概率论第二章.ppt

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1、概率论第二章现在学习的是第1页，共26页 在前面的学习中在前面的学习中,我们用字母我们用字母A A、B B、C.C.表表示事件，并视之为样本空间示事件，并视之为样本空间S S的子集；针对等的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。件的概率。本章，将用随机变量表示随机事件，以便本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。采用高等数学的方法描述、研究随机现象。随机变量随机变量现在学习的是第2页，共26页随机变量随机变量n基本思想基本思想将样本空间数量化将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果即用数值来表示

2、试验的结果n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如例如:在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来表示来表示 例如例如:掷硬币试验掷硬币试验,其结果是用汉字其结果是用汉字“正面正面”和和“反面反面”来表示的来表示的可规定可规定:用用 1表示表示“正面朝上正面朝上”用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上”n 有些随机试验的结果不是用数量来表示，有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化但可数量化现在学习的是第3页，共26页例例 设箱中有设箱中有1010个球，其中有个球，其中有2 2个红球，个红球，8 8个白个白 球；球；从中

3、任意抽取从中任意抽取2 2个个,观察抽球结果。观察抽球结果。取球取球结果果为:两个白球两个白球两个白球两个白球;两个两个两个两个红红球球球球;一一一一红红一白一白一白一白 特点特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系对应关系如果用如果用如果用如果用X X表示取得的表示取得的红球数球数，则则X X X X的取的取的取的取值值可可可可为为0 0 0 0，1 1 1 1，2 2 2 2。此此此此时时，“两只两只两只两只红红球球球球”=“X X取到取到值2 2”,可可记为 X X=2=2 “一一一一红红一白一白一白一白”记为记为 X X X X=1=1

4、,“两只白球两只白球两只白球两只白球”记为 XXXX=0=0 试验结果的数量化试验结果的数量化现在学习的是第4页，共26页随机变量的定义随机变量的定义 1)它是一个变量它是一个变量 2)它的取值随试验结果而改变它的取值随试验结果而改变 3）随机变量在某一范围内取值，表示一个）随机变量在某一范围内取值，表示一个 随机事件随机事件n随机变量随机变量n随机变量的两个特征随机变量的两个特征:设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为S S，如果对于每一，如果对于每一个样本点个样本点 ，均有唯一的实数，均有唯一的实数 与与之对应，称之对应，称 为样本空间为样本空间S S上上的随机变量。的随机变量。现在

5、学习的是第5页，共26页某个灯泡的使用寿命某个灯泡的使用寿命X X。某某电话总机在一分机在一分钟内收到的呼叫次数内收到的呼叫次数Y.Y.在在00，11区区间上随机取点，上随机取点，该点的坐点的坐标X.X.X X 的可能取的可能取值为 0,+0,+)Y Y 的可能取的可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，.,.,X X 的可能取的可能取值为 0 0，11上的全体上的全体实数。数。n例例随机变量的实例随机变量的实例现在学习的是第6页，共26页用随机变量表示事件用随机变量表示事件n若若X X是随机试验是随机试验E E的一个随机变量，的一个随机变量，S SRR，那么那么 XS S可表示可表示E

6、E中的事件中的事件 如在掷骰子试验中，用如在掷骰子试验中，用X X表示出现的点数表示出现的点数,则则“出现偶数点出现偶数点”可表示为：可表示为：X=2X=2 X=4X=4 X=6X=6 “出现的点数小于出现的点数小于”可表示为：可表示为：X 4X 4 或或XX 3 3 n E中的事件通常都可以用中的事件通常都可以用X的不同取值来表示的不同取值来表示.现在学习的是第7页，共26页随机变量的类型随机变量的类型n 离散型离散型n 非离散型非离散型随机变量的所有取值是有限个或可列个随机变量的所有取值是有限个或可列个随即变量的取值有无穷多个，且不可列随即变量的取值有无穷多个，且不可列其中连续型随机变量是

7、一种重要类型其中连续型随机变量是一种重要类型现在学习的是第8页，共26页 离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布 称此式为称此式为X X的的分布律（列）分布律（列）或或概率分布概率分布 设离散型随机变量设离散型随机变量 的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而，而取值取值 的概率为的概率为即即现在学习的是第9页，共26页例例 设设X的分布律为的分布律为求求 P(0X2)P(0X2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3分布律确定概率分布律确定概率解解 现在学习的是第10页，共26页=P(抽得的两件全为次品抽得的两件全为次品)求分布律举例求分布律举例 例例1 1 设有一批有一批

8、产品品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，从中任意件次品，从中任意抽取抽取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的次品数，求随机表示取得的次品数，求随机变量量X X的分的分布律及事件布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”的概率。的概率。解解：X的可能取值为的可能取值为 0，1，2=P(抽得的两件全为正品抽得的两件全为正品)PX=1PX=2=P(只有一件为次品只有一件为次品)PX=0现在学习的是第11页，共26页故故 X X的分布律的分布律为而而“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”=X1X1=X=1X=1 X=2X=2 P P X1X1=P=P X=1X=1+P+P X=2X=2

9、 注意：注意：X=1X=1 与与 X=2X=2 是互不相容的是互不相容的！实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了式变了故故现在学习的是第12页，共26页 从一批次品率为从一批次品率为p p的产品中，有放回抽样直到抽到的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X X的分布律。的分布律。解解 记记A Ai i=“第第i i次取到正品次取到正品”,i=1,2,3,i=1,2,3,则则 A Ai i,i=1,2,3,i=1,2,3,是相互独立的！是相互独立的！且且X X的所有可能取

10、值为的所有可能取值为 1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3，,k,k,k,k,P(X=k)=P(X=k)=P(X=k)=P(X=k)=(1-p)(1-p)(1-p)(1-p)k-1k-1p,k=1,2,p,k=1,2,p,k=1,2,p,k=1,2,(X=k)(X=k)对应着事件对应着事件 例例现在学习的是第13页，共26页设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为试确定常数试确定常数b.解解由分布律的性质由分布律的性质,有有例例现在学习的是第14页，共26页几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布n n0-10-1分布分布分布分布(二点分布二点分布二点分布二点分布 )1p p P

11、0 1 X 则称则称X服从服从参数为参数为p 的二点分布或的二点分布或(0-1)分布分布,背景背景：样本空间只有两个样本点的情况样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来都可以用两点分布来 描述。描述。如：上抛一枚硬币。如：上抛一枚硬币。定义：定义：定义：定义：若随机变量若随机变量X X的分布律为的分布律为:现在学习的是第15页，共26页例例设一个袋中装有设一个袋中装有3 3个红球和个红球和7 7个白球，现在从中个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数并且用数“1”“1”代表取得红球，代表取得红球，“0”“0”代表取得代表取

12、得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量随机变量其概率分布为其概率分布为即即X X服从两点分布。服从两点分布。现在学习的是第16页，共26页 将将试验E E重复重复进行行n n次次,若各次若各次试验的的结果互不影果互不影响响,则称称这n n次次试验是相互独立的是相互独立的.设随机随机试验E E只有两种可能的只有两种可能的结果果:A A及及 ,且且P(A)=pP(A)=p,在相同的条件下将在相同的条件下将E E重复重复进行行n n次独立次独立试验,则称称这一串一串试验为n n重重贝努利努利试验，简称称贝努利努利试验(Bernoulli trial

13、sBernoulli trials).).贝努利试验贝努利试验n 相互独立的试验相互独立的试验n 贝努利试验贝努利试验现在学习的是第17页，共26页贝努利定理贝努利定理 设在一次试验中事件发生的概率为设在一次试验中事件发生的概率为 p(0p1)，则在则在n次贝努里试验中次贝努里试验中恰好发生恰好发生 k k次次的概率为的概率为(k 0，1，2，.，n)其中其中 n定理定理现在学习的是第18页，共26页 其中其中0 p 0,则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布XP()n定义定义现在学习的是第22页，共26页n服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X；

14、n交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y;n矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数;n显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；n单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 实际问题中若干实际问题中若干R.v.XR.v.X是服从或近似服从是服从或近似服从 PoissonPoisson分布的分布的现在学习的是第23页，共26页 已知某已知某电话交交换台每分台每分钟接到的呼接到的呼唤次数次数X

15、X服从服从的泊松分布，分的泊松分布，分别 求（求（1 1）每分）每分钟内恰好接到内恰好接到3 3次呼次呼唤的概率；（的概率；（2 2）每分）每分钟不超不超过4 4次的概率次的概率例例解解现在学习的是第24页，共26页泊松定理泊松定理泊松定理泊松定理 实际应用中实际应用中：当当n n较大较大,p,p较小，较小，npnp适中时，即可用泊适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式松公式近似替换二项概率公式二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似The Poisson Approximation to the Binomial Distribution现在学习的是第25页，共26页若某人做某事的成功率为若某人做某事的成功率为1%，他重复努力，他重复努力400次，次，则至少成功一次的概率为则至少成功一次的概率为成功次数服从二项概率成功次数服从二项概率 有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 现在学习的是第26页，共26页