平均指标和变异指标 讲稿.ppt

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1、平均指标和变异指标 第一页，讲稿共七十七页哦第五章第五章 平均指标和变异指标平均指标和变异指标本章学习目标本章学习目标 1.1.理解和掌握平均指标和变异指标的概念理解和掌握平均指标和变异指标的概念 2.2.掌握平均指标和变异指标的种类掌握平均指标和变异指标的种类 3.3.掌握各类平均指标的计算和应用掌握各类平均指标的计算和应用 4.4.掌握各类变异指标的计算和应用掌握各类变异指标的计算和应用 5.5.掌握几种平均指标之间的关系掌握几种平均指标之间的关系第二页，讲稿共七十七页哦第一节第一节 平均指标平均指标 一、什么是平均指标？平均指标是同质总体各单位某一标志在一定时间、地点、条件下所达到的一般

2、水平，是总体的代表值，它描述分布数列的集中趋势。二、平均指标的特点 1.同质性 2.代表性 3.抽象性 第三页，讲稿共七十七页哦第一节第一节 平均指标平均指标 三、平均指标的作用 1.可以比较同类现象在不同单位、不同地区 间的平均水平。2.可以比较同类现象在不同时期的平均水平。3.可用于研究事物之间的依存关系。4.利用平均数还可以进行推算和预测。第四页，讲稿共七十七页哦第一节第一节 平均指标平均指标 四、平均指标的分类 （五）几何平均数（二）众数（三）算术平均数（四）调和平均数（一）中位数位置平均数位置平均数数值平均数数值平均数怎么计算呢怎么计算呢？第五页，讲稿共七十七页哦数值平均数数值平均数

3、第六页，讲稿共七十七页哦（一）算术平均数（一）算术平均数概念：概念：算术平均数是总体各单位某一数量标志的平均数。基本计算公式：基本计算公式：算术平均数=标志总量总体总量算术平均数与强度相对数的比较算术平均数与强度相对数的比较含含义义不不同同。强强度度相相对对数数分分子子与与分分母母是是两两个个性性质质但但又又有有联联系系的的指指标标值值；而而平平均均数数分分子子同同一一总总体体的的某某一一标标志志总总量量，而而分母为总体总量。分母为总体总量。有有些些强强度度相相对对数数的的分分子子和和分分母母可可以以互互换换，而而平平均均数数则则不不可以。可以。平均数的分子与分母的数值存在着一一对应关系。平均

4、数的分子与分母的数值存在着一一对应关系。第七页，讲稿共七十七页哦（一）算术平均数（一）算术平均数计算方法：计算方法：由于掌握的资料不同和计算上的复杂程度不同，可分为由于掌握的资料不同和计算上的复杂程度不同，可分为简单算术平均数和加权算术平均数。简单算术平均数和加权算术平均数。（1）简单算术平均数）简单算术平均数公式中：公式中：代表算术平均数代表算术平均数 代表代表总总体各体各单单位位标标志志值值 代表代表标标志志值值的的项项数数 为为求和符号求和符号 第八页，讲稿共七十七页哦（一）算术平均数（一）算术平均数计算方法：计算方法：（2）加权算术平均数）加权算术平均数公式中：公式中：代表算术平均数代

5、表算术平均数 代表代表总总体各体各单单位位标标志志值值 代表各代表各组组的次数的次数第九页，讲稿共七十七页哦【例例53】某销售公司12月份各天的销售额数据如下表所示：销售额（万元）销售的天数（天）销售额天数 230240260280290300 389712 690192023401960290600 合计307800（一）算术平均数（一）算术平均数第十页，讲稿共七十七页哦解：7800/30 260（万元）当当我我们们掌掌握握的的资资料料是是组组距距数数列列时，用各组的组组中中值值代替各组平均数，再用公式来计算加权算术平均数。来计算加权算术平均数。（一）算术平均数（一）算术平均数第十一页，讲稿

6、共七十七页哦（一）算术平均数（一）算术平均数算术平均数的性质：算术平均数的性质：（1）算算术术平平均均数数与与总总体体单单位位数数的的乘乘积积，等等于于各各单单位位标标志志值值的总和。的总和。（2）各单位标志值与算术平均数离差之和等于零。）各单位标志值与算术平均数离差之和等于零。（3）各单位标志值与算术平均数离差平方之和为最小。各单位标志值与算术平均数离差平方之和为最小。（4）对各单位标志值加或减一个任意数）对各单位标志值加或减一个任意数则算术平均数也要增加或减少该数则算术平均数也要增加或减少该数(5)(5)对各单位标志值乘以或除以任意一个非零数对各单位标志值乘以或除以任意一个非零数,则则算算

7、术术平均数也要乘以或除以平均数也要乘以或除以该该数数第十二页，讲稿共七十七页哦（二）调和平均数（二）调和平均数概念：概念：调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。的倒数。基本计算公式：基本计算公式：（简单公式）（简单公式）（加权公式）（加权公式）第十三页，讲稿共七十七页哦（二）调和平均数（二）调和平均数调和平均数与算术平均数的联系：调和平均数与算术平均数的联系：调和平均数是算术平均数的变形。调和平均数的权数是调和平均数是算术平均数的变形。调和平均数的权数是算术平均数中的标志值乘以总体单位数所得到的标志总量，算术平均数中的标志值乘以

8、总体单位数所得到的标志总量，即：即：第十四页，讲稿共七十七页哦（二）调和平均数（二）调和平均数运用调和平均数该注意的问题：运用调和平均数该注意的问题：（1）当当变变量量数数列列有有一一变变量量X的的值值为为零零时时，调调和和平平均均数数公公式式的的分分母母将将等等于于无无穷穷大大，因因而而无无法法求求出出确确定定的的平均值。平均值。（2）调调和和平平均均数数和和算算术术平平均均数数一一样样，易易受受两两极极端端值值影影响。响。（3）要注意区分调和平均数和算术平均数的使用）要注意区分调和平均数和算术平均数的使用条件，因事制宜条件，因事制宜。第十五页，讲稿共七十七页哦【例例5 54 4】某农贸市场

9、苹果5元每斤、香蕉2元每斤、西瓜3元每斤，如果苹果买了5元、香蕉买了8元、西瓜买了6元，请问买回来的水果平均每斤多少钱？解：价格解：价格则平均价格则平均价格H为：为：（二）调和平均数（二）调和平均数第十六页，讲稿共七十七页哦（三）几何平均数（三）几何平均数概念：概念：几何平均数是个变量值连乘积的次方根，用表示。几何平均数是个变量值连乘积的次方根，用表示。基本计算公式：基本计算公式：（简单公式）（简单公式）（加权公式）（加权公式）银行平均利率、各年平均发展速度、产银行平均利率、各年平均发展速度、产品平均合格率等的计算就采用几何平均品平均合格率等的计算就采用几何平均法法第十七页，讲稿共七十七页哦（

10、三）几何平均数（三）几何平均数运用几何平均数该注意的问题：运用几何平均数该注意的问题：（1）变变量量数数列列中中任任何何一一个个变变量量值值不不能能为为0，一一个个为为0，则则几何平均数为几何平均数为0。（2）用用环环比比指指数数计计算算的的几几何何平平均均易易受受最最初初水水平平和和最最末末水水平平的影响。的影响。（3）几何平均法主要用于动态平均数的计算。几何平均法主要用于动态平均数的计算。第十八页，讲稿共七十七页哦【例例55】一位投资者持有一种投资产品，在一位投资者持有一种投资产品，在20052005、20062006、20072007、20082008、20092009和和2010201

11、0年的收益率分别是年的收益率分别是4.54.5、2.52.5、5 5、4 4、4.24.2、4.64.6。试计算该投资者在这六。试计算该投资者在这六年内的平均收益率。年内的平均收益率。解：根据计算公式得：解：根据计算公式得：（三）几何平均数（三）几何平均数第十九页，讲稿共七十七页哦几何平均数的计算过程中往往要求开高次方，几何平均数的计算过程中往往要求开高次方，计算起来比较麻烦，因此可利用对数，将几何计算起来比较麻烦，因此可利用对数，将几何平均数转化为算术平均数：平均数转化为算术平均数：(简单简单)(加权加权)（三）几何平均数（三）几何平均数第二十页，讲稿共七十七页哦【例例56】一位投资者持有一

12、种投资产品，在一位投资者持有一种投资产品，在2001-20102001-2010年年1010年收益情况如下表所示，试计算该投资者在这几年平均年收益情况如下表所示，试计算该投资者在这几年平均投资收益。投资收益。收益率（）4.04.55.05.4 1.0401.0451.0501.054 2451 0.017030.019110.021190.02284 0.034060.076440.105950.02284 合计100.26029（三）几何平均数（三）几何平均数第二十一页，讲稿共七十七页哦解：由公式可知：G0.061776.177（三）几何平均数（三）几何平均数第二十二页，讲稿共七十七页哦几种

13、平均数的关系几种平均数的关系（一）算术平均数、调和平均数和几何平均数的关系（一）算术平均数、调和平均数和几何平均数的关系：（1）各自的适用场合不同。）各自的适用场合不同。（2）各种数值平均数在计算上的繁简程度也不同）各种数值平均数在计算上的繁简程度也不同。第二十三页，讲稿共七十七页哦HG计算公式（简单）计算公式（加权）单项式分组变量值为分组标志值，实际值组距式分组变量值为组中值，近似值计算原则平均数=标志总量总体总量适用范围权数总和为总体总量（分母数据），如：总人数、总购买量、总天数权数总和为标志总量（分子数据），如：总产值、总支出、总费用、总产量、总成本变量各值相互联系，如发展速度、年收益率

14、、流水作业条件下各车间及格率数值比较 （同变量值、同权数）第二十四页，讲稿共七十七页哦位置平均数位置平均数第二十五页，讲稿共七十七页哦众数众数一、众数一、众数1 1、众数是指变量数列中出现次数最多或频率最大的、众数是指变量数列中出现次数最多或频率最大的变量值。变量值。2 2、适用条件：只有集中趋势明显时，才能用众、适用条件：只有集中趋势明显时，才能用众数作为总体的代表值。数作为总体的代表值。3 3、特点：、特点：一组数据中出现次数最多的变量值一组数据中出现次数最多的变量值适合于数据量较多且有明显的集中趋势时使适合于数据量较多且有明显的集中趋势时使用用不受极端值的影响不受极端值的影响(缺乏敏感性

15、缺乏敏感性)一组数据可能没有众数或有几个众数一组数据可能没有众数或有几个众数第二十六页，讲稿共七十七页哦众数众数 (不惟一性不惟一性)无众数无众数原始数据原始数据:10 5 9 12 6 8:10 5 9 12 6 8 一个众数一个众数原始数据:6 5 9 8 5 5多于一个众数多于一个众数原始数据原始数据:25 28 2828 28 36 42 42第二十七页，讲稿共七十七页哦众数的计算方法众数的计算方法（1 1）单项数列确定众数，即出现次数最多）单项数列确定众数，即出现次数最多（频率最大）的标志值就是众数。（频率最大）的标志值就是众数。（2 2）组距数列确定众数：在等距数列条件）组距数列确

16、定众数：在等距数列条件下，先确定众数组，然后再通过公式进行下，先确定众数组，然后再通过公式进行具体计算，找出众数点的标志值。具体计算，找出众数点的标志值。第二十八页，讲稿共七十七页哦第一步：确定众数所在的组，即从变量数列中找出频率最大的组“众数组”；第二步：根据与众数组相邻的两个组的频数，通过公式近似计算众数值。下限公式：下限公式：M Mo o=上限公式：上限公式：M Mo o=其其中中：L代代表表众众数数组组的的下下限限值值；U代代表表众众数数组组的的上上限限值值；表表示示众众数数组组次次数数与与前前一一组组次次数数之之差差；表表示示众众数数组组次次数数与与后一组次数之差；后一组次数之差；i

17、表示众数组的组距。表示众数组的组距。（一）众数（一）众数第二十九页，讲稿共七十七页哦 身高身高 人数人数（CM）（人）（人）152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高身高 人数人数（CM）（人）（人）164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计总计 83 152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 1

18、60 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174【例例】某年级女生的身高分布情况某年级女生的身高分布情况,求出众数求出众数第三十页，讲稿共七十七页哦例：某厂

19、甲车间有例：某厂甲车间有200200名工人，他们每月加工的零件数名工人，他们每月加工的零件数如下表所示：如下表所示：按日产量分组（件）按日产量分组（件）x x 工人数工人数f f 12121313161617 17 2 23 31 13 3合计合计 8 8 则，日产量众数为13或者17第三十一页，讲稿共七十七页哦现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，得到资料如下表所现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，得到资料如下表所示：示：众数位于第三组众数位于第三组 L=800 U=1000 i=1000-800=200 244-16183 244-15787 耐用时间产品个数（个）600以下8460

20、0-800161800-10002441000-12001571200-1400361400以上18合计700例题例题 第三十二页，讲稿共七十七页哦代入公式得：代入公式得：第三十三页，讲稿共七十七页哦二、中位数二、中位数1 1、中位数：将总体单位的某一数量标志的各个数值按照、中位数：将总体单位的某一数量标志的各个数值按照大小顺序排列，居于中间位置的那个数值就是中位数。大小顺序排列，居于中间位置的那个数值就是中位数。2 2、中位数的特点和作用、中位数的特点和作用代表整个总体各单位标志值的平均水平代表整个总体各单位标志值的平均水平各单位标志值与中位数离差的绝对值之和最小各单位标志值与中位数离差的绝

21、对值之和最小 不受极端值的影响不受极端值的影响(缺乏敏感性缺乏敏感性)第三十四页，讲稿共七十七页哦计算方法计算方法（1 1）由未分组资料确定中位数）由未分组资料确定中位数 排序：确定中位数位置排序：确定中位数位置 奇数：中间位置的标志值为中位数。奇数：中间位置的标志值为中位数。偶数：中间位置相邻两个变量值的简单平偶数：中间位置相邻两个变量值的简单平 均数是中位数。均数是中位数。第三十五页，讲稿共七十七页哦（2 2）由分组资料确定中位数）由分组资料确定中位数第一步：确定中位数所处位置，按第一步：确定中位数所处位置，按 确定（确定（f f为次数）。为次数）。第二步：采用公式计算第二步：采用公式计算

22、上限法：用上限法：用“以上累计以上累计”法确定中位数。法确定中位数。下限法：用下限法：用“以下累计以下累计”法确定中位数。法确定中位数。其中：其中：U U是中位数所在组的上限，是中位数所在组的上限，L L是中位数所在组的下限，是中位数所在组的下限，f fm m是中位数所在组的次数，是中位数所在组的次数，S Sm+1m+1是中位数所在组后面各组累计数，是中位数所在组后面各组累计数，S Sm-1m-1是中位数所在组前面各组累计数，是中位数所在组前面各组累计数，i i是中位数所在组的组距。是中位数所在组的组距。第三十六页，讲稿共七十七页哦 1 1、设有、设有9 9个工人生产某种产品，其日产量件数按大

23、小顺序排列个工人生产某种产品，其日产量件数按大小顺序排列为为 6 7 7 7 8 9 9 10 146 7 7 7 8 9 9 10 14。则中位数位次则中位数位次即处于第即处于第 5 5位的那个标志值为中位数。即位的那个标志值为中位数。即Me=8Me=8件。件。例题例题第三十七页，讲稿共七十七页哦2 2、设有、设有1010个工人生产某种产品，其日产量件数按大小顺序个工人生产某种产品，其日产量件数按大小顺序排列为排列为 6 7 7 7 8 9 9 10 14 186 7 7 7 8 9 9 10 14 18。则其中位数位次则其中位数位次:中位数处在第中位数处在第 5 5个标志值与第个标志值与第

24、 6 6个标志值之间中点的位置。个标志值之间中点的位置。则则Me=(8+9)/2=8.5Me=(8+9)/2=8.5第三十八页，讲稿共七十七页哦3 3、某学院某学院19991999到到20002000学年共有学年共有3030名同学获得奖学金名同学获得奖学金 学生获奖学金分布情况及计算表学生获奖学金分布情况及计算表奖学金金奖学金金额（元额（元/人）人）人数人数（人）（人）人数累计人数累计 以下累计（人）以下累计（人）以上累计（人）以上累计（人）300300500500800800100010001500 1500 3 36 68 87 76 6 3 39 91717242430 30 30302

25、727212113136 6 合计合计 30 30 第三十九页，讲稿共七十七页哦从表中资料计算，中位数位置为：从表中资料计算，中位数位置为：（人）（人）中位数在第中位数在第15人的位置上。无论是以下累计法还是人的位置上。无论是以下累计法还是以上累计法，所选择的累计人数数值都应是含以上累计法，所选择的累计人数数值都应是含15人人的最小数值。表中的的最小数值。表中的17和和21符合这一要求，它们对应符合这一要求，它们对应的都是第三组，即的都是第三组，即800元就中位数。元就中位数。第四十页，讲稿共七十七页哦4 4、现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，得现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，得

26、到资料如下表所示：到资料如下表所示：耐用时间耐用时间产品个数产品个数累计次数累计次数以下累计以下累计以上累计以上累计600600以下以下84848484700700600-800600-800161161245245（S Sm-1m-1)616616800-1000800-1000244(fm)244(fm)4894894554551000-12001000-1200157157646646211 211（S Sm+1m+1)1200-14001200-14003636682682545414001400以上以上18187007001818合计合计700700第四十一页，讲稿共七十七页哦第四十

27、二页，讲稿共七十七页哦几种平均数的关系几种平均数的关系数值平均数与位置平均数的关系数值平均数与位置平均数的关系：（1）它们代表的意义不同。）它们代表的意义不同。（2）受个别或少数极端值的影响程度不同）受个别或少数极端值的影响程度不同。（3）数值平均数与位置平均数各自适用的数据数值平均数与位置平均数各自适用的数据 类型不同类型不同。第四十三页，讲稿共七十七页哦图图5-1 三种集中趋势的关系三种集中趋势的关系几种平均数的关系几种平均数的关系（4）三者关系：三者关系：第四十四页，讲稿共七十七页哦第二节第二节 变异指标变异指标 一、什么是变异指标？变异指标是指综合反映总体各单位标志值及其分布的差异程度

28、的指标，也称为标志变异度指标。二、变异指标的作用 1.可以反映平均指标的代表性程度 2.说明现象或过程的均衡程度与稳定程度 3.在抽样调查中，变异度指标是计算抽样 误差和确定样本量的依据第四十五页，讲稿共七十七页哦第二节第二节 变异指标变异指标 三、变异指标的分类？1.全距和四分位差 2.平均差、标准差、方差和变异系数 3.偏度和峰度 掌握它们的计算、特点和适用范围。第四十六页，讲稿共七十七页哦全距和四分位差全距和四分位差第四十七页，讲稿共七十七页哦全距全距概念：全距概念：全距指总体各单位标志值中最大值与最小值指总体各单位标志值中最大值与最小值 之差，因为它是总体中两个极端值之差，故之差，因为

29、它是总体中两个极端值之差，故 又称为极差。又称为极差。计算公式：计算公式：优点：计算简单，涵义直观，运用方便。优点：计算简单，涵义直观，运用方便。缺点：缺点：不够全面。它仅仅取决于两个极端值的水不够全面。它仅仅取决于两个极端值的水 平，不能反映整个数列的分布情况；平，不能反映整个数列的分布情况；不够准确。它受个别极端值的影响过于显不够准确。它受个别极端值的影响过于显 著，不符合稳健性和耐抗性的要求。著，不符合稳健性和耐抗性的要求。第四十八页，讲稿共七十七页哦四分位差四分位差概念：概念：四分位差是指四分位数中间两个分位数之差。四分位差是指四分位数中间两个分位数之差。计算公式：计算公式：其中：其中

30、：为第三个四分位数，为第三个四分位数，的位置的位置 为第一个四分位数，为第一个四分位数，的位置的位置 全距和四分位差均只使用部分数据进行计算。第四十九页，讲稿共七十七页哦四分位差四分位差例：在某城市随机抽取例：在某城市随机抽取9 9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位：元），计算人均月收入的四分位差据如下（单位：元），计算人均月收入的四分位差 1500、750、780、1080、850、960、2000、1250、1630解：把题目所给数据排序，结果如下：解：把题目所给数据排序，结果如下：750、780、850、960、1080、1250、1

31、500、1630、2000 Q Q1 1位置位置=（n+1n+1）/4=10/4=2.5/4=10/4=2.5，Q Q1 1=780+=780+（850-780850-780）*0.5=8150.5=815 Q Q3 3位置位置=3=3（n+1n+1）/4=3*10/4=7.5/4=3*10/4=7.5，Q Q3 3=1500+=1500+（1630-15001630-1500）*0.5=15650.5=1565 四分位差四分位差Q Qd d=Q=Q3 3Q Q1 1=1565-815=750=1565-815=750第五十页，讲稿共七十七页哦平均差平均差概念：平均差概念：平均差是指总体各单位

32、标志值对其算术平均数是指总体各单位标志值对其算术平均数 的离差绝对值的算术平均数。一般用的离差绝对值的算术平均数。一般用A.D表示。表示。计算公式：计算公式：或或（简单平均差）（简单平均差）(加权平均差加权平均差)第五十一页，讲稿共七十七页哦平均差平均差优点：优点：含义明确，它是根据总体各单位标志值计含义明确，它是根据总体各单位标志值计 算出来的，综合了各单位标志值的变异情算出来的，综合了各单位标志值的变异情 况况,所以它能够充分、客观地反映出了指标所以它能够充分、客观地反映出了指标 值的平均变异程度；值的平均变异程度；计算也比较简便。计算也比较简便。缺点：平均差的计算需要对离差取绝对值，这就

33、不缺点：平均差的计算需要对离差取绝对值，这就不 便于进一步的代数运算了便于进一步的代数运算了 第五十二页，讲稿共七十七页哦某车间某车间50名工人日加工零件标准差计算表名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组按零件数分组组中值组中值(Xi)频数频数(Fi)|Xi-X|Xi-X|Fi105110110115115120120125125130130135135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合计合计50312根据表中的数据，计算工人日加

34、工零件数的平均差根据表中的数据，计算工人日加工零件数的平均差根据表中的数据，计算工人日加工零件数的平均差根据表中的数据，计算工人日加工零件数的平均差例题例题第五十三页，讲稿共七十七页哦方差方差概念：概念：标准差的平方就是方差标准差的平方就是方差，一般用计算公式：计算公式：或或（简单公式）（简单公式）(加权公式加权公式)表示。表示。第五十四页，讲稿共七十七页哦标准差标准差概念：概念：标准差，是总体所有单位标志值与其平均数的标准差，是总体所有单位标志值与其平均数的 离差平方的算术平均数的正平方根。一般用离差平方的算术平均数的正平方根。一般用 来表示。来表示。计算公式：计算公式：或或（简单标准差）（

35、简单标准差）(加权标准差加权标准差)第五十五页，讲稿共七十七页哦【例例57】有三个生产小组，各有个人，每人日产量如下：有三个生产小组，各有个人，每人日产量如下：甲组：甲组：24，24，24，24，24 乙组：乙组：20，22，25，26，27 丙组：丙组：10，20，25，30，35 分别计算各组的日产量差异程度（标准差和方差）。分别计算各组的日产量差异程度（标准差和方差）。第五十六页，讲稿共七十七页哦解：由于甲组5个工人的日产量都是24件，各单位标志值与平均数之间均无差异，因此，该组日产量方差和标准差均为零，即：第五十七页，讲稿共七十七页哦乙组 丙组 日产量日产量(件件)日产量日产量(件）件

36、）2022252627-4-2+1+2+3 164149 400484625676729 1020253035-14-4+1+6+11 19616136121 1002006259001225 合计合计0342914合计合计03703050乙组和丙组的标准差和方差计算表乙组和丙组的标准差和方差计算表 第五十八页，讲稿共七十七页哦（件）（件）（件）（件）第五十九页，讲稿共七十七页哦计算结果表明，甲组方差和标准差均为计算结果表明，甲组方差和标准差均为0，说明该组工人，说明该组工人日产量无差异；乙组方差和标准差居中，说明乙组工日产量无差异；乙组方差和标准差居中，说明乙组工人日产量有差异，其差异程度大

37、于甲组但小于丙组；人日产量有差异，其差异程度大于甲组但小于丙组；丙组的方差和标准差在三组中是最大的。所以，尽管丙组的方差和标准差在三组中是最大的。所以，尽管三组的算术平均数相等，但三个组的平均数对本组的三组的算术平均数相等，但三个组的平均数对本组的代表程度不同，甲组的代表性最强，乙组其次，丙组代表程度不同，甲组的代表性最强，乙组其次，丙组最差。最差。第六十页，讲稿共七十七页哦若若c=0，则，则对分布数列而言，则对分布数列而言，则3 3、方差的简捷计算、方差的简捷计算第六十一页，讲稿共七十七页哦若分布数列是等距数列，则有a a为中间组的组中值或次数最多的组中为中间组的组中值或次数最多的组中值，值

38、，b b为（为（x-ax-a）的最大公约数）的最大公约数第六十二页，讲稿共七十七页哦4.方差及标准差的计算方差及标准差的计算一般的计算过程：列表一般的计算过程：列表简捷计算方法：不计算离差简捷计算方法：不计算离差方差及标准差方差及标准差 第一步第一步计算均值计算均值 第二步第二步计算离差计算离差 第三步第三步离差平方离差平方 第四步第四步乘以权数乘以权数 第五步第五步计算方差计算方差 第一步第一步计算均值计算均值 第二步第二步变量平方变量平方 第三步第三步乘以权数乘以权数 第四步第四步计算方差计算方差第六十三页，讲稿共七十七页哦变量替换法：等距数列变量替换法：等距数列 第二步第二步计算计算x均

39、值均值 第三步第三步计算计算x平方平方 第四步第四步求求x方差方差 第五步第五步求求x方差方差 第一步第一步变量替换变量替换x第六十四页，讲稿共七十七页哦例例4 4：某班：某班5050名学生统计学考试成绩如下表所示，计算其考试成绩的名学生统计学考试成绩如下表所示，计算其考试成绩的标准差标准差成绩（分）学生数（人）60以下460-701270-802080-901090以上4合计50第六十五页，讲稿共七十七页哦1、一般解法成绩学生数fi组中值xixifixi-x(xi-x)2(xi-x)2fi60以下455220-19.6384.161536.6460-701265780-9.692.16110

40、5.9270-80207515000.40.163.2080-90108585010.4108.161081.6090以上49538020.4416.161664.64合计50/3730/5392.00第六十六页，讲稿共七十七页哦2、简捷公式成绩学生数fi组中值xixifixi2xi2fi60以下45522030251210060-70126578042255070070-8020751500562511250080-90108585072257225090以上495380902536100合计50/3730/283650第六十七页，讲稿共七十七页哦3、变量替换法（a=75，b=10）成绩学生

41、数fi组中值xixi xi fixi 2fi60以下455-2-81660-701265-1-121270-80207500080-9010851101090以上4952816合计50/-254第六十八页，讲稿共七十七页哦方差和标准差具有以下的数学性质方差和标准差具有以下的数学性质（1）方差和标准差具有）方差和标准差具有“平移不变平移不变”的特性。的特性。（2）将将原原变变量量乘乘以以一一个个任任意意常常数数b，则则标标准准差差和和方方差差也分别乘以也分别乘以 和和 倍，倍，（3）对于同一分布数列，其标准差永远小于平均差。对于同一分布数列，其标准差永远小于平均差。（4）如果两个变量如果两个变量

42、x、y相互独立，则：相互独立，则：（5）在在分分组组数数列列中中，变变量量的的总总方方差差可可分分解解为为组组内内方方差差和和组组间间方方差差两两部部分分，并并且且，总总方方差差=组组间间方方差差+组组内内方方差差的平均数。的平均数。第六十九页，讲稿共七十七页哦交替标志值的数值特征交替标志值的数值特征概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答 案的标志。案的标志。已已知知全全部部总总体体单单位位数数为为n，其其中中具具有有某某种种属属性性的的总总体体单单位位数数为为n1，不具有该属性的总体单位数为，不具有该属性的总体单位数为n2，则：，则：具有

43、某种属性具有某种属性(用用1表示）的单位数所占比重表示）的单位数所占比重 不具有某种属性（用不具有某种属性（用0表示）的单位数所占比重表示）的单位数所占比重 第七十页，讲稿共七十七页哦交替标志值的数值特征交替标志值的数值特征则交替标志的平均数：则交替标志的平均数：第七十一页，讲稿共七十七页哦交替标志值的数值特征交替标志值的数值特征则交替标志的方差：则交替标志的方差：第七十二页，讲稿共七十七页哦【例例58】某灯泡厂生产的某灯泡厂生产的500件产品中，合格品为件产品中，合格品为475件，不合格品为件，不合格品为25件，试计算这批产品的平均合格率、方差和标准差。件，试计算这批产品的平均合格率、方差和

44、标准差。解：解：（平均数）（平均数）（方差）（方差）（标准数）（标准数）第七十三页，讲稿共七十七页哦变异系数变异系数概念：概念：变异系数又称标志变动系数或离散系数，它是各变异系数又称标志变动系数或离散系数，它是各种变异度指标与其算术平均数对比得到的相对数，反种变异度指标与其算术平均数对比得到的相对数，反映总体各单位标志值变异的相对程度，通常以百分数映总体各单位标志值变异的相对程度，通常以百分数表示。表示。标准差系数计算公式：标准差系数计算公式：平平均均差差与与算算术术平平均均数数对对比比得得到到平平均均差差系系数数，标标准准差差与与算算术平均数对比得标准差系数。术平均数对比得标准差系数。标准差

45、系数是最常用的离散系数第七十四页，讲稿共七十七页哦例：现有两组数据A、BA：5、20、45、85、95B：1005、1020、1045、1085、1095 A、B的标准差相等，但B各数据的变化幅度明显少于A第七十五页，讲稿共七十七页哦变异系数变异系数变异系数的作用：变异系数的作用：变异系数用于对比分析不同数列变异度大小变异系数用于对比分析不同数列变异度大小由由于于离离散散系系数数是是两两个个相相同同计计量量单单位位的的指指标标对对比比的的结结果果，两两者者相相约约后后得得到到一一个个无无名名数数，因因而而变变异异系系数数完完全全排除了计量单位对计算结果的影响；排除了计量单位对计算结果的影响；在在变变异异指指标标构构造造中中以以平平均均指指标标作作为为对对比比基基数数，这这样样，变变异异系系数数的的大大小小只只取取决决于于总总体体的的变变异异状状况况或或离离散散程程度度，不受总体平均水平的影响。不受总体平均水平的影响。第七十六页，讲稿共七十七页哦本章的重点是各种平均指标和变异指标的计算，难点是如何正确运用标准差和离散系数来判别社会经济现象的代表性。第七十七页，讲稿共七十七页哦