线性二次型最优控制幻灯片.ppt

《线性二次型最优控制幻灯片.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性二次型最优控制幻灯片.ppt（38页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、线性二次型最优控制第1页，共38页，编辑于2022年，星期一线性二次型最优控制线性二次型最优控制(2/12)(2/12)q对于线性系统对于线性系统,若取状态变量若取状态变量x(t)和控制变量和控制变量u(t)的二次型函数的二次型函数的积分作为性能指标泛函的积分作为性能指标泛函,这种动态系统的最优控制问题称这种动态系统的最优控制问题称为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题,简称为简称为线性二次型问题。线性二次型问题。该类问题的优点是能得到最优控制解该类问题的优点是能得到最优控制解u*(t)的统一解析表的统一解析表达形式和一个简单的且易于工程实现的

2、最优状态反馈律。达形式和一个简单的且易于工程实现的最优状态反馈律。因此因此,线性二次型问题对于从事自动控制研究的理论工作线性二次型问题对于从事自动控制研究的理论工作者和工程技术人员都具有很大吸引力。者和工程技术人员都具有很大吸引力。近近40年来年来,人们对各种最优状态反馈控制系统的结构、性人们对各种最优状态反馈控制系统的结构、性质以及设计方法进行了多方面的研究质以及设计方法进行了多方面的研究,并且有许多成功的并且有许多成功的应用。应用。第2页，共38页，编辑于2022年，星期一线性二次型最优控制线性二次型最优控制(3/12)(3/12)线性二次型问题是最优控制理论中发展最为成熟、最有线性二次型

3、问题是最优控制理论中发展最为成熟、最有系统性、应用最为广泛和深入的分支。系统性、应用最为广泛和深入的分支。本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一性和最优控制解的充分必要条件。性和最优控制解的充分必要条件。线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。第3页，共38页，编辑于2022年，星期一线性二次型最优控制线性二次型最优控制(4/12)(4/12)q线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题 设线性时变系统的状态方程和输设线性时变系统的状态方程和输出量测方程为出量测方程为式中式中

4、,x(t)是是n维状态向量维状态向量,u(t)是是r维控制向量维控制向量,y(t)是是m维输出向量。维输出向量。A(t)、B(t)和和C(t)分别是分别是nn、nr和和mn维的分段连维的分段连续的时变矩阵。续的时变矩阵。假定系统的维数满足假定系统的维数满足0m r n,且且u(t)不受约束。不受约束。用用z(t)表表示示预预期期的的输输出出,它它为为m维维向向量量,则则定定义义输输出出误误差差向向量如下量如下e(t)=z(t)-y(t)第4页，共38页，编辑于2022年，星期一线性二次型最优控制线性二次型最优控制(5/12)(5/12)控控制制的的目目标标是是寻寻找找最最优优控控制制函函数数u

5、*(t),使使下下列列二二次次型型性性能能指标泛函为最小指标泛函为最小式中式中,F为为mm维非负定的常数矩阵维非负定的常数矩阵;Q(t)为为mm维时变的分段连续的非负定矩阵维时变的分段连续的非负定矩阵;R(t)为为rr维维时时变变的的分分段段连连续续的的正正定定矩矩阵阵,且且其其逆逆矩矩阵阵存在并有界存在并有界;末态时刻末态时刻tf是固定的。是固定的。第5页，共38页，编辑于2022年，星期一线性二次型最优控制线性二次型最优控制(6/12)(6/12)q下面对上述性能指标泛函作细致的讨论下面对上述性能指标泛函作细致的讨论:1)性性能能指指标标泛泛函函Ju()中中的的第第1项项e(tf)Fe(t

6、f),是是为为了了突突出出对对末末端端目目标标的的控控制制误误差差的的要要求求和和限限制制而而引引进进的的,称称为为末末端端代代价函数。价函数。非非负负定定的的常常数数矩矩阵阵F为为加加权权矩矩阵阵,其其各各行行各各列列元元素素的的值值的的不不同同,体体现现了了对对误误差差向向量量e(t)在在末末态态时时刻刻tf各各分分量量的要求不同、重要性不同。的要求不同、重要性不同。若若矩矩阵阵F的的第第i行行第第i列列元元素素值值较较大大,代代表表二二次次项项的的重重要性较大要性较大,对其精度要求较高。对其精度要求较高。第6页，共38页，编辑于2022年，星期一线性二次型最优控制线性二次型最优控制(7/

7、12)(7/12)2)性性能能指指标标泛泛函函Ju()中中的的被被积积函函数数中中的的第第1项项e(t)Q(t)e(t),表示在系统工作过程中对控制误差向量表示在系统工作过程中对控制误差向量e(t)的要求和限制。的要求和限制。由由于于时时变变的的加加权权矩矩阵阵Q(t)为为非非负负定定的的,故故该该项项函函数数值值总是为非负的。总是为非负的。v一一般般情情况况下下,e(t)越越大大,该该项项函函数数值值越越大大,其其在在整整个个性能指标泛函所占的份量就越大。性能指标泛函所占的份量就越大。v因因此此,对对性性能能指指标标泛泛函函求求极极小小化化体体现现了了对对误误差差向向量量e(t)的大小的约束

8、和限制。的大小的约束和限制。v在在e(t)为为标标量量函函数数时时,该该项项可可取取为为e2(t),于于是是该该项项与与经经典典控控制制理理论论中中判判别别系系统统性性能能的的误误差差平平方方积积分分指标一致。指标一致。第7页，共38页，编辑于2022年，星期一线性二次型最优控制线性二次型最优控制(8/12)(8/12)非非负负定定的的时时变变矩矩阵阵Q(t)为为加加权权矩矩阵阵,其其各各行行各各列列元元素素的的值值的的不不同同,体体现现了了对对相相应应的的误误差差向向量量e(t)的的分分量量在在各时刻的要求不同、重要性不同。各时刻的要求不同、重要性不同。v时时变变矩矩阵阵Q(t)的的不不同同

9、选选择择,对对闭闭环环最最优优控控制制系系统统的性能的影响较大。的性能的影响较大。第8页，共38页，编辑于2022年，星期一线性二次型最优控制线性二次型最优控制(9/12)(9/12)3)性性能能指指标标泛泛函函Ju()中中的的被被积积函函数数的的第第2项项u(t)R(t)u(t),表表示示在在系系统统工工作作过过程程中中对对控控制制向向量量u(t)的的大大小小的的要要求求和和限限制。制。由由于于时时变变的的加加权权矩矩阵阵R(t)为为正正定定的的,故故该该项项函函数数值值在在u(t)为非零向量时总是为正的。为非零向量时总是为正的。v而而且且u(t)越越大大,该该项项函函数数值值越越大大,其其

10、在在整整个个性性能能指指标泛函所占的分量就越大。标泛函所占的分量就越大。v因因此此,对对性性能能指指标标泛泛函函求求极极小小化化体体现现了了对对控控制制向向量量u(t)的大小的约束和限制。的大小的约束和限制。v如如u(t)为为与与电电压压或或电电流流成成正正比比的的标标量量函函数数时时,该该项项为为u2(t),并并与与功功率率成成正正比比,而而 u2(t)dt则则与与在在t0,tf区区间内间内u(t)所做的功或所消耗的能量成正比。所做的功或所消耗的能量成正比。第9页，共38页，编辑于2022年，星期一线性二次型最优控制线性二次型最优控制(10/12)(10/12)v因因此此,该该项项Lu是是用

11、用来来衡衡量量控控制制功功率率大大小小的的代代价价函函数。数。v正正定定的的时时变变矩矩阵阵R(t)亦亦为为加加权权矩矩阵阵,其其各各行行各各列列元元素素的的值值的的不不同同,体体现现了了对对相相应应的的控控制制向向量量u(t)的的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。分量在各时刻的要求不同、重要性不同。时时变变矩矩阵阵R(t)的的不不同同选选择择,对对闭闭环环最最优优控控制制系系统统的的性性能的影响较大。能的影响较大。v综综上上所所述述,可可见见线线性性系系统统的的二二次次型型性性能能指指标标泛泛函函的的最最优优控控制制问问题题的的实实质质在在于于用用不不大大的的控控制制量量,来来保保持持较较

12、小小的的控控制制误误差差,以以达达到到所所耗耗费费的的能能量量和和控控制误差的综合最优。制误差的综合最优。第10页，共38页，编辑于2022年，星期一线性二次型最优控制线性二次型最优控制(11/12)(11/12)q现在讨论上述线性二次型问题的几种特殊情况。现在讨论上述线性二次型问题的几种特殊情况。1)若若令令C(t)=I,z(t)=0,则则y(t)=x(t)=-e(t)。这这时时,线线性性二二次次型型问问题题的性能指标泛函变为的性能指标泛函变为该该问问题题转转化化成成:用用不不大大的的控控制制能能量量,使使状状态态x(t)保保持持在在零值附近零值附近,称为状态调节器问题。称为状态调节器问题。

13、2)若若令令z(t)=0,则则y(t)=-e(t)。这这时时,线线性性二二次次型型问问题题的的性性能能指指标泛函变为标泛函变为该该问问题题转转化化成成:用用不不大大的的控控制制能能量量,使使输输出出值值y(t)保保持持在在零零值值附近附近,称为输出调节器问题。称为输出调节器问题。第11页，共38页，编辑于2022年，星期一线性二次型最优控制线性二次型最优控制(12/12)(12/12)3)若若z(t)0,则则e(t)=z(t)-y(t)。这这时时,线线性性二二次次型型问问题题为为:用用不不大大的的控控制制能能量量,使使输输出出y(t)跟踪期望信号跟踪期望信号z(t)的变化的变化,称为输出跟踪问

14、题。称为输出跟踪问题。q下下面面将将陆陆续续介介绍绍状状态态调调节节器器、输输出出调调节节器器和和最最优优跟跟踪踪问问题题的的求解方法、解的性质以及最优状态反馈实现求解方法、解的性质以及最优状态反馈实现,具体内容为：具体内容为：时变状态调节器时变状态调节器定常状态调节器定常状态调节器第12页，共38页，编辑于2022年，星期一时变状态调节器时变状态调节器(1/3)(1/3)7.5.1 时变状态调节器时变状态调节器q前面已经指出前面已经指出,状态调节器问题为状态调节器问题为:用用不不大大的的控控制制能能量量,使使状状态态x(t)保保持持在在零零值值附附近近的的二二次次型型最优控制问题。最优控制问

15、题。该问题的描述如下。该问题的描述如下。第13页，共38页，编辑于2022年，星期一时变状态调节器时变状态调节器(2/3)(2/3)q有有限限时时间间LQ调调节节器器问问题题 设设线线性性时时变变系系统统的的状状态态方方程程和和初初始始条件为条件为式中式中,控制量控制量u(t)不受约束。不受约束。寻寻找找最最优优控控制制函函数数u*(t),使使下下列列二二次次型型性性能能指指标标泛泛函函为为最最小小式中式中,F和和Q(t)为非负定矩阵为非负定矩阵;R(t)为正定矩阵为正定矩阵;末态时刻末态时刻tf是固定的。是固定的。第14页，共38页，编辑于2022年，星期一时变状态调节器时变状态调节器(3/

16、3)(3/3)q由由于于所所讨讨论论的的系系统统为为线线性性系系统统,给给定定的的性性能能指指标标泛泛函函对对状状态态变变量量x(t)和和控控制制量量u(t)均均连连续续可可微微,因因此此,状状态态调调节节器器问问题题可可用用变分法、极大值原理和动态规划方法中的任一种求解。变分法、极大值原理和动态规划方法中的任一种求解。本本节节采采用用变变分分法法给给出出最最优优控控制制解解存存在在的的充充分分必必要要条条件件及及最最优优控控制制问问题题解解的的表表达达式式,讨讨论论最最优优控控制制解解的的存存在在性性、唯唯一性等性质及解的计算方法。一性等性质及解的计算方法。内容为：内容为：最优控制的充分必要

17、条件最优控制的充分必要条件矩阵矩阵P(t)的若干性质的若干性质最优控制的存在性与唯一性最优控制的存在性与唯一性第15页，共38页，编辑于2022年，星期一最优控制的充分必要条件最优控制的充分必要条件(1/10)(1/10)定理定理7-147-141.最优控制的充分必要条件最优控制的充分必要条件q定定理理7-14(有有限限时时间间LQ调调节节器器)对对于于有有限限时时间间LQ调调节节器器问问题题,为其最优控制的充分必要条件是为其最优控制的充分必要条件是最优轨线为下述状态方程最优轨线为下述状态方程的解的解,而最优性能值为而最优性能值为式中式中,P(t)为下述矩阵黎卡提微分方程的正定或半正定解。为下

18、述矩阵黎卡提微分方程的正定或半正定解。第16页，共38页，编辑于2022年，星期一最优控制的充分必要条件最优控制的充分必要条件(2/10)(2/10)第17页，共38页，编辑于2022年，星期一最优控制的充分必要条件最优控制的充分必要条件(10/10)(10/10)q上上述述具具有有充充分分必必要要的的最最优优控控制制实实际际上上是是一一个个线线性性状状态态反反馈馈,因因此此,可可以以将将线线性性系系统统最最优优状状态态调调节节器器的的最最优优控控制制表表示示成成如如图图7-67-6所示的状态反馈形式所示的状态反馈形式,其闭环系统的状态方程为其闭环系统的状态方程为图图7-6 线性系统最优状态调

19、节器线性系统最优状态调节器q上上述述结结论论是是线线性性时时变变系系统统的的结结论论,当当系系统统是是线线性性定定常常的的时时候候,上述结论仍然成立上述结论仍然成立,而且计算还要简单。而且计算还要简单。第18页，共38页，编辑于2022年，星期一矩阵矩阵P(t)的若干性质的若干性质(1/3)(1/3)2.矩阵矩阵P(t)的若干性质的若干性质q对黎卡提微分方程的解对黎卡提微分方程的解P(t),有如下性质。有如下性质。1)P(t)是黎卡提微分方程末值问题的解是黎卡提微分方程末值问题的解,与初始状态无关。与初始状态无关。当当在在区区间间t0,tf内内A(t)、B(t)、R(t)和和Q(t)为为分分段

20、段连连续续的的时时间间函函数数,R(t)为为正正定定且且其其逆逆矩矩阵阵有有界界,Q(t)矩矩阵阵为为非负定时非负定时,则根据微分方程解的存在性和唯一性理论则根据微分方程解的存在性和唯一性理论,vP(t)的解在区间的解在区间t0,tf内唯一存在。内唯一存在。第19页，共38页，编辑于2022年，星期一矩阵矩阵P(t)的若干性质的若干性质(2/3)(2/3)2)对于任意对于任意t t0,tf,P(t)是对称矩阵。是对称矩阵。事事实实上上,将将黎黎卡卡提提微微分分方方程程和和边边界界条条件件的的两两边边作作转转置置,并考虑到并考虑到R(t),Q(t)和和F都为对称矩阵都为对称矩阵,则有则有因因此此

21、,矩矩阵阵P(t)和和它它的的转转置置P(t)满满足足同同一一个个矩矩阵阵微微分分方程和边界条件。方程和边界条件。根根据据微微分分方方程程解解的的存存在在性性和和唯唯一一性性理理论论,则则对对任任意意t t0,tf,有有P(t)=P(t),即即P(t)是对称的。是对称的。第20页，共38页，编辑于2022年，星期一矩阵矩阵P(t)的若干性质的若干性质(3/3)(3/3)3)于于矩矩阵阵P(t)的的对对称称性性,则则nn维维的的黎黎卡卡提提矩矩阵阵微微分分方方程程实实质质上上是是一一个个由由n(n+1)/2个个非非线线性性标标量量微微分分方方程程组组成成的的微微分方程组。分方程组。因因此此,求求

22、解解P(t),只只要要求求解解n(n+1)/2个个非非线线性性微微分分方方程程即可。即可。第21页，共38页，编辑于2022年，星期一最优控制的存在性与唯一性最优控制的存在性与唯一性(1/13)(1/13)定理定理7-157-153.最优控制的存在性与唯一性最优控制的存在性与唯一性q对对于于一一般般的的最最优优控控制制问问题题,论论证证最最优优控控制制解解的的存存在在性性是是很很困困难难的的,但但对对于于最最优优状状态态调调节节器器问问题题,可可以以证证明明最最优优控控制制解解的的存存在性和唯一性。在性和唯一性。对此对此,有如下定理。有如下定理。q定定理理7-15 7-15 对对线线性性时时变

23、变系系统统的的最最优优状状态态调调节节器器问问题题,当当tf 0。试求其最优控制和最优状态轨线。试求其最优控制和最优状态轨线。q解解 根据定理根据定理7-14,7-14,可以求出该问题的最优控制为可以求出该问题的最优控制为式中式中,p(t)是如下黎卡提微分方程及边界条件的解是如下黎卡提微分方程及边界条件的解第23页，共38页，编辑于2022年，星期一最优控制的存在性与唯一性最优控制的存在性与唯一性(6/13)(6/13)由上述微分方程可知由上述微分方程可知,p(t)的解满足的解满足积分上式积分上式,可得可得其中其中第24页，共38页，编辑于2022年，星期一最优控制的存在性与唯一性最优控制的存

24、在性与唯一性(7/13)(7/13)最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解 于是得于是得第25页，共38页，编辑于2022年，星期一q最最优优状状态态轨轨线线为为对对上上述述线线性性定定常常系系统统的的最最优优状状态态调调节节器器问问题题,其最优状态反馈律和闭环系统状态方程都呈现时变的性质。其最优状态反馈律和闭环系统状态方程都呈现时变的性质。最优控制的存在性与唯一性最优控制的存在性与唯一性(8/13)(8/13)图图7-7 状态最优调节器结构图状态最优调节器结构图这这是是最最优优状状态态调调节节器器在在tf 的的一一个重要性质。个重要性质。图图7-7是是例

25、例7-11的的最最优优状状态态调调节节器器的结构图。的结构图。图图中中信信号号p(t)是是对对黎黎卡卡提提微微分分方方程程进进行行电电子子电电路路模模拟拟的的结结果果,其其初初始始信信号号p(0)是是对对黎黎卡卡提提微微分分方方程程的的解解在在t=0时时的值。的值。第26页，共38页，编辑于2022年，星期一定常状态调节器定常状态调节器(1/12)(1/12)7.5.2 定常状态调节器定常状态调节器q前前面面已已经经指指出出,即即使使被被控控系系统统是是线线性性定定常常的的,性性能能指指标标泛泛函函中中的的矩矩阵阵Q(t)和和R(t)也也为为定定常常的的,在在末末态态时时刻刻为为有有限限时时间间(tf0。试求其最优控制和最优状态轨线。试求其最优控制和最优状态轨线。q解解 根据定理根据定理7-16,7-16,可以求出该问题的最优控制为可以求出该问题的最优控制为式中式中,p是如下黎卡提代数方程的解是如下黎卡提代数方程的解第37页，共38页，编辑于2022年，星期一定常状态调节器定常状态调节器(12/12)(12/12)解之得解之得因此因此,最优状态反馈律为最优状态反馈律为相应的最优状态调节器的闭环系统状态方程为相应的最优状态调节器的闭环系统状态方程为于是得于是得第38页，共38页，编辑于2022年，星期一