弹性力学li讲稿.ppt

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1、弹性力学li第一页，讲稿共四十二页哦6 6 温度应力平面问题概论温度应力平面问题概论当弹性体的温度发生变化时，将发生膨胀或收缩变形，当这种当弹性体的温度发生变化时，将发生膨胀或收缩变形，当这种变形受到约束（外在约束或物体内部各部分之间的约束）时，变形受到约束（外在约束或物体内部各部分之间的约束）时，即产生应力（温度应力）。即产生应力（温度应力）。什么是温度应力？第六章 温度应力平面问题概论6.1 基本概念首先计算弹性体的温度场，求出变温；首先计算弹性体的温度场，求出变温；然后根据弹性体的变温求出弹性体内各点的温度应力。然后根据弹性体的变温求出弹性体内各点的温度应力。分析思路：（平面热弹性力学问

2、题概论）（平面热弹性力学问题概论）第二页，讲稿共四十二页哦（1）热传导）热传导6.1 基本概念第六章 温度应力平面问题概论6.1 基本概念热量从物体的一部分传递到另一部分，或从一个物体传入与之相接触的热量从物体的一部分传递到另一部分，或从一个物体传入与之相接触的另一物体。另一物体。第三页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.1 基本概念分类：按时间分类；按空间分类。分类：按时间分类；按空间分类。计算方法：根据热传导方程求解；近似数值求解；利用半理论计算方法：根据热传导方程求解；近似数值求解；利用半理论半经验公式求解。半经验公式求解。任一瞬时，物体内各点的温度随位置（坐标）的分布规律

3、，称为任一瞬时，物体内各点的温度随位置（坐标）的分布规律，称为该瞬时的温度场。该瞬时的温度场。（2）温度场）温度场第四页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.1 基本概念（3）等温面（线）等温面（线）沿等温面的法线方向，温度的变化率最大。沿等温面的法线方向，温度的变化率最大。任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得到的任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得到的曲面，称为该瞬时的等温面。曲面，称为该瞬时的等温面。第五页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.1 基本概念（4）温度梯度）温度梯度表示温度表示温度T在某一点在某一点P处的变化率，为矢量，沿着等温面的法处的变化率，为矢量

4、，沿着等温面的法线方向，指向增温的方向。线方向，指向增温的方向。该点该点P沿坐标的变温率为：沿坐标的变温率为：（5）热流速度）热流速度 相似于水流流量相似于水流流量 单位时间内通过等温面面积单位时间内通过等温面面积S的热量，因次：热量的热量，因次：热量时间时间-1表示该点的最大变温率的方向和大小。表示该点的最大变温率的方向和大小。第六页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.1 基本概念（6）热流密度）热流密度 相似于水流速度相似于水流速度其矢量形式为：其矢量形式为：单位时间内通过等温面单位面积的热量，因次：热量单位时间内通过等温面单位面积的热量，因次：热量时间时间-1长度长度-2

5、沿等温面法线方向，指向降温方向。沿等温面法线方向，指向降温方向。第七页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.1 基本概念（6）热流密度）热流密度 相似于水流速度相似于水流速度 导热系数，表示在单位温度梯度下通过等温导热系数，表示在单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。因次：热量长度面单位面积的热流速度。因次：热量长度-1时间时间-1温度温度-1亦可写为：亦可写为：热流密度与温度梯度成正比而方向相反。热流密度与温度梯度成正比而方向相反。（热传导的基本定律热传导的基本定律）投影为：投影为：的大小为的大小为即：热流密度在任一方向的分量，即：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以

6、温度在该方向等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。的递减率。第八页，讲稿共四十二页哦6.2 热传导微分方程及边值条件第六章 温度应力平面问题概论6.2 热传导微分方程及边值条件（1）建立依据）建立依据（2）方程推导）方程推导在任意一段时间内，物体内任一微小部分所吸收的热量，等于传入在任意一段时间内，物体内任一微小部分所吸收的热量，等于传入热量热量+内部热源所供热量。内部热源所供热量。热量平衡原理热量平衡原理xzy 吸收热量吸收热量令微小六面体的温度在令微小六面体的温度在dt时间时间内升高了内升高了 ，吸收的热量为：，吸收的热量为：第九页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.2 热传

7、导微分方程及边值条件 传入的净热量传入的净热量沿沿x轴：轴：沿沿y轴：轴：沿沿z轴：轴：xzy第十页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.2 热传导微分方程及边值条件 内部热源供热内部热源供热,其中其中W为热源强度，表示单位时间单位体积供为热源强度，表示单位时间单位体积供给的热量。给的热量。热量平衡原理热量平衡原理即：即：除以除以 ，并令，并令 ，得：，得：热传导微分方程热传导微分方程第十一页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.2 热传导微分方程及边值条件（3）混凝土硬化期间的热传导方程）混凝土硬化期间的热传导方程引入绝热温升引入绝热温升代替代替W，经推导，可得：，经

8、推导，可得：混凝土硬化期间的热传混凝土硬化期间的热传导微分方程导微分方程第十二页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.2 热传导微分方程及边值条件（4）边值条件）边值条件初始条件：弹性体在初始瞬时的温度分布。初始条件：弹性体在初始瞬时的温度分布。边界条件：物体表面与周围介质之间进行热交换的规律。边界条件：物体表面与周围介质之间进行热交换的规律。分四类分四类:第一类：已知物体表面温度，即：第一类：已知物体表面温度，即：第二类：已知物体表面法向热流密度，即：第二类：已知物体表面法向热流密度，即：第三类：已知物体边界上的对流放热情况，即：第三类：已知物体边界上的对流放热情况，即：第四类：

9、已知物体和与之接触的另一物体以热传导方式进行交换的第四类：已知物体和与之接触的另一物体以热传导方式进行交换的情况，即：情况，即：或：或：第十三页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.2 热传导微分方程及边值条件按照边值条件求解热传导微分方程，在数学上是个难题，对于工按照边值条件求解热传导微分方程，在数学上是个难题，对于工程实际问题，用函数求解一般是不现实的。程实际问题，用函数求解一般是不现实的。对于平面问题，可对于平面问题，可以用差分法求解，最好用有限单元法，对于空间问题，只能用以用差分法求解，最好用有限单元法，对于空间问题，只能用有限单元法求解。有限单元法求解。第十四页，讲稿共四

10、十二页哦说明：说明：在以后的讨论中，在以后的讨论中，T 表示温度的改变，而不是某一点的温度。表示温度的改变，而不是某一点的温度。升温时，升温时，T 为正；降温时，为正；降温时，T 为负。为负。1.热弹性问题的基本假定热弹性问题的基本假定（1 1）材料在热学和力学意义上都是弹性的、均匀的、各向同性的。即有材料常材料在热学和力学意义上都是弹性的、均匀的、各向同性的。即有材料常数均与位置、方向无关。数均与位置、方向无关。（2 2）材料常数与温度变化无关，或取平均值；不考虑蠕变、松驰和相变等发生。材料常数与温度变化无关，或取平均值；不考虑蠕变、松驰和相变等发生。（3 3）不考虑温度变化速率所引起的惯性

11、效应。不考虑温度变化速率所引起的惯性效应。（4 4）不计变形与温度变化之间的耦合效应。不计变形与温度变化之间的耦合效应。称非耦合的线性热弹性理论，简称称非耦合的线性热弹性理论，简称“热弹性理论热弹性理论”。2.热弹性问题的基本方程热弹性问题的基本方程平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件第六章 温度应力平面问题概论6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件第十五页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件（1）平衡微分方程（）平衡微分方程（X=Y0）（2）几何方程）几何方程

12、表示物体内任意点的平衡关系表示物体内任意点的平衡关系表示应变与位移之间的纯粹的表示应变与位移之间的纯粹的几何关系几何关系注意：注意：这里的应变和位移是由于变温和温度应力共同作用引起的。这里的应变和位移是由于变温和温度应力共同作用引起的。不会由于引起应力的原因不同而有所改变。不会由于引起应力的原因不同而有所改变。不会由于引起应变和位移的原因不同而有所改变。不会由于引起应变和位移的原因不同而有所改变。第十六页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件（3）物理方程）物理方程由变温引起的应变：由变温引起的应变：由于变温，弹性体内各点的应变由两部分组成：由于变

13、温，弹性体内各点的应变由两部分组成：因为各向同性体，这种正应变在所有各方向均相同，因而不伴因为各向同性体，这种正应变在所有各方向均相同，因而不伴随任何剪应变，即：随任何剪应变，即：若任一个微分体可以自由膨胀，不受约束，则由于变温若任一个微分体可以自由膨胀，不受约束，则由于变温T引起的正应引起的正应变为：变为：第十七页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件由温度应力引起的应变：由温度应力引起的应变：但是，由于弹性体所受的外在约但是，由于弹性体所受的外在约束及体内各部分之间的相互约束，束及体内各部分之间的相互约束，上述形变不能自由发生，于是就上述形变不

14、能自由发生，于是就产生了应力，即温度应力。该温产生了应力，即温度应力。该温度应力又引起附加应变，满足虎度应力又引起附加应变，满足虎克定律。克定律。第十八页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件则总的应变为：则总的应变为：第十九页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件则物理方程为：则物理方程为：平面应力问题平面应力问题对于对于 平面应变问题，只须作变换：平面应变问题，只须作变换：（6-16）若只受随若只受随x,y变化的变温变化的变温T作用，不作用，不随随z变化，则仍为平面应力问题，变化，则仍为平面应力问题

15、，即：即：第二十页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件（4）边界条件）边界条件注意：注意：式中的应力分量均为温度变化产生的温度应力。式中的应力分量均为温度变化产生的温度应力。位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：，因只受到变温作用，不受外力。，因只受到变温作用，不受外力。第二十一页，讲稿共四十二页哦6.4 按位移求解温度应力的平面问题第六章 温度应力平面问题概论（1）方程推导）方程推导将几何方程代入上式：将几何方程代入上式：由物理方程求得：由物理方程求得：注意：注意：温度应力分量包含温度应力分量包含两部分：由位移计算出的两部分：

16、由位移计算出的应力和变温计算出的应力。应力和变温计算出的应力。（c）（6-17）第二十二页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.4 按位移求解温度应力的平面问题再将（再将（6-17）代入平衡微分方程（）代入平衡微分方程（X=Y=0），整理得：），整理得：将（将（6-17）代入应力边界条件中，整理得：）代入应力边界条件中，整理得：位移边界条件：位移边界条件：（6-19）（6-18）第二十三页，讲稿共四十二页哦第二章 平面问题的基本理论对比：2.7 按位移求解平面问题将式（a）代入平衡微分方程，简化以后，得：（2-20）按位移求解平面应力问题的基本微分方程将式（a）代入应力边界条件，简

17、化以后，得：（2-21）按位移求解平面应力问题的应力边界条件第二十四页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.4 按位移求解温度应力的平面问题（2）对比分析）对比分析将（将（6-18）、（）、（6-19）分别与（）分别与（2-20）、（）、（2-21）对比，可见：）对比，可见：法向面力法向面力结论：结论：变温引起的位移等效于上述体力和法向面力变温引起的位移等效于上述体力和法向面力 作用时作用时的位移。的位移。因此，因此，温度应力就等于假想体力和假想面力所引起的应力，叠温度应力就等于假想体力和假想面力所引起的应力，叠加一各向相同的正应力加一各向相同的正应力第二十五页，讲稿共四十二页哦第

18、六章 温度应力平面问题概论6.4 按位移求解温度应力的平面问题因此，因此，可按应力边界条件（可按应力边界条件（2-21）、位移边界条件（）、位移边界条件（2-17）求出在上）求出在上述体力和法向面力作用时，微分方程（述体力和法向面力作用时，微分方程（2-20）的解答）的解答u,v后，再按（后，再按（6-17）求得温度应力。即把温度应力平面问题变换为已知体力和面力的平面问）求得温度应力。即把温度应力平面问题变换为已知体力和面力的平面问题。题。（2-20）（2-21）（2-17）（6-17）第二十六页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.4 按位移求解温度应力的平面问题（3）举例）举例

19、降温T0X=Y=0，将变温作用转换为外力作用：，将变温作用转换为外力作用：求图示混凝土浇注块均匀降温求图示混凝土浇注块均匀降温T0时的温度应力。时的温度应力。即转化为（即转化为（b）图所示受到均布压力作用时的应）图所示受到均布压力作用时的应力分量，再叠加一个相同的正应力：力分量，再叠加一个相同的正应力：即得（即得（a）问题的解答。）问题的解答。（a）（b）第二十七页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.4 按位移求解温度应力的平面问题（4）另一种解法另一种解法：引入位移势函数：引入位移势函数直接求解微分方程（直接求解微分方程（6-18），并使），并使u,v满足边界条件。满足边界条件

20、。解题思路解题思路：（6-18）为非齐次偏微分方程组，其解答包括两部为非齐次偏微分方程组，其解答包括两部分：特解分：特解+通解，且满足边界条件。通解，且满足边界条件。（6-18）第二十八页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.4 按位移求解温度应力的平面问题满足（满足（6-18）的特解）的特解引入位移势函数引入位移势函数 ，取位移解为：，取位移解为：满足（满足（6-18），即可作为一组特解。），即可作为一组特解。(6-21)可证明，当可证明，当 满足满足 (6-22)第二十九页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.4 按位移求解温度应力的平面问题将式将式(6-21)和式

21、和式(6-22)代入式代入式(6-17)，可得到用位移势函数表示的相，可得到用位移势函数表示的相应于位移特解的应力分量：应于位移特解的应力分量：可以不满足应力边界条件，但与位移通解对应的应力分量叠加后可以不满足应力边界条件，但与位移通解对应的应力分量叠加后应满足应力边界条件。应满足应力边界条件。（6-17）(6-23)第三十页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.4 按位移求解温度应力的平面问题相应齐次方程（即不考虑变温相应齐次方程（即不考虑变温T作用）的通解作用）的通解求出相应的位移通解求出相应的位移通解 ，代入（，代入（6-17）（）（T=0），即可求），即可求得相应的应力分量

22、：得相应的应力分量：相应于（相应于（2-20），且），且X=Y0（2-20）第三十一页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.4 按位移求解温度应力的平面问题全解全解则总的位移分量为：则总的位移分量为：总的应力分量为：总的应力分量为：满足位移边界条件满足位移边界条件 满足应力边界条件满足应力边界条件因因 求解较困难，所以对于应力边界问题，可采用按应力求解较困难，所以对于应力边界问题，可采用按应力求解方法求求解方法求 ，即引入应力函数，即引入应力函数 ，则：，则：第三十二页，讲稿共四十二页哦第六章 温度应力平面问题概论6.4 按位移求解温度应力的平面问题对于对于 平面应变问题，只须作变

23、换：平面应变问题，只须作变换：此时：此时：第三十三页，讲稿共四十二页哦例：例：图示矩形薄板，发生如下变温：图示矩形薄板，发生如下变温：其中：其中：T0 为常数。试求其应力分布。为常数。试求其应力分布。解：解：（1）由方程（）由方程（6-22）求位移势函数）求位移势函数 求特解求特解（6-22）（a）取位移势函数取位移势函数为为（b）代入式（代入式（a），可确定常数），可确定常数A、B两边比较系数，得常数两边比较系数，得常数A、B将常数将常数A、B代回式（代回式（b）,有有求特解应力分量：求特解应力分量：第三十四页，讲稿共四十二页哦求特解应力分量：求特解应力分量：（6-23）得到：得到：（c）相

24、应的应力分布如图。相应的应力分布如图。（2）满足方程（）满足方程（6-18）的通解）的通解 为满足无面力边界条件，在边界上为满足无面力边界条件，在边界上加与上述特相反的面力，如图。加与上述特相反的面力，如图。第三十五页，讲稿共四十二页哦（2）满足方程（）满足方程（6-18）的通解）的通解 为满足无面力边界条件，在边界上加与为满足无面力边界条件，在边界上加与上述特解相反的面力，如图。上述特解相反的面力，如图。把由此引起的应力作为补充解：把由此引起的应力作为补充解：该问题中，当该问题中，当a、b大小相差不大时，其精确大小相差不大时，其精确解难于求得，通常由数值方法求解。解难于求得，通常由数值方法求

25、解。而当而当 a b 时，矩形板的左右边界成次要时，矩形板的左右边界成次要边界，可圣维南原理近似满足其边界条件。此时边界，可圣维南原理近似满足其边界条件。此时可取应力函数：可取应力函数：可得相应于补充解的应力分量为：可得相应于补充解的应力分量为：把特解应力与补充解的应力叠加得：把特解应力与补充解的应力叠加得：的应力边界条件。的应力边界条件。第三十六页，讲稿共四十二页哦把特解应力与通解的应力叠加得：把特解应力与通解的应力叠加得：边界条件：边界条件：显然，后三个边界条件是满足的，而第一个边显然，后三个边界条件是满足的，而第一个边界不能满足。界不能满足。借助于圣维南原理，应有借助于圣维南原理，应有（

26、d）将式（将式（d）代入计算，得）代入计算，得（3）将特解与通解叠加，以满足边界条件）将特解与通解叠加，以满足边界条件第三十七页，讲稿共四十二页哦可求得：可求得：代回应力表达式，有代回应力表达式，有应力分布如图。应力分布如图。第三十八页，讲稿共四十二页哦温度应力问题求解步骤小结：温度应力问题求解步骤小结：（1）由温度场的条件，确定由温度场的条件，确定温变函数温变函数 T（2）由式（由式（6-22）求解位移势函数）求解位移势函数（6-22）进一步由式（进一步由式（6-23）求特解对应的应力：）求特解对应的应力：（6-23）（3）不计温变不计温变T，求满足方程（，求满足方程（6-18）的补充解（位

27、移）或对应的应力。）的补充解（位移）或对应的应力。第三十九页，讲稿共四十二页哦（3）不计温变不计温变T，求满足方程（，求满足方程（6-18）的补充解（位移）或对应的应力。）的补充解（位移）或对应的应力。（6-24）或由应力函数法，求补充解对应的力（一般如此）。或由应力函数法，求补充解对应的力（一般如此）。第四十页，讲稿共四十二页哦（4）其其应力边界条件，可由特解在边界上给出的面力加以负号来确定。应力边界条件，可由特解在边界上给出的面力加以负号来确定。即，即，把特解求得的边界面力加以负号作为补充解的边界条件。把特解求得的边界面力加以负号作为补充解的边界条件。（6-24）叠加特解与补充解两部分应力

28、（或位移），使其满足问题实际的边界条叠加特解与补充解两部分应力（或位移），使其满足问题实际的边界条件。件。第四十一页，讲稿共四十二页哦6.5 按应力求解温度应力的平面问题第六章 温度应力平面问题概论6.5 按应力求解温度应力的平面问题（1）基本微分方程的推导）基本微分方程的推导以平面应力问题为例，将物理方程（以平面应力问题为例，将物理方程（6-16）代入上式，利用平衡）代入上式，利用平衡微分方程进行简化，得相容方程：微分方程进行简化，得相容方程：由几何方程求得形变协调方程：由几何方程求得形变协调方程：按应力求解温度应力问题时的基本方按应力求解温度应力问题时的基本方程程对于对于 平面应变问题，只须作变换：平面应变问题，只须作变换：第四十二页，讲稿共四十二页哦