生命函数幻灯片.ppt

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1、生命函数第1页，共59页，编辑于2022年，星期日第四章第四章 生命函数生命函数基本生命函数基本生命函数一般正整数年龄生命函数一般正整数年龄生命函数生命期望值生命期望值正分数年龄生命函数正分数年龄生命函数生命表生命表生命表生命表理论理论理论理论基本随机变量基本随机变量死亡法则死亡法则生命表的编制与选择生命表的编制与选择第2页，共59页，编辑于2022年，星期日本章中英文单词对照v死亡年龄v生命表v剩余寿命v整数剩余寿命v死亡效力v极限年龄v选择与终极生命表vAge-at-deathvLife tablevTime-until-deathvCurtate-future-lifetimevForc

2、e of mortalityvLimiting atevSelect-and-ultimate tables第3页，共59页，编辑于2022年，星期日4.1 基本随机变量v一些基本随机变量v1、X：新出生的婴儿或0岁的人在死亡时的年龄v2、F(x)：X的分布函数v表示新出生的婴儿尚未能活到x岁便发生死亡的概率v 第4页，共59页，编辑于2022年，星期日4.1 基本随机变量v3、S(x)：新生婴儿能活到x岁的概率值。v（1）v（2）v（3）S(x)是关于X的递减连续函数v（4）v (5)第5页，共59页，编辑于2022年，星期日v4T(x)：年龄为x岁的人未来能存活的时间，称作未来余命。v G

3、(x)是T的分布函数，v 指x岁的人在t年内将死亡的概率v。第6页，共59页，编辑于2022年，星期日v5K(x)：年龄为x岁的人到其死亡时已经存活的整数年，K=T，即K为T的最大整数部分。第7页，共59页，编辑于2022年，星期日4.2 基本生命函数v一些基本生命函数v1 ：0岁人中活到x岁的人数v2 ：0岁的人在x岁与（x+1）岁之间死亡的人数v3 ：x岁的人（简记为(x)）在未来一年之间的生存概率v4 ：(x)在未来一年之间的死亡概率v5 ：(x)在未来一年之间的平均生存人年数v6 ：(x)的累计生存人年数第8页，共59页，编辑于2022年，星期日生命表的几个主要函数v ：存活到确切整数

4、年龄x岁的人数，其中xo，1，2，w一1v 是同时出生的一批人数。由于我们关心的是一批人在今后成长过程中的死亡规律，即各年龄的死亡水平，因此最初人口绝对数并不重要，研究中可以任意取值。为方便，通常取 100 0 00。称为生命表基数。经过一年到达1岁时成为 再经过一年到达2岁时成为 。生命表年龄上限以希腊字母w表示，存活的最高年龄为w-1。第9页，共59页，编辑于2022年，星期日生命表的构造v 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：v 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作第10页，共59页，编辑于2022年，星期日生命表的构造v 个新生生命在年龄x至x+t区间共

5、存活年数：v 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：第11页，共59页，编辑于2022年，星期日v：在：岁死亡的人数 v生命表0岁人数 经过一年要死去一部分，这部分人数为 到达1岁时存活人数还剩 经过一年又死去 ，到2岁时存第12页，共59页，编辑于2022年，星期日第13页，共59页，编辑于2022年，星期日:x岁的死亡概率第14页，共59页，编辑于2022年，星期日第15页，共59页，编辑于2022年，星期日第16页，共59页，编辑于2022年，星期日第17页，共59页，编辑于2022年，星期日Lx:X岁的人平均生存的人年数第18页，共59页，编辑于2022年，星期日4.3 一般整

6、数年龄生命函数v7、平均生存人年数v 第19页，共59页，编辑于2022年，星期日Tx:X岁的人群未来累计生存人年数第20页，共59页，编辑于2022年，星期日4.3 一般整数年龄生命函数v8、累计生存人年数v 第21页，共59页，编辑于2022年，星期日基本生命函数的关系第22页，共59页，编辑于2022年，星期日4.3 一般正整数年龄生命函数v1、剩余寿命的生存函数 v表示（x）未来能活过t年的概率，t为正整数特别：第23页，共59页，编辑于2022年，星期日4.3 一般整数年龄生命函数v2、v表示（x）在未来t年内死亡的人数（P58)第24页，共59页，编辑于2022年，星期日4.3 一

7、般整数年龄生命函数v3、v表示（x）在未来t年内死亡的概率 第25页，共59页，编辑于2022年，星期日4.3 一般整数年龄生命函数v4、v 表示（x）在未来f年内生存，在之后的n年内死亡的概率。第26页，共59页，编辑于2022年，星期日5、死亡效力(p57)v定义：的瞬时死亡率，简记v死亡效力与生存函数的关系第27页，共59页，编辑于2022年，星期日死亡效力v死亡效力与密度函数的关系v死亡效力表示剩余寿命的密度函数第28页，共59页，编辑于2022年，星期日4.3 一般整数年龄生命函数v6、T的分布函数G(t)与密度函数g(t)v(1).v(2).第29页，共59页，编辑于2022年，星

8、期日基本函数总结v ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率v ：x岁的人将在1年内去世的概率v ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率 第30页，共59页，编辑于2022年，星期日整值剩余寿命v定义：未来存活的完整年数，简记v概率函数第31页，共59页，编辑于2022年，星期日例4.1：v已知 v计算下面各值：（1）（2）20岁的人在5055岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。第32页，共59页，编辑于2022年，星期日例4.1答案第33页，共59页，编辑于2022年，星期日4.4 生命期望值v生命期望值，又称平均余命，就是未来余命的期望v一、完全平均余命v v 二、简约平均余命第34

9、页，共59页，编辑于2022年，星期日v 表示存活到 x岁的人群 ，平均还能存活的年数。它是x岁群未来存活总人年数被 平均后的值。即 表示出生时平均寿命，简称平均寿命。表示出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。假设死亡在每个年龄上都均匀分布，即完全平均余命第35页，共59页，编辑于2022年，星期日第36页，共59页，编辑于2022年，星期日v 在各年龄死亡均匀分布假设下，公式(3.16)中x+是每个年龄死亡人数的平均年龄。是各年龄死亡人数的合计数，因此平均寿命也就是以各年龄死亡人数为权重的平均死亡年龄。第37页，共59页，编辑于2022年，星期日剩余寿命的期望与方差v期望剩余寿命：剩余寿

10、命的期望值(均值),简记v剩余寿命的方差第38页，共59页，编辑于2022年，星期日整值剩余寿命的期望与方差v期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记v整值剩余寿命的方差第39页，共59页，编辑于2022年，星期日v使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况v基本原理:插值法v常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)4.5 正分数生命函数第40页，共59页，编辑于2022年，星期日4.5 正分数生命函数v

11、一、死亡均匀分布假设（UDD假设）v 二、鲍德希假设（Balducci）v三、常值死力假设（CFM假设）v 第41页，共59页，编辑于2022年，星期日三种假定及其计算公式v均匀分布假定(线性插值)v常数死亡力假定(几何插值)vBalducci假定(调和插值)第42页，共59页，编辑于2022年，星期日三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci第43页，共59页，编辑于2022年，星期日例4.2：v已知 v分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：第44页，共59页，编辑于2022年，星期日例4.2答案第45页，共59页，编辑于2022年，星期日例4.2答案第46页，共59页，

12、编辑于2022年，星期日例4.2答案第47页，共59页，编辑于2022年，星期日v至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。v使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差v寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。v在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。4.6有关寿命分布的参数模型 第48页，共59页，编辑于2022年，星期日4.6有关寿命分布的参数模型 死亡法则vDe Moivre模型(1729)vGompertze模型(1825)第49页，共59页，编辑于2022年，星期日4.6有关寿命分布的参

13、数模型 vMakeham模型(1860)vWeibull模型(1939)第50页，共59页，编辑于2022年，星期日4.7 生命表的编制与选择v一、生命表的编制方法v二、生命表的分类第51页，共59页，编辑于2022年，星期日生命表起源v生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.v生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。1693年，Edmund Halley,根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出

14、了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。第52页，共59页，编辑于2022年，星期日生命表的构造v生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）v原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）v常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：第53页，共59页，编辑于2022年，星期日生命表的构造v 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：v 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作第54页，共59页，编辑于2022年，星期日生命表的构造v 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：v

15、 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：第55页，共59页，编辑于2022年，星期日生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.0006598648649861771

16、9009172.89第56页，共59页，编辑于2022年，星期日中国的生命表v中国生命表结构v生命曲线v生命特点第57页，共59页，编辑于2022年，星期日选择-终极生命表v选择-终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失v选择-终极生命表的使用第58页，共59页，编辑于2022年，星期日选择-终极表实例x选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.0545 7571.0191.0272.0342.0424.0518.0596 7672.0209.0297.0374.0463.0566.0652 7773.0228.0324.0409.0507.0620.0714 7874.0249.0354.0447.0554.0678.0781 7975.0273.0387.0489.0607.0742.0855 8076.0298.0424.0535.0664.0812.0936 8177.0326.0464.0586.0727.0889.1024 82第59页，共59页，编辑于2022年，星期日