数学物理方法格林函数课件.ppt

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1、数学物理方法格林函数第1页，此课件共39页哦一、一、格林公式格林公式上具有连续一阶导数上具有连续一阶导数,在区域在区域 及其边界及其边界 和和 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理(12.1.1)将对曲面将对曲面 的积分化为体积分的积分化为体积分 12.1 泊松方程的格林函数法泊松方程的格林函数法第2页，此课件共39页哦以上用到公式以上用到公式称上式为称上式为第一格林公式第一格林公式同理有同理有 上述两式相减得到上述两式相减得到 第3页，此课件共39页哦表示沿边界表示沿边界 的外法向偏导数的外法向偏导数称为称为第二格林公式第二格林公式进一步改写为

2、进一步改写为第4页，此课件共39页哦二、泊松方程的格林函数法二、泊松方程的格林函数法1、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题 泊松方程泊松方程 边值条件边值条件 是区域边界是区域边界 上给定的函数上给定的函数.是第一、第二、第三类边界条件的统一描述是第一、第二、第三类边界条件的统一描述 第5页，此课件共39页哦典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题 表示边界面表示边界面 上沿界面外法线方向的偏导数上沿界面外法线方向的偏导数 泊泊松松方方程程第一类边界条件：第一边值问题第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题狄

3、里希利问题)第二类边界条件：第二边值问题第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题诺依曼问题)第三类边界条件：第三边值问题第三类边界条件：第三边值问题第6页，此课件共39页哦2、格林函数的引入及其物理意义、格林函数的引入及其物理意义 引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定义一个引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数与此定解问题相应的格林函数 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：件：代表三维空间变量的代表三维空间变量的 函数函数，在直角坐标系中其形式为，在直角坐标系中其形式为 第7页，此

4、课件共39页哦格林函数的物理意义格林函数的物理意义：在区域在区域T内部内部 处放置一个单位正电荷，而该区域处放置一个单位正电荷，而该区域T的界面的界面上为零上为零,那么该点电荷在区域那么该点电荷在区域T内内r处产生的电势，由此可以处产生的电势，由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数 第8页，此课件共39页哦 格林函数互易定理格林函数互易定理：因为格林函数因为格林函数 代表代表 处的点源在处的点源在 处所产生的影响（或所产生的场）处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离所以它只能是距离 的函数的函数,故它应该遵守如下的互易定理：故

5、它应该遵守如下的互易定理：第9页，此课件共39页哦根据格林第二公式根据格林第二公式 令令得到得到 第10页，此课件共39页哦根据根据函数性质有：函数性质有：故有故有 称为称为泊松方程的基本积分公式泊松方程的基本积分公式 格林函数满足互易定理格林函数满足互易定理 并利用格林函数的对称性则得到并利用格林函数的对称性则得到 第11页，此课件共39页哦考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下：1.第一类边值问题：第一类边值问题：相应的格林函数相应的格林函数是下列问题的解：是下列问题的解：考虑到格林函数的考虑到格林函数的齐次边界条件齐次边界条件，第一类边值问题的解第一类边

6、值问题的解另一形式的另一形式的第一类边值问题的解第一类边值问题的解 第12页，此课件共39页哦2.第二类边值问题第二类边值问题 相应的格林函数相应的格林函数是下列问题的解：是下列问题的解：由公式可得由公式可得第二类边值问题解第二类边值问题解 第13页，此课件共39页哦3.第三类边值问题第三类边值问题 相应的格林函数相应的格林函数是下列问题的解：是下列问题的解：泊松方程的泊松方程的边值条件边值条件，两边同乘以格林函，两边同乘以格林函第14页，此课件共39页哦格林函数的边值条件的两边同格林函数的边值条件的两边同乘以乘以函数函数得得 相减得相减得到到代入（代入（14.2.9）得到）得到第三类边值问题

7、的解第三类边值问题的解 (14.2.20)利用利用格林函数的互易性格林函数的互易性则则得到得到(14.2.21)第15页，此课件共39页哦这就是第三边值问题解的积分表示式这就是第三边值问题解的积分表示式右边第一个积分表示区域右边第一个积分表示区域 中分布的源中分布的源 在在点产生的场的总和点产生的场的总和.第二个积分则代表边界上的状况对第二个积分则代表边界上的状况对 点场的影响的总和两项积分中的格林函数相同这说明泊点场的影响的总和两项积分中的格林函数相同这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场 对于对于拉普拉斯方程拉普拉斯方程

8、 第一边值问题的解为第一边值问题的解为第三边值问题的解第三边值问题的解为为第16页，此课件共39页哦12.2无界空无界空间的格林函数的格林函数基本解基本解无界区域这无界区域这种情形公式中的种情形公式中的面积分应为零，面积分应为零，故有故有 选取选取和和分别满足下列方程分别满足下列方程 第17页，此课件共39页哦 三三维球球对称称对于对于三维球对称情形三维球对称情形，我们选取，我们选取 对上式两边在球内积分对上式两边在球内积分 （14.3.4）（14.3.5）利用高斯定理利用高斯定理（14.1.1）得到）得到 (14.3.6)第18页，此课件共39页哦 故有故有 使上式恒成立使上式恒成立，有，有

9、 因此因此，,故得到故得到 第19页，此课件共39页哦对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为 （14.3.7）代入代入（14.3.1）得到）得到三维无界区域问题的解为三维无界区域问题的解为 （14.3.8）上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式 第20页，此课件共39页哦二二维轴对称情形称情形用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即因为因为由于由于 只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的圆柱

10、体上、下底的面积分为零面积分为零，只剩下沿，只剩下沿侧面的积分侧面的积分，即，即 第21页，此课件共39页哦选取的选取的圆柱的高度圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果为单位长，则很容易得到下面的结果 令令积分常数为积分常数为0，得到得到 因此二维轴对称情形的格林函数为因此二维轴对称情形的格林函数为 （14.3.9）将（将（14.3.9）代入式（）代入式（14.3.1）得到）得到二维无界区域的解二维无界区域的解为为第22页，此课件共39页哦 用电像法确定格林函数用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身如何确定格林函数本身 一个

11、具体的定解问题，一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法 电像法电像法 考虑一个具体的考虑一个具体的物理模型：设物理模型：设在一接地导体球内的在一接地导体球内的 放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零 点点第23页，此课件共39页哦对于对于第一类边值问题第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解，其格林函数可定义为下列定解问题的解 为了满足边界条件：电势为零，所以还

12、得在为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或对称边界外像点（或对称点）点）放置放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零生的电势之和为零 这方法是基于这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我，所以我们称这种构建方法为们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）电像法（也称为镜像法）第24页，此课件共39页哦 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型：物理模型：若在若在 处

13、放置一处放置一正单位点电荷正单位点电荷 则虚设的则虚设的负负单位点电荷单位点电荷应该在应该在 于是得到这两点于是得到这两点电荷电荷在在 xoy 的上半平面的的上半平面的电位分布电位分布也就是也就是本问题的格林函数，即为本问题的格林函数，即为 （14.4.2）第25页，此课件共39页哦据上述据上述物理模型物理模型可求解下列定解问题可求解下列定解问题 例例14.6.1 定解问题：定解问题：【解】【解】根据根据第一边值问题第一边值问题，构建的格林函数满足，构建的格林函数满足 处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）构构建格林函数为建格林函数为 第26页，此课件

14、共39页哦边界外法线方向为负边界外法线方向为负轴，故有轴，故有 代入到代入到拉普拉斯第一边值问题拉普拉斯第一边值问题解的公式（解的公式（14.2.13），拉普拉斯方程），拉普拉斯方程的的自由项自由项,则由则由得得 (14.4.3)第27页，此课件共39页哦或代入或代入拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的第一边值问题第一边值问题的解公式（的解公式（14.2.2214.2.22）得到得到 (14.4.4)公式（公式（14.4.3）或（）或（14.4.4）称为）称为 上半平面的拉普拉斯积分公式上半平面的拉普拉斯积分公式第28页，此课件共39页哦2.泊松方程的第一边值问题求解泊松方程的第一边值问题求解 例例1

15、4.6.2 定解问题：定解问题：根据根据第一类边值问题的解公式第一类边值问题的解公式(14.2.14)(14.2.14)得到得到 （14.4.514.4.5）第29页，此课件共39页哦根据根据半平面区域第一类边值问题的格林函数半平面区域第一类边值问题的格林函数(14.4.2)式式，得到，得到 (14.4.6)因为边界上的法线为负因为边界上的法线为负y轴，故轴，故 (14.4.7)将（将（14.4.6）和）和(14.4.7)代入（代入（14.4.5）得到泊松方程在）得到泊松方程在半平面区域半平面区域第一边值问题的解第一边值问题的解第30页，此课件共39页哦14.4.2 上半空间内求解拉普拉斯方程

16、的第一边值问题上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题物理模型物理模型:第31页，此课件共39页哦例例14.4.3 在在上半空间上半空间内求解拉普拉斯方程的内求解拉普拉斯方程的第一边值问题第一边值问题【解解】构建格林函数】构建格林函数满足满足第32页，此课件共39页哦根据根据物理模型和无界区域的格林函数物理模型和无界区域的格林函数可以构建为可以构建为(14.4.8)即有即有 第33页，此课件共39页哦为了把为了把代入代入拉普拉斯拉普拉斯第一边值问题第一边值问题的解的公式（的解的公式（14.2.22），），需要先计算需要先计算即为即为 第34页，此课件共39页哦代入代入（14.2.22）即得到）

17、即得到 这公式叫作这公式叫作半空间的拉普拉斯积分半空间的拉普拉斯积分（14.4.9）第35页，此课件共39页哦14.4.3 圆形区域第一边值问题的格林函数构建圆形区域第一边值问题的格林函数构建物理模型【物理模型【2】：】：在圆内任找一点在圆内任找一点 放置一个单位放置一个单位第36页，此课件共39页哦根据图根据图14.2，这两线电荷在圆内任一观察点，这两线电荷在圆内任一观察点所产生的所产生的电势电势为为当观察点当观察点位于圆周上位于圆周上时，应该有时，应该有，即满足，即满足第一类齐次边值条件第一类齐次边值条件 ,即为即为第37页，此课件共39页哦上式应对任何上式应对任何值成立，所以上式对值成立，所以上式对的的导数应为零导数应为零，即，即即得到即得到 要求上式对要求上式对任意任意的的值要成立，故提供了确定值要成立，故提供了确定的方程的方程第38页，此课件共39页哦 联立解得联立解得 于是圆形区域于是圆形区域的第一类边值问题的格林函数为的第一类边值问题的格林函数为 （14.4.10）即为即为 (14.4.11).其中其中第39页，此课件共39页哦