线性代数矩阵的秩及其求法幻灯片.ppt

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1、线性代数矩阵的秩及其求法1第1页，共18页，编辑于2022年，星期一1.k 阶子式阶子式定义定义1 设设在在A中任取中任取k 行行k 列交叉列交叉称为称为A的一个的一个k 阶子式。阶子式。阶行列式，阶行列式，处元素按原相对位置组成的处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念2第2页，共18页，编辑于2022年，星期一设设，共有共有个二阶子式，有个二阶子式，有个三阶子式。个三阶子式。例如例如矩阵矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为所构成的二阶子式为而为为 A 的一个三阶子式。的一个三阶子式。显然，显然，矩阵矩阵 A

2、共有共有个个 k 阶子式。阶子式。3第3页，共18页，编辑于2022年，星期一2.矩阵的秩矩阵的秩设，有有r 阶子式不为阶子式不为0 0，任何任何r+1阶阶记作记作R(A)或秩或秩(A)。子式子式(如果存在如果存在的话的话)全为全为0,定义定义2称称r为矩阵为矩阵A的秩，的秩，4第4页，共18页，编辑于2022年，星期一规定：规定：零矩阵的秩为零矩阵的秩为 0.注意：注意：(1)如如 R(A)=r，则，则 A 中至少有一个中至少有一个 r 阶子阶子式式所有所有 r+1 阶子式为阶子式为 0，且更高阶，且更高阶子式均为子式均为 0，r 是是 A 中不为零的子式的最高阶中不为零的子式的最高阶数，是

3、唯一的数，是唯一的.(2)有行列式的性质，有行列式的性质，(3)R(A)m,R(A)n,0 R(A)min m,n .(4)如果如果 Ann ,且且则则 R(A)=n.反之，如反之，如 R(A)=n,则则因此，方阵因此，方阵 A 可逆的可逆的充分必要条件充分必要条件是是 R(A)=n.5第5页，共18页，编辑于2022年，星期一二、矩阵秩的二、矩阵秩的求法求法1、子式判别法、子式判别法(定义定义)。例例1设为阶梯形矩阵，为阶梯形矩阵，求R(B)。解解，由于由于存在一个二阶子式不为存在一个二阶子式不为0，而，而任何三阶子式全为任何三阶子式全为0，则则 R(B)=2.结论：阶梯形矩阵的秩结论：阶梯

4、形矩阵的秩=台阶数。台阶数。6第6页，共18页，编辑于2022年，星期一例如例如一般地，一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数台阶数”非零行的行数。非零行的行数。7第7页，共18页，编辑于2022年，星期一如果求 a.解解或例例2 设8第8页，共18页，编辑于2022年，星期一则例例39第9页，共18页，编辑于2022年，星期一2、用初等变换法求矩阵的秩、用初等变换法求矩阵的秩定理定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即则注：注：只改变子行列式的符号。只改变子行列式的符号。是是 A 中对应子式的中对应子式的 k 倍。倍。是行列式运算的性质。是行列式

5、运算的性质。由于初等变换不改变矩阵的秩，由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一而任一都等价都等价于行阶梯矩阵。于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为其秩等于它的非零行的行数，即为所以可以用初等变换化所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求为阶梯矩阵来求A的秩。的秩。10第10页，共18页，编辑于2022年，星期一例例4解解R(A)=2 ，求11第11页，共18页，编辑于2022年，星期一例例512第12页，共18页，编辑于2022年，星期一三、满秩矩阵三、满秩矩阵称称 A 是是满秩阵满秩阵，（，（非奇异矩阵非奇异矩阵）称称 A 是是降秩阵降秩阵，（，（奇异矩阵奇异矩阵）可见可见：A 为为 n

6、 阶方阵时，阶方阵时，定义定义3对于满秩方阵对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：又根据初等阵的作用：每对每对A施行一次初等行变换，施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的由此得到下面的定理定理13第13页，共18页，编辑于2022年，星期一定理定理3设设A是满秩方阵，则存在初等方阵是满秩方阵，则存在初等方阵使得使得14第14页，共18页，编辑于2022年，星期一例如例如它的行最简形是它的行最简形是 n 阶单位阵阶单位阵 E.对于满秩矩阵对于满秩矩阵A，A为满秩方阵。15第15页，共1

7、8页，编辑于2022年，星期一定理定理5 5 R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)minR(A)，R(B)。关于矩阵的秩的一些重要结论：关于矩阵的秩的一些重要结论：性质性质1 1设设A是是矩阵，矩阵，B是是矩阵，矩阵，性质性质2 2 如果如果 A B=0 则则性质性质3 3 如果如果 R(A)=n,如果如果 A B=0 则则 B=0。性质性质4 4 设设A,B均为均为 矩阵，则矩阵，则16第16页，共18页，编辑于2022年，星期一设设A为为n n阶矩阵，证明阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）n证：证：（A+E）+（E-A）=2E R（A+E）+R（E-A）R（2E）=n而而 R（E-A）=R（A-E）R（A+E）+R（A-E）n例例817第17页，共18页，编辑于2022年，星期一作业作业P109 1 2 318第18页，共18页，编辑于2022年，星期一