弹性力学空间问题的基本理论精选PPT.ppt

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1、第1页，此课件共73页哦6-1 6-1 一点的应力状态一点的应力状态 空间问题，一点的应力分量有空间问题，一点的应力分量有9个个可以证明，这可以证明，这9个应力分量作为一个整体是对称的二阶张个应力分量作为一个整体是对称的二阶张量，故独立的应力分量有量，故独立的应力分量有6个。个。第2页，此课件共73页哦1.1.斜面上的应力矢量斜面上的应力矢量 已知一点已知一点P的应力状态的应力状态求：过该点任意截面上的应力矢量求：过该点任意截面上的应力矢量第3页，此课件共73页哦设设ABC的面积为的面积为S 四面体的体积四面体的体积VV=1/3Sh h为为P点到点到ABC的垂距的垂距P第4页，此课件共73页哦

2、第5页，此课件共73页哦在外法向为在外法向为n的斜面上的的斜面上的正应力正应力为为:2.2.斜面上的正应力与切应力斜面上的正应力与切应力 沿斜面内某切向沿斜面内某切向 的的切应力切应力为为 P第6页，此课件共73页哦将应力矢量将应力矢量 沿沿 方向投影方向投影,得：得：3.3.的张量性的张量性（应力转换公式应力转换公式）新旧基矢量之间的转换关系为新旧基矢量之间的转换关系为 于是，在以于是，在以 为外法向的斜面上的应力矢量为为外法向的斜面上的应力矢量为 设：原坐标面上的应力矢量为设：原坐标面上的应力矢量为第7页，此课件共73页哦主平面上的正应力 主应力这种斜面 主平面6-2 6-2 主应力及应力

3、张量不变量主应力及应力张量不变量 一般而言，一般而言，与与 不共线，若共线，则不共线，若共线，则 在作用面内无分量，即只有正应力，而无切在作用面内无分量，即只有正应力，而无切应力。应力。相应的外法向 主方向第8页，此课件共73页哦1记主应力为记主应力为 则则又又考虑到 不全为0主应力和主方向主应力和主方向第9页，此课件共73页哦第10页，此课件共73页哦 将三个主应力分别代入式将三个主应力分别代入式(*)，利用其，利用其中的任意二式，并结合中的任意二式，并结合 可以求得相应的三个方向，即为应力张量可以求得相应的三个方向，即为应力张量的主方向。的主方向。第11页，此课件共73页哦2应力张量的不变

4、量应力张量的不变量第12页，此课件共73页哦第13页，此课件共73页哦31若干性质若干性质第14页，此课件共73页哦可求出三个根可求出三个根第15页，此课件共73页哦2三个主方向两两正交三个主方向两两正交第16页，此课件共73页哦第17页，此课件共73页哦12表明：在 平面内任何方向均可作为应力主方向，可选任意二个正交方向作为应力主方向。第18页，此课件共73页哦3表明：任何方向均可作为应力主方向，可选任意三个正交方向作为应力主方向。第19页，此课件共73页哦6-3 6-3 最大及最小的应力最大及最小的应力 1最大和最小的正应力最大和最小的正应力斜面上的正应力斜面上的正应力 因为三个主向正交，

5、所以可选择xyz使得坐标轴与应力主向重合,则:第20页，此课件共73页哦记：故：同理第21页，此课件共73页哦2最大和最小的切应力最大和最小的切应力仍取前述坐标系，则第22页，此课件共73页哦第23页，此课件共73页哦小结小结1一点的应力状态：二阶张量，可以用矩阵一点的应力状态：二阶张量，可以用矩阵表示表示234应力张量向某斜面应力张量向某斜面“投影投影”，得某斜面，得某斜面上的应力矢量上的应力矢量应力矢量向某方向投影，得某方向的应力矢量向某方向投影，得某方向的应力分量应力分量已知一点的应力张量，可求出主应力，主已知一点的应力张量，可求出主应力，主向，最大和最小应力，可完全决定该点的向，最大和

6、最小应力，可完全决定该点的应力状态应力状态第24页，此课件共73页哦6-4 6-4 平衡微分方程平衡微分方程 静力平衡条件具有客观不变性，可直接用张静力平衡条件具有客观不变性，可直接用张量描述。设想在弹性体内任意划出一个体积量描述。设想在弹性体内任意划出一个体积V，它的外表面为它的外表面为 ，外表面的法向为，外表面的法向为n。该体积。该体积在体内受到体力在体内受到体力f 作用，在表面受到应力矢量作用，在表面受到应力矢量t 作用。这些力的合力和合力矩要满足平衡条件。作用。这些力的合力和合力矩要满足平衡条件。即即 第25页，此课件共73页哦利用高斯积分公式，（）式中的曲面积分可以转利用高斯积分公式

7、，（）式中的曲面积分可以转化为体积分化为体积分1力的平衡力的平衡第26页，此课件共73页哦第27页，此课件共73页哦力矩平衡力矩平衡 2第28页，此课件共73页哦代入代入 ，得，得由于体积是任意取的，并考虑到平衡微分由于体积是任意取的，并考虑到平衡微分方程得到方程得到:由于由于 关于指标关于指标i、j是反对称的，因此有是反对称的，因此有第29页，此课件共73页哦曲线坐标系的平衡方程曲线坐标系的平衡方程 3利用不变性记号，可以得曲线坐标下的平衡方利用不变性记号，可以得曲线坐标下的平衡方程程第30页，此课件共73页哦6-5 6-5 应变张量与转动张量应变张量与转动张量 几何方程几何方程 1应变张量

8、的引入应变张量的引入 考察弹性体区域考察弹性体区域V内的任一点内的任一点P的微小线段的微小线段PP*在变形过程中长度和方向的变化情况。在变形过程中长度和方向的变化情况。第31页，此课件共73页哦变形后：变形后：第32页，此课件共73页哦由由:讨论在直角坐标系分量：讨论在直角坐标系分量：第33页，此课件共73页哦长度改变：长度改变：定义：定义：由商法则,为 一阶张量，进而 为 二阶张量,故 为二阶对称张量,称为格林应变张量。第34页，此课件共73页哦见下页第35页，此课件共73页哦小变形：第36页，此课件共73页哦简称应变张量第37页，此课件共73页哦转动张量转动张量2第38页，此课件共73页哦

9、反偶矢量反偶矢量3曲线坐标系的几何方程曲线坐标系的几何方程 利用不变性记号，可以得曲线坐标下的几何方程。利用不变性记号，可以得曲线坐标下的几何方程。进一步可证明进一步可证明 称为转动张量的原因第39页，此课件共73页哦表明：已知一点的位移场，可求出其附近位移场，由位移的梯度来表示。6-6 6-6 变形的描述变形的描述第40页，此课件共73页哦 位移的梯度由应变张量和转动张量组成1 进一步分析可知:应变张量描述了微元的相对变形，转动张量描述了微元的刚体转动。第41页，此课件共73页哦相对变形相对变形转动转动平动平动2位移的组成位移的组成第42页，此课件共73页哦667 7 一点的应变状态，一点的

10、应变状态，主应变及应变张量不变量主应变及应变张量不变量已知：一点的应变张量已知：一点的应变张量 求：求：该点的应变状态该点的应变状态即：任一线段的正应变即：任一线段的正应变(相对相对 伸缩伸缩)任二线段的夹角的改变任二线段的夹角的改变 主应变和应变主向主应变和应变主向 最大和最小应变最大和最小应变第43页，此课件共73页哦1、任一线段的正应变、任一线段的正应变单位方向矢量单位方向矢量:P 设设第44页，此课件共73页哦设微段设微段 的相对伸长的相对伸长(正应变正应变)为为第45页，此课件共73页哦小变形由于第46页，此课件共73页哦2、任二线段夹角的改变、任二线段夹角的改变二线段：二线段：长度

11、：长度：变形后：变形后：单位方向矢量为单位方向矢量为 第47页，此课件共73页哦drdrdu,rru第48页，此课件共73页哦第49页，此课件共73页哦小变形,保留一阶微量第50页，此课件共73页哦第51页，此课件共73页哦3、主应变与应变主向、主应变与应变主向定义：定义：在变形过程中，除去刚体转动外，微元线段保在变形过程中，除去刚体转动外，微元线段保持某方向不变，则此方向称为应变主方向，该方向持某方向不变，则此方向称为应变主方向，该方向微线段的相对伸缩量为主应变。微线段的相对伸缩量为主应变。第52页，此课件共73页哦第53页，此课件共73页哦此时，根据应变主方向的定义根据应变主方向的定义第5

12、4页，此课件共73页哦 说明：说明：1与求主应力类似；与求主应力类似；2也可由二阶对称张量的性质，从数学上求也可由二阶对称张量的性质，从数学上求第55页，此课件共73页哦有三个实根有三个实根，表明过一点有三个主应变，表明过一点有三个主应变第56页，此课件共73页哦4.应变张量不变量应变张量不变量展开后与（*）比较系数：第57页，此课件共73页哦考虑一微元体，变形前：变形后：单位体积的改变：体积应变第58页，此课件共73页哦668 8 应变协调方程应变协调方程 数学上：数学上：1第59页，此课件共73页哦2这些条件称为变形协调条件变形协调条件或应变协调方程应变协调方程或相容相容方程方程第60页，

13、此课件共73页哦物理上：物理上：微元体变形后应保持连续，要求 不能任意，应保持连续，不然则会产生错开、嵌入等现象，不是单值。因为位移完全可以描述物体的运动和变形因为位移完全可以描述物体的运动和变形12第61页，此课件共73页哦直角坐标系中分量形式的相容方程直角坐标系中分量形式的相容方程 第62页，此课件共73页哦 进一步可以证明，应变分量满足应变协调方程是存在进一步可以证明，应变分量满足应变协调方程是存在单值连续位移场的必要条件。单值连续位移场的必要条件。对于单连体，也是充分条件；对于单连体，也是充分条件；对于多连体，加上位移单值条件，才是充分的。对于多连体，加上位移单值条件，才是充分的。第6

14、3页，此课件共73页哦669 9 各向同性弹性体的应各向同性弹性体的应力应变关系力应变关系 线线弹性体最一般应力应变关系：弹性体最一般应力应变关系：相当于：相当于：其中：其中：E为四阶张量（由商法则），称为弹性张量，为四阶张量（由商法则），称为弹性张量，共有共有81个分量。个分量。（*）式称）式称物理方程物理方程，或，或本构方程本构方程（关系）（关系）第64页，此课件共73页哦对于各向同性材料：对于各向同性材料：坐标任意变换时，（坐标任意变换时，（*）形式不变，）形式不变，所以所以E为四阶各向同性张量。为四阶各向同性张量。又有：又有：而：而：第65页，此课件共73页哦第66页，此课件共73页哦第67页，此课件共73页哦展开展开第68页，此课件共73页哦第69页，此课件共73页哦另，由材料试验：另，由材料试验：比较：比较：第70页，此课件共73页哦由此：由此：第71页，此课件共73页哦缩并运算：缩并运算：体积模量第72页，此课件共73页哦其不变性形式：其不变性形式：对于正交曲线坐标系，本构方程具有相同的形式对于正交曲线坐标系，本构方程具有相同的形式第73页，此课件共73页哦