发散的球面波发散的球面波.如果如果 z 0,上式代表向上式代表向 S 会聚的球面波会聚的球面波.对给定平面对给定平面是常量是常量随随x,y变化的二次位相因子变化的二次位相因子球面波特征位相球面波特征位相球面波中心球面波中心在原点在原点:x-y 平面上等位相线方程为平面上等位相线方程为:现在学习的是第10页，共22页光波的数学描述光波的数学描述3、平面波的复振幅表示平面波的复振幅表示等相面为平面等相面

9、为平面,且且这些平面垂直于光这些平面垂直于光波传播矢量波传播矢量 k.等相平面的法线方向等相平面的法线方向k(kcosa a,kcosb b,kcosg g)k 的方向余弦的方向余弦 均为均为常量常量现在学习的是第11页，共22页光波的数学描述光波的数学描述3、平面波的复振幅表示平面波的复振幅表示等相面为平面等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量且这些平面垂直于光波传播矢量 k.等相平面的法线方向等相平面的法线方向 k(kcosa a,kcosb b,kcosg g)k 的方向余弦的方向余弦,均为常量均为常量以以 k 表示的等相平面方程为表示的等相平面方程为 k.r=const.故平面波复

10、振幅表达式为故平面波复振幅表达式为:线性位相因子线性位相因子常量振幅常量振幅现在学习的是第12页，共22页光波的数学描述光波的数学描述3、平面波、平面波:在给定平面的分布在给定平面的分布在在x-y平面上的等位相线平面上的等位相线 xcosa a+ycosb b=const为平行直线族为平行直线族在与原点相距为在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅的平面上考察平面波的复振幅:随随x,y线性变化的线性变化的位相因子位相因子常数幅相因子常数幅相因子,A现在学习的是第13页，共22页光波的数学描述光波的数学描述4、平面波的空间频率、平面波的空间频率在与原点相距为在与原点相距为 z 的平面上考察

11、平面波的位相分布的平面上考察平面波的位相分布.等位相线是等位相线是平行直线族平行直线族.为简单计为简单计,先看先看k在在x-z平面内平面内:cosb b=0等位相面是平行于等位相面是平行于y 轴的一系列平面轴的一系列平面,间隔为间隔为l lz等位相面与等位相面与x-z平面相交平面相交形成平行直线形成平行直线等位相面与等位相面与x-y平面相交平面相交形成平行于形成平行于y轴的直线轴的直线复振幅分布复振幅分布:沿沿x方向的等相线方向的等相线间距间距:现在学习的是第14页，共22页光波的数学描述光波的数学描述四、平面波的空间频率四、平面波的空间频率复振幅分布复振幅分布:定义定义 复振幅分布在复振幅分

12、布在x方向的空间频率方向的空间频率:复振幅分布可改写为复振幅分布可改写为:Y=,fy=0对于在对于在x-z平面内传播的平面波平面内传播的平面波,在在y方向上有方向上有:现在学习的是第15页，共22页光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率:一般情形一般情形定义定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率平面波在平面波在x和和y方向的空间频率分别为方向的空间频率分别为:cosa a,cosb b 为波为波矢的方向余弦矢的方向余弦若波矢在若波矢在x-z平面或平面或y-z平面中平面中,a a (b b)又常用它们又常用它们的余角的

13、余角q qx(q qy)表示表示,故故:引入空间频率概念后引入空间频率概念后,单色平面波单色平面波在在xy 平面的复振幅分布可以表示为平面的复振幅分布可以表示为 现在学习的是第16页，共22页光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念单位振幅的单色平面波单位振幅的单色平面波,波矢量波矢量k与与x轴夹角轴夹角为为30,与与y轴夹角为轴夹角为60.(1)画出画出z=z1平面上间隔为平面上间隔为2p p的等相线族的等相线族,并并求出求出Tx、Ty、T 和和fx、fy和和 f。(2)画出画出y=y1平面上间隔为平面上间隔为2p p的等相线

14、族的等相线族,并求出并求出Tx、Tz 和和fx、fz.练习练习 1现在学习的是第17页，共22页光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念如果平面波传播方向在如果平面波传播方向在xz平面平面(或或yz平面平面),与与z轴夹角为轴夹角为q q,则此平面波复振幅沿则此平面波复振幅沿x方向方向(或或y方向方向)的空间频率为的空间频率为:现在学习的是第18页，共22页光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念对于传播方向与对于传播方向与z轴夹角为轴夹角为-30 的情况的情况,

15、再解上题再解上题.练习练习 3振幅为振幅为1,波长为波长为l l=500=500nm 的单色平面波的单色平面波,传播方向在传播方向在xz平面内平面内,并与并与z轴夹角为轴夹角为30.写出其复振幅表达式写出其复振幅表达式,并求出并求出z=z1平面上复振幅在平面上复振幅在x方向和方向和y方向的空间周方向的空间周期期Tx和和Ty,以及相应的空间频率以及相应的空间频率 fx 和和 fy.练习练习 2现在学习的是第19页，共22页光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念空间频率的单位空间频率的单位:cm-1,mm-1,周周/mm,条数条数

16、/mm 等等空间频率的正负空间频率的正负:表示传播方向与表示传播方向与x(或或y)轴的夹角小于或大于轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系在给定的座标系,任意单色平面波有一组对应的任意单色平面波有一组对应的fx和和fy,它仅决它仅决定于光波的波长和传播方向定于光波的波长和传播方向.反之反之,给定一组给定一组fx和和fy,对于给定波长的单色平面波就能确定对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向其传播方向cosa a=l,l,fx,cosb b =l,l,fy 要与光的时间频率严格区分开要与光的时间频率严格区分开空间比时间更具体空间比时间更具体,更直观更直观,是有形的是有形的如果在如果在xy 平

17、面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期分布周期分布,则复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加则复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.二维二维F.T.在光学上的意义在光学上的意义:现在学习的是第20页，共22页光波的数学描述光波的数学描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为:三个空间频率不能相互独立：三个空间频率不能相互独立：因此因此 在任一距离在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在的平面上的复振幅分布，由在 z=0=0平面上的复振幅平面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。这说和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决了最基明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决了最基础的平面波衍射问题础的平面波衍射问题 现在学习的是第21页，共22页作业作业P47:2.1现在学习的是第22页，共22页