现代控制论基础幻灯片.ppt

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1、现代控制论基础现代控制论基础第1页，共123页，编辑于2022年，星期日第第3 3章章 控制系统的状态空间分析控制系统的状态空间分析3.1 线性系统能控性和能观测性的概述3.2 线性连续系统的能控性3.3 线性连续系统的能观测性3.4 线性离散系统的能控性和能观测性3.5 对偶性原理3.6 系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系3.7 系统的能控标准形和能观测标准形3.8 实现问题第2页，共123页，编辑于2022年，星期日3.1线性系统能控性和能观测性的概述 系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个很系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个很系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个很

2、系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个很重要的基础性概念，是由卡尔曼（重要的基础性概念，是由卡尔曼（重要的基础性概念，是由卡尔曼（重要的基础性概念，是由卡尔曼（KalmanKalman）在六十年代）在六十年代）在六十年代）在六十年代初提出的。现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上，初提出的。现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上，初提出的。现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上，初提出的。现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上，状态方程描述了输入状态方程描述了输入状态方程描述了输入状态方程描述了输入u u(t t)引起状态引起状态引起状态引起状态x x(t t)的变化过程的

3、变化过程的变化过程的变化过程；输出方输出方输出方输出方程则描述了由状态程则描述了由状态程则描述了由状态程则描述了由状态x x(t t)变化引起的输出变化引起的输出变化引起的输出变化引起的输出y y(t t)的变化的变化的变化的变化。能控性能控性能控性能控性，指的是控制作用对被控系统状态进行控制，指的是控制作用对被控系统状态进行控制，指的是控制作用对被控系统状态进行控制，指的是控制作用对被控系统状态进行控制的可能性；的可能性；的可能性；的可能性；能观测性能观测性能观测性能观测性，则反映由系统输出的量测值确定系统状，则反映由系统输出的量测值确定系统状，则反映由系统输出的量测值确定系统状，则反映由系

4、统输出的量测值确定系统状态的可能性。态的可能性。态的可能性。态的可能性。对状态的控制能力和测辨能力两个方面，揭示了控制对状态的控制能力和测辨能力两个方面，揭示了控制对状态的控制能力和测辨能力两个方面，揭示了控制对状态的控制能力和测辨能力两个方面，揭示了控制系统构成中的两个基本问题。系统构成中的两个基本问题。系统构成中的两个基本问题。系统构成中的两个基本问题。3第3页，共123页，编辑于2022年，星期日3.2线性连续系统的能控性3.2.1 3.2.1 状态状态状态状态能控性能控性能控性能控性 定义：定义：定义：定义：若系统若系统若系统若系统 (A A(t t)，B B(t t)对初始时刻对初始

5、时刻对初始时刻对初始时刻t t00，存在另一时，存在另一时，存在另一时，存在另一时刻刻刻刻t tff（t tff t t00），对），对），对），对t t00时刻的初始状态时刻的初始状态时刻的初始状态时刻的初始状态x x(t t00)=)=x x00，可以找到一，可以找到一，可以找到一，可以找到一个允许控制个允许控制个允许控制个允许控制u u(t t)，能在有限时间，能在有限时间，能在有限时间，能在有限时间t tff t t00内把系统从初态内把系统从初态内把系统从初态内把系统从初态x x(t t00)转转转转移至任意指定的终态移至任意指定的终态移至任意指定的终态移至任意指定的终态x x(t

6、tff)，那么就称，那么就称，那么就称，那么就称系统在系统在系统在系统在t t00时刻的状态时刻的状态时刻的状态时刻的状态x x(t t00)是能控的是能控的是能控的是能控的。若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那。若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那。若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那。若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么就称系统在（么就称系统在（么就称系统在（么就称系统在（t t00，t tff）时间间隔内是状态完全能控的，简）时间间隔内是状态完全能控的，简）时间间隔内是状态完全能控的，简）时间间隔内是状态完全能控的，简称状态能控的或能控系统。称状态能控的或能控系统。称状

7、态能控的或能控系统。称状态能控的或能控系统。若系统存在某一个状态若系统存在某一个状态若系统存在某一个状态若系统存在某一个状态x x(t t00)不满足上述条件，则此不满足上述条件，则此不满足上述条件，则此不满足上述条件，则此系统称为不能控系统。系统称为不能控系统。系统称为不能控系统。系统称为不能控系统。4第4页，共123页，编辑于2022年，星期日 说明：说明：（1 1）根据定义，如果系统在（）根据定义，如果系统在（t0，t1）时间间）时间间隔内完全能控，那么对于隔内完全能控，那么对于t2 t1，该系统在（，该系统在（t0，t2）时间间隔内也一定完全能控。）时间间隔内也一定完全能控。（2 2）

8、如果在系统的状态方程右边迭加一项不如果在系统的状态方程右边迭加一项不依赖于控制依赖于控制u(t)的扰动的扰动f(t)，那么，只要，那么，只要f(t)是绝对是绝对可积函数，就不会影响系统的能控性。可积函数，就不会影响系统的能控性。5第5页，共123页，编辑于2022年，星期日3.2.2 线性线性定常系统的状态定常系统的状态能控性能控性 定理定理定理定理3-13-1 线性定常连续系统线性定常连续系统线性定常连续系统线性定常连续系统 (A A，B B)其状态完全能控其状态完全能控其状态完全能控其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵的充要条件是其能控性矩阵的充要条件是其能控性矩阵的充要条件是其能控性矩

9、阵QQcc=B AB AB AB A22B AB Ann 11B B 的秩为的秩为的秩为的秩为n n，即，即，即，即 rankrankQQcc=n n 证明证明证明证明 已知状态方程的解为已知状态方程的解为已知状态方程的解为已知状态方程的解为 在在在在以以以以下下下下讨讨讨讨论论论论中中中中，不不不不失失失失一一一一般般般般性性性性，可可可可设设设设初初初初始始始始时时时时刻刻刻刻为为为为零零零零，即即即即t t0 0=0=0以及终端状态为状态空间的原点，即以及终端状态为状态空间的原点，即以及终端状态为状态空间的原点，即以及终端状态为状态空间的原点，即x x(t tf f)=0)=0。则有。则

10、有。则有。则有6第6页，共123页，编辑于2022年，星期日因因因因t tf f 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令 利用凯莱利用凯莱利用凯莱利用凯莱-哈密尔顿（哈密尔顿（哈密尔顿（哈密尔顿（Cayley-HamiltonCayley-Hamilton）定理）定理）定理）定理e e e e A AA A =0 00 0()I I+1 11 1()A A+nn 1 11 1()A A nn 1 11 17第7页，共123页，编辑于2022年，星期日

11、 若若若若系系系系统统统统是是是是能能能能控控控控的的的的，那那那那么么么么对对对对于于于于任任任任意意意意给给给给定定定定的的的的初初初初始始始始状状状状态态态态x x(0)(0)都都都都应应应应从从从从上上上上述述述述方方方方程程程程中中中中解解解解出出出出 00，11，n n 1 11 1来来来来。这这这这就就就就要要要要求求求求系系系系统统统统能能能能控控控控性矩阵的秩为性矩阵的秩为性矩阵的秩为性矩阵的秩为n n，即，即，即，即rank rank B AB AB AB A22B AB An n 1 11 1B B =n n8第8页，共123页，编辑于2022年，星期日 例例3-1 设系

12、统的状态方程为设系统的状态方程为判断其状态能控性。判断其状态能控性。解：系统的能控性矩阵为解：系统的能控性矩阵为Qc=B AB A2B =rankrankQQcc=2 2 n n 所以系统状态不完全能控。所以系统状态不完全能控。所以系统状态不完全能控。所以系统状态不完全能控。2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 22 2 5 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 49第9页，共123页，编辑于2022年，星期日 首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。首先证明系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。首先证明系统经线性非奇

13、异变换后状态能控性不变。由由由由前前前前章章章章可可可可知知知知，系系系系统统统统 (A A，B B)和和和和 (，)之之之之间间间间做做做做线线线线性性性性非非非非奇奇奇奇异变换时有：异变换时有：异变换时有：异变换时有：定理定理定理定理3-23-2：设线性定常连续系统设线性定常连续系统设线性定常连续系统设线性定常连续系统 (A A，B B)具有具有具有具有两两相异的特征值，则其状态完全能控的充要条件，两两相异的特征值，则其状态完全能控的充要条件，两两相异的特征值，则其状态完全能控的充要条件，两两相异的特征值，则其状态完全能控的充要条件，是系统经线性变换后的对角线矩阵是系统经线性变换后的对角线

14、矩阵是系统经线性变换后的对角线矩阵是系统经线性变换后的对角线矩阵 中中中中,不包含元素全为零的行。不包含元素全为零的行。不包含元素全为零的行。不包含元素全为零的行。10第10页，共123页，编辑于2022年，星期日P P P P是非奇异阵是非奇异阵是非奇异阵是非奇异阵 其次证明不包含元素为零的行是系统其次证明不包含元素为零的行是系统其次证明不包含元素为零的行是系统其次证明不包含元素为零的行是系统 (A A A A，B B B B)状态完状态完状态完状态完全能控的充要条件。全能控的充要条件。全能控的充要条件。全能控的充要条件。11第11页，共123页，编辑于2022年，星期日 将对角标准形的每一

15、行写成如下展开形式将对角标准形的每一行写成如下展开形式 显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，(i i=1=1，2 2，n n)能控的充要条件是下列元素能控的充要条件是下列元素能控的充要条件是下列元素能控的充要条件是下列元素 不同时为零。不同时为零。不同时为零。不同时为零。例例例例3-33-3 考察下列系统的状态能控性。考察下列系统的状态能控性。考察下列系统的状态能控性。考察下列系统的状态能控性。(1(1)12第12页，共123页，编辑于2022年，星期日(

16、2)(2)(3)(3)13第13页，共123页，编辑于2022年，星期日 定定定定理理理理3-33-3 若若若若线线线线性性性性连连连连续续续续系系系系统统统统 (A A，B B)有有有有相相相相重重重重的的的的特特特特征征征征值值值值时时时时，即即即即A A为约当形时，则系统能控的充要条件是：为约当形时，则系统能控的充要条件是：为约当形时，则系统能控的充要条件是：为约当形时，则系统能控的充要条件是：（1 1）输输输输入入入入矩矩矩矩阵阵阵阵B B中中中中对对对对应应应应于于于于互互互互异异异异的的的的特特特特征征征征值值值值的的的的各各各各行行行行，没没没没有有有有一一一一行行行行的元素全为

17、零；的元素全为零；的元素全为零；的元素全为零；（2 2）输输输输入入入入矩矩矩矩阵阵阵阵B B中中中中与与与与每每每每个个个个约约约约当当当当块块块块最最最最后后后后一一一一行行行行相相相相对对对对应应应应的的的的各各各各行行行行，没有一行的元素全为零。没有一行的元素全为零。没有一行的元素全为零。没有一行的元素全为零。上上上上述述述述结结结结论论论论的的的的证证证证明明明明与与与与具具具具有有有有两两两两两两两两相相相相异异异异特特特特征征征征值值值值的的的的证证证证明明明明类类类类同同同同，故省略。故省略。故省略。故省略。14第14页，共123页，编辑于2022年，星期日例例3-4 考察下列

18、各系统的状态能控性。考察下列各系统的状态能控性。（1）（2）最后指出一点，当系统矩阵最后指出一点，当系统矩阵最后指出一点，当系统矩阵最后指出一点，当系统矩阵A A为对角标准形，但在含有相为对角标准形，但在含有相为对角标准形，但在含有相为对角标准形，但在含有相同的对角元素情况下，定理同的对角元素情况下，定理同的对角元素情况下，定理同的对角元素情况下，定理3-23-2不成立；或系统矩阵不成立；或系统矩阵不成立；或系统矩阵不成立；或系统矩阵A A为约当标为约当标为约当标为约当标准形，但有两个或两个以上的约当块的特征值相同时，定理准形，但有两个或两个以上的约当块的特征值相同时，定理准形，但有两个或两个

19、以上的约当块的特征值相同时，定理准形，但有两个或两个以上的约当块的特征值相同时，定理3-33-3不成立。不成立。不成立。不成立。15第15页，共123页，编辑于2022年，星期日3.2.3 线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控制量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必制量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必制量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必制量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必要研究系统的输出

20、是否能控的问题。要研究系统的输出是否能控的问题。要研究系统的输出是否能控的问题。要研究系统的输出是否能控的问题。定定定定义义义义 对对对对于于于于系系系系统统统统 (A A，B B，C C，DD)，如如如如果果果果存存存存在在在在一一一一个个个个无无无无约约约约束束束束的的的的控控控控制制制制矢矢矢矢量量量量u u(t t)，在在在在有有有有限限限限时时时时间间间间间间间间隔隔隔隔 t t00，t tff 内内内内，能能能能将将将将任任任任一一一一给给给给定定定定的的的的初初初初始始始始输输输输出出出出y y(t t00)转转转转移移移移到到到到任任任任一一一一指指指指定定定定的的的的最最最最

21、终终终终输输输输出出出出y y(t tff )，那那那那么么么么就就就就称称称称 (A A，B B，C C，DD)是是是是输输输输出出出出完完完完全全全全能能能能控控控控的的的的，或或或或简简简简称称称称输输输输出出出出是是是是能能能能控的。控的。控的。控的。定定定定理理理理3-43-4 线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统 (A A，B B，C C，DD)，其其其其输输输输出出出出完完完完全全全全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即rankrankQQ=rank C

22、=rank CB CAB CAB CAB CAnn-1-1B DB D=mm16第16页，共123页，编辑于2022年，星期日 例例例例3-63-6 设某一系统，其方块图如下图所示，试分设某一系统，其方块图如下图所示，试分设某一系统，其方块图如下图所示，试分设某一系统，其方块图如下图所示，试分析系统输出能控性和状态能控性。析系统输出能控性和状态能控性。析系统输出能控性和状态能控性。析系统输出能控性和状态能控性。+u u(t t)x x11(t t)x x22(t t)y y(t t)x x11(t t)x x22(t t)解：描述系统的状态空间表达式为解：描述系统的状态空间表达式为解：描述系统

23、的状态空间表达式为解：描述系统的状态空间表达式为17第17页，共123页，编辑于2022年，星期日rankrankQQcc=rank =rank B ABB AB=1 1 1 10 0 状态是不完全能控的。状态是不完全能控的。状态是不完全能控的。状态是不完全能控的。rank rankcc=rank C=rank CB CAB D B CAB D =2 0 0 =2 0 0 输出是完全能控的。输出是完全能控的。输出是完全能控的。输出是完全能控的。系统的状态能控性与输出能控性是不等价的，也就系统的状态能控性与输出能控性是不等价的，也就系统的状态能控性与输出能控性是不等价的，也就系统的状态能控性与输

24、出能控性是不等价的，也就是两者之间没有必然的联系。是两者之间没有必然的联系。是两者之间没有必然的联系。是两者之间没有必然的联系。18第18页，共123页，编辑于2022年，星期日3.3 线性系统的能观测性 3.3.1 3.3.1 状态能观测性状态能观测性状态能观测性状态能观测性 定定定定义义义义 对对对对任任任任意意意意给给给给定定定定的的的的输输输输入入入入信信信信号号号号u u(t t)，在在在在有有有有限限限限时时时时间间间间t tf f t t00，能能能能够够够够根根根根据据据据输输输输出出出出量量量量y y(t t)在在在在 t t00，t tff 内内内内的的的的测测测测量量量量

25、值值值值，唯唯唯唯一一一一地地地地确确确确定定定定系系系系统统统统在在在在时时时时刻刻刻刻t t00的的的的初初初初始始始始状状状状态态态态x x(t t00)，则则则则称称称称此此此此系系系系统统统统的的的的状状状状态态态态是是是是完完完完全全全全能能能能观测的，或简称系统能观测的。观测的，或简称系统能观测的。观测的，或简称系统能观测的。观测的，或简称系统能观测的。值得注意的是，在讨论系统的能观测性时，只需考值得注意的是，在讨论系统的能观测性时，只需考值得注意的是，在讨论系统的能观测性时，只需考值得注意的是，在讨论系统的能观测性时，只需考虑系统的自由运动即可。虑系统的自由运动即可。虑系统的自

26、由运动即可。虑系统的自由运动即可。3.3.2 3.3.2 线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性线性定常连续系统的能观测性 定定定定理理理理3-53-5 线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统 (A A，C C)状状状状态态态态完完完完全全全全能能能能观观观观测测测测的的的的充充充充要条件是能观测性矩阵要条件是能观测性矩阵要条件是能观测性矩阵要条件是能观测性矩阵19第19页，共123页，编辑于2022年，星期日QQoo =C CCACACACA22CACAnn 11满秩，即满秩，即满秩，即满秩，即rankrankQQo o=n n 证证证证明明

27、明明 不不不不失失失失一一一一般般般般性性性性，假假假假设设设设t t0 0=0 0，则则则则齐齐齐齐次次次次状状状状态态态态方方方方程程程程的的的的解解解解为为为为 x x(t t)=)=e eAAt t x x(0 0)y y(t t)=)=CeCeAAt t x x(0 0)20第20页，共123页，编辑于2022年，星期日 因因因因为为为为一一一一般般般般m m n n，此此此此时时时时，方方方方程程程程无无无无唯唯唯唯一一一一解解解解。要要要要使使使使方方方方程程程程有有有有唯唯唯唯一一一一解解解解，可可可可以以以以在在在在不不不不同同同同时时时时刻刻刻刻进进进进行行行行观观观观测测

28、测测，得得得得到到到到y y(t t11)，y y(t t22)，y y(t tf f)，此时把方程个数扩展到，此时把方程个数扩展到，此时把方程个数扩展到，此时把方程个数扩展到n n个，即个，即个，即个，即21第21页，共123页，编辑于2022年，星期日 上式表明，根据在（上式表明，根据在（上式表明，根据在（上式表明，根据在（0 0，t tff）时间间隔的量测值）时间间隔的量测值）时间间隔的量测值）时间间隔的量测值y y(t t11)，y y(t t22)，y y(t tff)，能将初始状态，能将初始状态，能将初始状态，能将初始状态x x(0)(0)唯一地确定下来的充要条唯一地确定下来的充要

29、条唯一地确定下来的充要条唯一地确定下来的充要条件是能观测性矩阵件是能观测性矩阵件是能观测性矩阵件是能观测性矩阵QQoo满秩满秩满秩满秩。22第22页，共123页，编辑于2022年，星期日 2 12 1QQoo =C CCACA 1 01 0 1 1 0 0 例例例例3-73-7 考察系统考察系统考察系统考察系统的能观测性。的能观测性。的能观测性。的能观测性。rankrankQQo o=2=2=n n所以系统是能观测的。所以系统是能观测的。所以系统是能观测的。所以系统是能观测的。23第23页，共123页，编辑于2022年，星期日 定定定定理理理理3-63-6 设设设设线线线线性性性性定定定定常常

30、常常连连连连续续续续系系系系统统统统 (A A，C C)具具具具有有有有互互互互不不不不相相相相同同同同的的的的特特特特征征征征值值值值，则则则则其其其其状状状状态态态态完完完完全全全全能能能能观观观观测测测测的的的的充充充充要要要要条条条条件件件件，是是是是系系系系统统统统经经经经线线线线性性性性非非非非奇奇奇奇异异异异变换后的对角标准形变换后的对角标准形变换后的对角标准形变换后的对角标准形中，中，中，中，不包含全为零的列。不包含全为零的列。不包含全为零的列。不包含全为零的列。24第24页，共123页，编辑于2022年，星期日 定定定定理理理理3-73-7 设设设设线线线线性性性性定定定定常

31、常常常连连连连续续续续系系系系统统统统 (A A，C C)具具具具有有有有重重重重特特特特征征征征值值值值，则则则则其其其其状状状状态态态态完完完完全全全全能能能能观观观观测测测测的的的的充充充充要要要要条条条条件件件件，是是是是系系系系统统统统经经经经线线线线性性性性非非非非奇奇奇奇异异异异变变变变换换换换后的约当标准形后的约当标准形后的约当标准形后的约当标准形中中中中，和和和和每每每每个个个个约约约约当当当当块块块块J Jii（i i=1=1，2 2，k k）首首首首行行行行相相相相对对对对应应应应的的的的 的的的的所所所所有那些列，其元素不全为零。有那些列，其元素不全为零。有那些列，其元

32、素不全为零。有那些列，其元素不全为零。25第25页，共123页，编辑于2022年，星期日例例例例3-83-8 分析下列系统的状态能观测性分析下列系统的状态能观测性分析下列系统的状态能观测性分析下列系统的状态能观测性（1 1）（2 2）26第26页，共123页，编辑于2022年，星期日（3 3）（4 4）27第27页，共123页，编辑于2022年，星期日3.4线性离散系统的能控性和能观测性3.4.13.4.13.4.13.4.1线性离散系统的能控性线性离散系统的能控性线性离散系统的能控性线性离散系统的能控性 设线性定常离散系统的状态方程设线性定常离散系统的状态方程设线性定常离散系统的状态方程设线

33、性定常离散系统的状态方程:x x(k k+1+1)=)=G xG x(k k)+)+H uH u(k k)定义定义定义定义:对于系统对于系统对于系统对于系统 (GG，HH)，如果在有限采样间隔内，如果在有限采样间隔内，如果在有限采样间隔内，如果在有限采样间隔内kT kT t t nTnT，存在阶梯控制信号序列，存在阶梯控制信号序列，存在阶梯控制信号序列，存在阶梯控制信号序列u u(k k),),u u(k k+1),+1),，u u(n n 1)1)，使得，使得，使得，使得系统从第系统从第系统从第系统从第k k个采样时刻的状态个采样时刻的状态个采样时刻的状态个采样时刻的状态x x(k k)开始

34、，能在第开始，能在第开始，能在第开始，能在第n n个采样时刻个采样时刻个采样时刻个采样时刻到达零状态，即到达零状态，即到达零状态，即到达零状态，即x x(n n)=0)=0，则称该系统在第，则称该系统在第，则称该系统在第，则称该系统在第k k个采样时刻上是个采样时刻上是个采样时刻上是个采样时刻上是能控的。若系统在第能控的。若系统在第能控的。若系统在第能控的。若系统在第k k个采样时刻上的所有状态都是能控的，个采样时刻上的所有状态都是能控的，个采样时刻上的所有状态都是能控的，个采样时刻上的所有状态都是能控的，那么该系统即称为状态完全能控的，或简称状态能控的。那么该系统即称为状态完全能控的，或简称

35、状态能控的。那么该系统即称为状态完全能控的，或简称状态能控的。那么该系统即称为状态完全能控的，或简称状态能控的。28第28页，共123页，编辑于2022年，星期日 定理定理定理定理3-83-8 线性定常线性定常线性定常线性定常离散离散离散离散系统系统系统系统 (GG，HH)，定义定义定义定义能控性能控性能控性能控性矩阵为矩阵为矩阵为矩阵为UUcc=H GH GH GH G22H G H G n n 11H H 若系统矩阵若系统矩阵若系统矩阵若系统矩阵GG非奇异，则非奇异，则非奇异，则非奇异，则状态完全能控的充要条件是状态完全能控的充要条件是状态完全能控的充要条件是状态完全能控的充要条件是 ra

36、nkrankUUcc=n n 证明证明证明证明 已知状态方程的解为已知状态方程的解为已知状态方程的解为已知状态方程的解为根据假设条件，当根据假设条件，当根据假设条件，当根据假设条件，当k k n n时，时，时，时，x x(k k)=0)=0，即，即，即，即29第29页，共123页，编辑于2022年，星期日G G nn 11H uH u(0)+(0)+G H uG H u(n n 2)+2)+H uH u(n n 1)=1)=G G nnx x(0)(0)当当当当GG是是是是非非非非奇奇奇奇异异异异矩矩矩矩阵阵阵阵时时时时，对对对对于于于于任任任任意意意意给给给给定定定定的的的的非非非非零零零零

37、初初初初态态态态x x(0)(0)，GGnnx x(0)(0)必必必必为为为为某某某某一一一一非非非非零零零零的的的的n n维维维维列列列列矢矢矢矢量量量量。因因因因此此此此，方方方方程程程程有有有有解解解解的的的的充充充充要要要要条条条条件是件是件是件是n n n n系数矩阵，即系统的能控性矩阵系数矩阵，即系统的能控性矩阵系数矩阵，即系统的能控性矩阵系数矩阵，即系统的能控性矩阵UUcc 满秩。满秩。满秩。满秩。30第30页，共123页，编辑于2022年，星期日 例例例例3-93-9 线性离散系统的状态方程为线性离散系统的状态方程为线性离散系统的状态方程为线性离散系统的状态方程为试判断系统是否

38、具有能控性。试判断系统是否具有能控性。试判断系统是否具有能控性。试判断系统是否具有能控性。解：解：解：解：UUcc=H GH GH GH G22H H =0 00 01 1 0 1 1 1 1 1 1 2 231第31页，共123页，编辑于2022年，星期日解：解：解：解：UUcc=H GH GH GH G22H H =1 01 00 10 10 00 01 20 11 00 40 40 1 0 1 4 24 2 例例例例3-103-10 线性离散系统的状态方程为线性离散系统的状态方程为线性离散系统的状态方程为线性离散系统的状态方程为试判断系统是否具有能控性。试判断系统是否具有能控性。试判断系

39、统是否具有能控性。试判断系统是否具有能控性。32第32页，共123页，编辑于2022年，星期日3.4.2 线性定常离散系统的能观测性线性定常离散系统的能观测性 定定定定 义义义义如如如如 果果果果 根根根根 据据据据 第第第第i i步步步步 以以以以 后后后后 的的的的 观观观观 测测测测 值值值值y y(i i)，y y(i i+1)+1)，y y(NN)，能能能能唯唯唯唯一一一一地地地地确确确确定定定定出出出出第第第第i i步步步步的的的的状状状状态态态态x x(i i)，则则则则称称称称系系系系统统统统在在在在第第第第i i步步步步是是是是能能能能观观观观测测测测的的的的。若若若若系系系

40、系统统统统在在在在任任任任意意意意采采采采样样样样时时时时刻刻刻刻上上上上都都都都是是是是能能能能观观观观测测测测的的的的，则则则则称称称称系系系系统为状态完全能观测的，或简称系统能观测。统为状态完全能观测的，或简称系统能观测。统为状态完全能观测的，或简称系统能观测。统为状态完全能观测的，或简称系统能观测。定定定定理理理理3-93-9 线线线线性性性性定定定定常常常常离离离离散散散散系系系系统统统统 (GG，C C)状状状状态态态态完完完完全全全全能能能能观观观观测测测测的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是nmnm n n的能观测性矩阵的能观测性矩阵的能观测性矩阵的能观测性矩阵UU

41、oo满秩，即满秩，即满秩，即满秩，即33第33页，共123页，编辑于2022年，星期日 证证证证明明明明 由由由由于于于于所所所所研研研研究究究究的的的的系系系系统统统统是是是是线线线线性性性性定定定定常常常常系系系系统统统统，所所所所以以以以可可可可假假假假设设设设观观观观测从第测从第测从第测从第0 0步开始，并认为输入步开始，并认为输入步开始，并认为输入步开始，并认为输入u u(k k)=0)=0，此时系统为，此时系统为，此时系统为，此时系统为x x(k k+1+1)=)=G xG x(k k)y y(k k)=)=C xC x(k k)利用递推法，可得利用递推法，可得利用递推法，可得利用

42、递推法，可得 y y(0)=(0)=CxCx(0)(0)y y(1)=(1)=CxCx(1)=(1)=CGxCGx(0)(0)y y(n n 1 1)=)=CG CG nn 11x x(0)(0)写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式 34第34页，共123页，编辑于2022年，星期日 由由由由于于于于y y(t t)是是是是mm维维维维矢矢矢矢量量量量，因因因因此此此此上上上上述述述述n n个个个个联联联联立立立立方方方方程程程程实实实实质质质质上上上上代代代代表表表表了了了了n n mm方方方方程程程程。要要要要想想想想从从从从这这这这n n mm个个个个方方方方程程程程中中中中

43、求求求求得得得得唯唯唯唯一一一一的的的的一一一一组组组组解解解解x x(0)(0)，必必必必须须须须从从从从这这这这n n mm个个个个方方方方程程程程中中中中找找找找出出出出n n个个个个线线线线性性性性无无无无关关关关的的的的方方方方程程程程，即即即即x x(0)(0)有有有有唯唯唯唯一解的充要条件是能观测性矩阵一解的充要条件是能观测性矩阵一解的充要条件是能观测性矩阵一解的充要条件是能观测性矩阵UUoo满秩。满秩。满秩。满秩。35第35页，共123页，编辑于2022年，星期日 例例例例3-113-11 试确定由下列状态表达式试确定由下列状态表达式试确定由下列状态表达式试确定由下列状态表达式

44、所描述的系统是否能观测。所描述的系统是否能观测。所描述的系统是否能观测。所描述的系统是否能观测。0 0 1 0 0 1 1 0 01 0 03 0 21 0 1 9 0 9 0 1 1 2 2 0 0 3 3 解：解：解：解：系统的观测性矩阵为系统的观测性矩阵为系统的观测性矩阵为系统的观测性矩阵为 UUoo=C CG CGC CG CG22 TT =36第36页，共123页，编辑于2022年，星期日3.4.3 离散化系统的能控性和能观测性离散化系统的能控性和能观测性 这这这这里里里里所所所所说说说说离离离离散散散散化化化化系系系系统统统统的的的的能能能能控控控控性性性性和和和和能能能能观观观观

45、测测测测性性性性，是是是是指指指指一一一一个个个个线线线线性性性性连连连连续续续续系系系系统统统统在在在在其其其其离离离离散散散散化化化化后后后后是是是是否否否否能能能能保保保保持持持持其其其其完完完完全全全全能能能能控控控控性性性性和和和和完完完完全全全全能能能能观观观观测测测测性性性性的的的的问问问问题题题题。这这这这是是是是在在在在构构构构成成成成采采采采样样样样数数数数据据据据系系系系统统统统或或或或计计计计算算算算机机机机控控控控制制制制系系系系统统统统时所要考虑的一个重要问题。时所要考虑的一个重要问题。时所要考虑的一个重要问题。时所要考虑的一个重要问题。例例例例3-123-12 设

46、线性定常系统的状态空间表达式为设线性定常系统的状态空间表达式为设线性定常系统的状态空间表达式为设线性定常系统的状态空间表达式为 试分析其离散化后系统的能控性和能观测性。试分析其离散化后系统的能控性和能观测性。试分析其离散化后系统的能控性和能观测性。试分析其离散化后系统的能控性和能观测性。37第37页，共123页，编辑于2022年，星期日解：（解：（解：（解：（1 1）分析）分析）分析）分析 (A A，B B，C C)的能控性和能观测性的能控性和能观测性的能控性和能观测性的能控性和能观测性 连续系统是状态完全能控且完全能观测的。连续系统是状态完全能控且完全能观测的。连续系统是状态完全能控且完全能

47、观测的。连续系统是状态完全能控且完全能观测的。（2 2）分析）分析）分析）分析 (A A，B B，C C)的离散化系统的离散化系统的离散化系统的离散化系统 C C=0 1=0 1 38第38页，共123页，编辑于2022年，星期日（3 3）离散化系统的能控性和能观测性）离散化系统的能控性和能观测性）离散化系统的能控性和能观测性）离散化系统的能控性和能观测性 显然，上述矩阵是否满秩，唯一地取决于采样周期显然，上述矩阵是否满秩，唯一地取决于采样周期显然，上述矩阵是否满秩，唯一地取决于采样周期显然，上述矩阵是否满秩，唯一地取决于采样周期T T的数值。的数值。的数值。的数值。若取若取若取若取T T=k

48、 k (k k=1=1，2 2，)rankrankUUcc =1 rank=1 rankUUoo =1=1此时离散化系统是不完全能控且不完全能观测的。此时离散化系统是不完全能控且不完全能观测的。此时离散化系统是不完全能控且不完全能观测的。此时离散化系统是不完全能控且不完全能观测的。若取若取若取若取T T k k (k k=1=1，2 2，）rankU rankUcc =2 rank=2 rankUUoo =2=2这时，上述离散化系统是完全能控且能观测的。这时，上述离散化系统是完全能控且能观测的。这时，上述离散化系统是完全能控且能观测的。这时，上述离散化系统是完全能控且能观测的。detUc=2s

49、inTcosT 1 detUo=sinT39第39页，共123页，编辑于2022年，星期日 定定定定理理理理3-103-10 线线线线性性性性定定定定常常常常连连连连续续续续系系系系统统统统 (A A，B B，C C)，是是是是状状状状态态态态完完完完全全全全能能能能控控控控（能能能能观观观观测测测测）的的的的，经经经经离离离离散散散散化化化化后后后后的的的的系系系系统统统统，其其其其状状状状态态态态完完完完全能控（能观测）的充分条件是：对满足全能控（能观测）的充分条件是：对满足全能控（能观测）的充分条件是：对满足全能控（能观测）的充分条件是：对满足 Re Re ii jj =0 =0的一切特

50、征值，使采样周期的一切特征值，使采样周期的一切特征值，使采样周期的一切特征值，使采样周期T T的值满足关系式的值满足关系式的值满足关系式的值满足关系式 Im Im ii jj 2 2 k/Tk/T （k k=1 1，2 2，）例例3-12 系统特征值系统特征值 I A =11 =2+1 =j12 2 k/T T k40第40页，共123页，编辑于2022年，星期日3.5 对偶性原理 从从从从前前前前面面面面几几几几节节节节的的的的讨讨讨讨论论论论中中中中可可可可以以以以看看看看出出出出控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的能能能能控控控控性性性性和和和和能能能能观观观观测测测测性性性性，无无