概率论与数理统计 估计量的评价标准.ppt

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计 估计量的评价标准估计量的评价标准现在学习的是第1页，共45页一、问题的提出一、问题的提出 从前一节可以看到从前一节可以看到,对于同一个参数对于同一个参数,用不同的估用不同的估计方法求出的估计量可能不同计方法求出的估计量可能不同.然而然而,原则上任何统计量原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量都可以作为未知参数的估计量.问题问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量优劣的标准是什么评价估计量优劣的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准.现在学习的是第2页，共45页下面介绍几个常用标准：下

2、面介绍几个常用标准：1）无偏性；）无偏性；2）有效性；）有效性；3）最小方差无偏估计）最小方差无偏估计 4）相合性相合性.现在学习的是第3页，共45页二、无偏性二、无偏性定义定义6.2现在学习的是第4页，共45页证证例例1现在学习的是第5页，共45页特别地特别地,不论总体不论总体 X 服从什么分布服从什么分布,只要它的数学期望存在只要它的数学期望存在,现在学习的是第6页，共45页证证例例2现在学习的是第7页，共45页现在学习的是第8页，共45页分析分析例例3 设总体设总体X的方差的方差D(X)存在，且存在，且 D(X)0,(X1,X2,Xn)为来自总体为来自总体X的样本，试选择适当的的样本，试

3、选择适当的常数常数C，使得使得为为D(X)的无偏估计的无偏估计.需选择需选择C，使使现在学习的是第9页，共45页而而X1,X2,Xn 相互独立，且与相互独立，且与X 同分布同分布解解现在学习的是第10页，共45页依题意，要求：依题意，要求：现在学习的是第11页，共45页注注一般地，一个参数一般地，一个参数 的无偏估计量的无偏估计量不唯一不唯一.如：设样本如：设样本(X1,X2,Xn)来自总体来自总体X，E(X)=,也均是也均是 的无偏估计的无偏估计.问题：问题：对于同一个参数的多个无偏估计量，对于同一个参数的多个无偏估计量，如何评价它们的优劣？如何评价它们的优劣？现在学习的是第12页，共45页

4、三、有效性三、有效性换句话说，换句话说，的波动越小，即方差的波动越小，即方差越小越好越小越好.现在学习的是第13页，共45页定义定义6.3例例4来自总体来自总体X的样本，问：下列三个对的样本，问：下列三个对 的无偏估计量的无偏估计量哪一个最有效？哪一个最有效？现在学习的是第14页，共45页解解注注一般地，在一般地，在 的的无偏估计量无偏估计量可用求条件极可用求条件极值的拉格朗日值的拉格朗日乘数法证明乘数法证明现在学习的是第15页，共45页(1)证证例例5现在学习的是第16页，共45页现在学习的是第17页，共45页现在学习的是第18页，共45页解解现在学习的是第19页，共45页现在学习的是第20

5、页，共45页背景背景 随机抄随机抄n个自行车的号码，由这个自行车的号码，由这n个号码来个号码来估计某市市区的自行车总数估计某市市区的自行车总数N.如：样本值如：样本值 100,1000,10000,100000,1000000.可算得：可算得：现在学习的是第21页，共45页四、四、最小方差无偏估计量最小方差无偏估计量定义定义注注最小方差无偏估计是一种最优估计最小方差无偏估计是一种最优估计.问题：问题：无偏估计的方差是否可以任意小无偏估计的方差是否可以任意小?如果不能如果不能任意小任意小,那么它的下界是什么那么它的下界是什么?现在学习的是第22页，共45页五、相合性五、相合性例如例如定义定义6.

6、6相合估计量相合估计量(或一致或一致估计量估计量).现在学习的是第33页，共45页证证(1)由大数定律知由大数定律知,例例6现在学习的是第34页，共45页由大数定律知由大数定律知,现在学习的是第35页，共45页 通过此例题通过此例题,我们看到我们看到,要证明一个估计量具有相要证明一个估计量具有相合性合性,必须证明它依概率收敛必须证明它依概率收敛,这有时很麻烦这有时很麻烦.因此因此,我们我们下面我们不加证明的给出一个相合性的判定定理下面我们不加证明的给出一个相合性的判定定理.现在学习的是第36页，共45页现在学习的是第37页，共45页例例 6.19 若总体若总体 的的 和和 存在存在,则样则样本

7、均值是总体均值本均值是总体均值 的相合估计的相合估计.解解：一般地一般地,样本的样本的 阶原点矩阶原点矩 是总体是总体 的的 阶原点矩阶原点矩 的相合估计的相合估计.由此可见由此可见,矩矩估计往往是相合估计估计往往是相合估计.现在学习的是第38页，共45页例例6.20 设总体设总体 的二阶矩存在的二阶矩存在,是总体是总体 的样本的样本,试证试证是总体均值是总体均值 的相合估计的相合估计.证明证明：现在学习的是第39页，共45页所以所以 是是 的相合估计的相合估计现在学习的是第40页，共45页六、小结六、小结估计量的评选的四个标准，但估计量的评选的四个标准，但要求一下三个标准要求一下三个标准无偏

8、性无偏性有效性有效性相合性相合性 相合性是对估计量的一个基本要求相合性是对估计量的一个基本要求,不具备相合性不具备相合性的估计量是不予以考虑的的估计量是不予以考虑的.由最大似然估计法得到的估计量由最大似然估计法得到的估计量,在一定条件下也在一定条件下也具有相合性具有相合性.估计量的相合性只有当样本容量相当大时估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性才能显示出优越性,这在实际中往往难以做到这在实际中往往难以做到,因此因此,在工在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准程中往往使用无偏性和有效性这两个标准.现在学习的是第41页，共45页本本 节节 结结 束！束！现在学习的是第42页，共45页证证例例5现在学习的是第43页，共45页 由以上两例可知由以上两例可知,一个参数可以有不同的无偏估计一个参数可以有不同的无偏估计量量.现在学习的是第44页，共45页证明证明例例6 (续例续例5)现在学习的是第45页，共45页