中考数学专题：二次函数中的圆的综合问题(解析版).docx

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1、专题26 二次函数中的圆的综合问题1、如图，抛物线yax22ax+m的图象经过点P（4，5），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且SPAB10（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点Q使得PAQ和PBQ的面积相等？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过A、P、C三点的圆与抛物线交于另一点D，求出D点坐标及四边形PACD的周长【答案】（1）yx22x3；（2）点Q的坐标为：（2，5）或（，）；（3）6+4【思路引导】（1）因为抛物线yax22ax+m，函数的对称轴为：x1，SPAB10×AB×yPAB×5，解得AB=

2、4，即可求解；（2）分A、B在点Q（Q）的同侧；点A、B在点Q的两侧两种情况，分别求解即可；（3）过点P作POx轴于点O，则点O（4，0），则AOPO5，而CO5，故圆O是过A、P、C三点的圆，即可求解【详解】解：（1）yax22ax+m，函数的对称轴为：x1，SPAB10×AB×yPAB×5，解得：AB4，故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3），将点P的坐标代入上式并解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）当A、B在点Q（Q）的同侧时，如图1，PAQ和PBQ的面积相等，则点P、Q关于对称轴对称，故点Q

3、（2，5）；当A、B在点Q的两侧时，如图1，设PQ交x轴于点E，分别过点A、B作PQ的垂线交于点M、N，PAQ和PBQ的面积相等，则AMBN，而BENAEM，AMEBNE90°，AMEBNE（AAS），AEBE，即点E是AB的中点，则点E（1，0），将点P、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PQ的表达式为：yx，联立并解得：x或4（舍去4），故点Q（，），综上，点Q的坐标为：（2，5）或（，）；（3）过点P作POx轴于点O，则点O（4，0），则AOPO5，而CO5，故圆O是过A、P、C三点的圆，设点D（m，m22m3），点O（4，0），则DO5，即（m4）2+（m22m3）225

4、，化简得：m（m+1）（m1）（m4）0，解得：m0或1或1或4（舍去0，1，4），故：m1，故点D（1，4）；四边形PACD的周长PA+AC+CD+PD【方法总结】本题考查了二次函数与三角形面积、三点共圆、四边形的周长、长度公式，综合性较强，灵活运用二次函数的知识是解题的关键.2、已知抛物线yx2+mx2m4（m0）（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在P上试判断：不论m取任何正数，P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；若点C关于直线x=m2的对称点为点E

5、，点D（0，1），连接BE，BD，DE，BDE的周长记为l，P的半径记为r，求lr的值【答案】（1）证明见解析；（2）定点F的坐标为（0，1）；10+655【解析】（1）令y0，则x2+mx2m40，m242m4m2+8m+16，m0，0，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y0，则x2+mx2m40，（x2）x+（m+2）0，x2或x（m+2），A（2，0），B（m+2），0），OA2，OBm+2，令x0，则y2（m+2），C（0，2（m+2），OC2（m+2），通过定点（0，1）理由：如图，点A，B，C在P上，OCBOAF，在RtBOC中，tanOCB=OBOC=m+22（m+2）=

6、12，在RtAOF中，tanOAF=OFOA=OF2=12，OF1，点F的坐标为（0，1）；如图1，由知，点F（0，1）D（0，1），点D在P上，点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，DCE90°，DE是P的直径，DBE90°，BEDOCB，tanBED=12，设BDn，在RtBDE中，tanBED=BDBE=nBE=12，BE2n，根据勾股定理得：DE=BD2+BE2=5n，lBD+BE+DE（3+5）n，r=12DE=52n，lr=（3+5）n52n=10+6553、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(8,0)，B点坐标为(2,0)，以AB为直径的圆P与y轴

7、的负半轴交于点C（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与P的关系，并说明理由【答案】（1）14x2+32x4；（2）直线MC与P相切，理由见解析【解析】解：（1）连接AC、BC；AB是P的直径，ACB=90°，即ACO+BCO=90°，BCO+CBO=90°，CBO=ACO，AOC=BOC=90°，AOCCOB，AOOC=OCOB，OC2=OA·OB=16，OC=4，故C(0，4)，设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x2)，代入C点坐标得：a(0+8)(02)=4，a=14，故抛物线的

8、解析式为：y=14(x+8)(x2)=14x2+32x4；(2)由(1)知：y=14x2+32x4=14(x+3)2254；则M(3，254)，又C(0，4)，P(3，0)，MP=254，PC=5，MC=154，MP2=MC2+PC2，即MPC是直角三角形，且PCM=90°，故直线MC与P相切4、已知抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（3，0），过点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0），连接CD（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点Q，使得CD平分ACQ，请求出点Q的坐标；（3）在直线CD的下方的抛物线上取一点N，过点N作NGy轴交CD于

9、点G，以NG为直径画圆在直线CD上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿CAD运动，在线段CD上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）直线CE的表达式为y=43x43；（2）点Q的坐标为（13，89）；（3）弦GH的最大值81580；（4）存在，t的值为3或7【解析】解：（1）抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（3，0），a+b49a3b0 ，解得：a=1,b=3,抛物线的表达式为y=x2+3x（2）当y=4时，有x2+3x=4，解得：x1=4，x2=1，点C的坐标

10、为（4，4），AC=1（4）=5A（1，4），D（4，0），AD=5取点E（1，0），连接CE交抛物线于点Q，如图1所示AC=5，DE=4（1）=5，ACDE，四边形ACED为平行四边形，AC=AD，四边形ACED为菱形，CD平分ACQ设直线CE的表达式为y=mx+n（m0），将C（4，4）、E（1，0）代入y=mx+n，得：4m+n4m+n0 ，解得：m=43n=43，直线CE的表达式为y=43x43联立直线CE与抛物线表达式成方程组，得：y=43x43y=x2+3x ，解得：x1=4y1=4,x2=13y2=89 ，点Q的坐标为（13，89）（3）设直线CD的表达式为y=kx+c（k0），

11、将C（4，4）、D（4，0）代入y=kx+c，得：4k+c44k+c0 ，解得：k=12c=2 ，直线CD的表达式为y=12x+2设点N的坐标为（x，x2+3x），则点G的坐标为（x，12x+2），NG=12x+2（x2+3x）=x272x+2=（x+74）2+8116，10，当x=74时，NG取最大值，最大值为8116以NG为直径画O，取GH的中点F，连接OF，则OFBC，如图2所示直线CD的表达式为y=12x+2，NGy轴，OFBC，tanGOF=GFO'F=12，GFO'G=112+22=55，GH=2GF=255 OG=55NG，弦GH的最大值为55×8116

12、=81580（4）取点E（1，0），连接CE、AE，过点E作EP1AC于点P1，交CD于点M1，过点E作EP2AD于点P2，交CD于点M2，如图3所示四边形ACED为菱形，点A、E关于CD对称，AM=EMACx轴，点A的坐标为（1，4），EP1=4由菱形的对称性可知EP2=4点E的坐标为（1，0），点P1的坐标为（1，4），CP1=DP2=1（4）=3，又AC=AD=5，t的值为3或75、如图1，二次函数yax22ax3a（a0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C求抛物线的

13、函数关系式；如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将OBE绕平面内某一点旋转180°，得到PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MFx轴于点F，若线段MF：BF1：2，求点M、N的坐标；点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标【答案】（1）（1，4a）；（2）y=x2+2x+3；M（，）、N（，）；点Q的坐标为（1，4+2）或（1，42）【思路引导】（1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标（2）以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出ACD

14、是个直角三角形，且ACD90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值将OBE绕平面内某一点旋转180°得到PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PMOB1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF2MF作为等量关系进行解答即可设Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出CDQ45°，那么QGD为等腰直角三角形，即QD ²2QG ²2QB ²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD

15、、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标【解析】（1）y=ax22ax3a=a（x1）24a，D（1，4a）（2）以AD为直径的圆经过点C，ACD为直角三角形，且ACD=90°；由y=ax22ax3a=a（x3）（x+1）知，A（3，0）、B（1，0）、C（0，3a），则：AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a0，得：a=1，a=1，抛物线的解析式：y=x2+2x+3，D（1，4）将OBE绕平面内某一点旋转180°得到PMN，PMx轴，且PM=

16、OB=1；设M（x，x2+2x+3），则OF=x，MF=x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；BF=2MF，x+1=2（x2+2x+3），化简，得：2x23x5=0解得：x1=1（舍去）、x2=.M（，）、N（，）设Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CHQD于H，如下图：C（0，3）、D（1，4），CH=DH=1，即CHD是等腰直角三角形，QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；设Q（1，b），则QD=4b，QG2=QB2=b2+4；得：（4b）2=2（b2+4），化简，得：b2+8b8=0，解得：b=4±2；即点Q的坐标为（1，）或（1，）【方法总结】此题主要考查

17、了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD和Q半径间的数量关系是解题题目的关键6、已知二次函数yx2bxc1.(1)当b1时，求这个二次函数的对称轴的方程；(2)若cb22b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切；(3)如图所示，若二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴l与x轴，直线BM，直线AM分别相交于点D，E，F，且满足，求二次函数的表达式解： (1)二次函数的对称轴为x，a1，b

18、1，x；(2)与x轴相切就是与x轴只有一个交点，即x2bxb22b10有相等的实数根，b24×(1)×08b40，解得b，即b时，函数图象与x轴相切；(3)AB是半圆的直径，AMB90°，OAMOBM90°，AOMMOB90°，OAMOMA90°，OMAOBM，OAMOMB，OM2OA·OB，二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，OAx1，OBx2，x1·x2(c1)，OMc1，(c1)2c1，解得c0或1(舍去)，c0，OM1，yx2bx1，x1·x21，x1x2b，设A(m，0)(

19、m0)，则B(，0)，b，对称轴为x，yAM经过点A(m，0)，M(0，1)，yAMx1，yBM经过点B(，0)，M(0，1)，yBMmx1，xE，yE，DE，xF，yF， ，m2(m0)，解得m，b，yx2x1.7、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc与M相交于A，B，C，D四点，其中A，B两点坐标分别为(1，0)，(0，2)，点D在x轴上且AD为M的直径，E是M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FHAD于点H，且FH1.5.(1)求点D的坐标及抛物线的表达式；(2)若P是x轴上的一个动点，试求出PEF的周长最小时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QCM是等

20、腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1)如答图，连结MB，设M的半径为r.A(1，0)，B(0，2)，在RtOMB中，OB2，OMr1，由勾股定理，得22(r1)2r2.r.AD5.点D的坐标是(4，0)抛物线yax2bxc过点A(1，0)，B(0，2)，D(4，0)，解得抛物线的表达式为yx2x2；第2题答图(2)如答图，连结BF，与x轴相交于点P，则点P即为所求连结MF.在MFH中，MF2.5，FH1.5，MH2.OH3.5.由题意，得POBPHF，.即.OP2.PEF的周长最小时，点P的坐标是(2，0)(3)存在Q1，Q2，Q3，Q4.8、如图所示，对称

21、轴为直线x2的抛物线yx2bxc与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(1，0)(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出B，C两点的坐标；(3)求过O，B，C三点的圆的面积(结果用含的代数式表示)解：(1)由A(1，0)，对称轴为x2，可得解得抛物线表达式为yx24x5；(2)由A点坐标为(1，0)，且对称轴方程为x2，可知AB6，OB5，B点坐标为(5，0)，第3题答图yx24x5，C点坐标为(0，5)；(3)如答图，连结BC，则OBC是直角三角形，过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，在RtOBC中，OBOC5，BC5，圆的半径为，S.9、如图所示，已知抛物线yax2bx

22、c(a0)的图象的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)直线yx1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，C与直线m交于对称轴右侧的点M(t，1)直线m上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的表达式；(2)证明：C与x轴相切；(3)过点B作BEm，垂足为E，再过点D作DFm，垂足为F.求BEMF的值解： (1)设抛物线顶点式为ya(xh)2k，抛物线的顶点坐标是(2，1)，ya(x2)21，又抛物线经过点(4，2)，2a(42)21，解得a，抛物线的表达式y(x2)21x2x2.(2)证明：联立消去y，整理得x26x40，解得x13，x23，代入直线方程，解得y1，y2，B

23、，D，点C是BD的中点，点C的纵坐标为，利用勾股定理，可算出BD5，即半径R，即圆心C到x轴的距离等于半径R，C与x轴相切(3)法一：如答图，连结BM和DM，BD为直径，BMD90°，BMEDMF90°，又BEm于点E，DFm于点F，BMEMDF，BMEMDF，即，代入得，化简得(t3)24，解得t5或1，点M在对称轴右侧，t5，. 法二：如答图，过点C作CHm，垂足为H，连结DM，由(2)知CMR，CHR1，由勾股定理，得MH2，HF，MFHFMH2，又BEy11，. 第4题答图 第4题答图10、如图所示，已知抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于A(3，0)，B两点，与

24、y轴交于点C.抛物线的对称轴是直线x1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)求证：直线DE是ACD外接圆的切线；(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P，使SPACSACD，求点P的坐标；(4)在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与ACD相似，直接写出点M的坐标【解析】 (1)利用点A(3，0)及对称轴是直线x1即可求解；(2)先证明ACD是直角三角形，再证明ADE90°；(3)设P(t，t22t3)先求出ACD的面积，再用含t的式子表示PAC的面积，最后解方程求得t的值，从而得到点P的坐标；(4)ACD是直角三角形

25、，BCM也为直角三角形，分B为直角顶点，C为直角顶点，M为直角顶点三种情形求解解：(1)把A(3，0)代入yax2bx3，得09a3b3.抛物线的对称轴为x1.1.解组成的方程组，得a1，b2.抛物线的表达式为yx22x3.yx22x3(x1)24，D的坐标是(1，4)(2)证明：在yx22x3中，当x0时，y3.C(0，3)，OC3.A(3，0)，OA3.在OAC中，由勾股定理得AC218.如答图，过点D作DFy轴，垂足为点F，则DF4，AF2.在ADF中，同理可求AD220.过点D作DGy轴，垂足为点G，则DG1，CG1.在CDG中，同理可求CD22.AC2CD218220，AC2CD2A

26、D2.ACD是直角三角形，且ACD90°.AD是ACD外接圆的直径CGDG1，DGy轴，GCD45°.第5题答图过点E作EHCD，垂足为点H.则EHCH.CD22，AC218，CD，AC3.DH.在DEH中，tanEDH.在ACD中，tanDAC.EDHDAC.ACD90°，DACADC90°.EDHADC90°，即ADE90°.ADDE.DE是ACD外接圆的切线 (3)CD，AC3.SACDAC·CD3.设直线AC的函数表达式为ymxn.把A(3，0)，C(0，3)代入，得 解得m1，n3.直线AC的函数表达式为yx3.第

27、5题答图设P(t，t22t3)，如答图，过点P作PKy轴交AC于点K，交x轴于点Q.K(t，t3)PKt22t3(t3)t23t.SPACSPCKSPAKPK·OQPK·AQPK(OQAQ)PK·OA(t23t)×3t2t.SPACSACD，t2t，解得t1，t2.当t时，t22t3；当t时，t22t3.P或.第5题答图(4)，(9，0)，(0，0)提示：ACD是直角三角形，ACD与BCM相似，BCM是直角三角形抛物线的对称轴是直线x1，A(3，0)，B(1，0)，OB1.连结BC.，又ACDBOC，ACDCOB.BCM与COB相似当点B为直角顶点时，如答图，过点B作BM1BC交x轴于点M1.CBOOBM190°.BOC90°，CBOOCB90°.第5题答图 OBM1OCB.又COBBOM190°，OBCOM1B.，即.OM1.M1.当点C为直角顶点时，如答图，过点C作CM2BC交x轴于点M2.同理可求OM29.M2(9，0)第5题答图当点M为直角顶点时，如答图，以BC为直径作N.BOC90°，点O在N上，此时点M3在点O处，即M3(0，0)综上所述，点M的坐标为，(9，0)，(0，0)