线性代数非齐次线性方程组幻灯片.ppt

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1、线性代数非齐次线性方程组第1页，共48页，编辑于2022年，星期一对于对于m个方程个方程n个未知数的线性方程组个未知数的线性方程组b=0,齐次线性方程组齐次线性方程组b0,非齐次线性方程组非齐次线性方程组第2页，共48页，编辑于2022年，星期一一、非齐次一、非齐次线性方程组有解的判定条件线性方程组有解的判定条件线性方程组有解的判定条件线性方程组有解的判定条件定理定理1第3页，共48页，编辑于2022年，星期一不妨设不妨设r(A)=r,r(A)=r,利用初等行变换把增广矩阵利用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形化为行阶梯形 证明证明：第4页，共48页，编辑于2022年，星期一必要性必要性:若（若

2、（*）有解，则）有解，则d r+1=0,即得即得r(A)=r(A|b)充分性充分性:若若r(A)=r(A|b)，即，即d r+1=0,则（则（*）有解。）有解。并令并令 个自由未知量任意取值个自由未知量任意取值，rn-即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解 其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量,把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量,第5页，共48页，编辑于2022年，星期一推论推论解解.可逆时可逆时,方程组有唯一方程组有唯一，即，即AnAr=)()1(时，方程组无解或无穷多解时，方程组无解或无穷多解.）（nAr)(2定理

3、定理1 1此乃第三章的此乃第三章的精华所在精华所在(Cramer 法则法则)第6页，共48页，编辑于2022年，星期一例例1 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵 进行初等变换进行初等变换，故方程组无解故方程组无解第7页，共48页，编辑于2022年，星期一为求解非齐次线性方程组为求解非齐次线性方程组 ，只需将，只需将增增广矩阵广矩阵 化成化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，便可判断其是否，便可判断其是否有解若有解，再将行阶梯形矩阵化成有解若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简行最简形矩阵形矩阵，便可写出其通解。，便可写出其通解。第8页，共48页，编辑于2022年，星期一二、线

4、性方程组的解法例例2 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵 进行初等变换进行初等变换第9页，共48页，编辑于2022年，星期一第10页，共48页，编辑于2022年，星期一为什么选为什么选为非自由未知量？为非自由未知量？选选行最简形矩阵行最简形矩阵中非零中非零行首非零元行首非零元1所在列！所在列！第11页，共48页，编辑于2022年，星期一所以方程组的通解为所以方程组的通解为第12页，共48页，编辑于2022年，星期一第13页，共48页，编辑于2022年，星期一例例3 证证方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为对增广矩阵对增广矩阵 进行初等变换，进行初等变换，第1

5、4页，共48页，编辑于2022年，星期一第15页，共48页，编辑于2022年，星期一由此得通解：由此得通解：第16页，共48页，编辑于2022年，星期一定理定理1 1而且通解中有而且通解中有n-r(A)个任意常数个任意常数.结论：两方程组同解，则系数矩阵的秩相同结论：两方程组同解，则系数矩阵的秩相同第17页，共48页，编辑于2022年，星期一例例4 设有线性方程组设有线性方程组解一解一第18页，共48页，编辑于2022年，星期一第19页，共48页，编辑于2022年，星期一且其通解为且其通解为第20页，共48页，编辑于2022年，星期一这时又分两种情形：这时又分两种情形：第21页，共48页，编辑

6、于2022年，星期一第22页，共48页，编辑于2022年，星期一第23页，共48页，编辑于2022年，星期一对非齐次线性方程组对非齐次线性方程组下面我们来看齐次线性方程组解的情况下面我们来看齐次线性方程组解的情况第24页，共48页，编辑于2022年，星期一定理定理2 对于对于 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组nAr)(2有非零解）有非零解）方程组有无穷解（即）方程组有无穷解（即（推论推论2 当当 mn 时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组 必有非零解必有非零解.推论推论1 m=n时时，对方程组，对方程组第25页，共48页，编辑于2022年，星期一 为求齐次线性方程组的解，只需将为求齐次线性

7、方程组的解，只需将系数矩阵系数矩阵化成化成行最简形矩阵行最简形矩阵，便可写出其通解。，便可写出其通解。第26页，共48页，编辑于2022年，星期一齐次线性方程组的解法例例1 求解齐次方程组的通解求解齐次方程组的通解解解 对系数矩阵对系数矩阵A进行初等变换进行初等变换第27页，共48页，编辑于2022年，星期一故方程组有非零解，且有故方程组有非零解，且有为什么选为什么选为非自由未知量？为非自由未知量？选选行最简形矩阵行最简形矩阵中非零中非零行首非零元行首非零元1所在列！所在列！第28页，共48页，编辑于2022年，星期一得方程组的通解为得方程组的通解为第29页，共48页，编辑于2022年，星期一

8、解法一解法一因为因为系数矩阵系数矩阵 为含参数的方阵，故可为含参数的方阵，故可考虑使用考虑使用“行列式行列式”法，而法，而例例2 当取何值时，下述齐次线性方程组有非当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解第30页，共48页，编辑于2022年，星期一第31页，共48页，编辑于2022年，星期一通解为通解为第32页，共48页，编辑于2022年，星期一第33页，共48页，编辑于2022年，星期一第34页，共48页，编辑于2022年，星期一解法二解法二用用“初等行变换初等行变换”（法）把系数矩阵（法）把系数矩阵 化为阶梯形化为阶梯形第35页，共48页，编辑于202

9、2年，星期一第36页，共48页，编辑于2022年，星期一例例3 已知三阶非零矩阵已知三阶非零矩阵B的每一列都为齐次线性方程组的每一列都为齐次线性方程组求求Ax=0的解，其中的解，其中(1)的值；的值；(2)(3)一个矩阵一个矩阵B解：解：(1)由题意可知，由题意可知，Ax=0有非零解，有非零解，因此因此即即因此，因此，第37页，共48页，编辑于2022年，星期一(2)将将A化为行最简形矩阵化为行最简形矩阵相应的线性方程组为相应的线性方程组为第38页，共48页，编辑于2022年，星期一因此，通解为因此，通解为所以所以B的任两列对应成比例，的任两列对应成比例，从而从而(3)由由B的列为的列为Ax=

10、0的解向量，可得的解向量，可得B可取为可取为第39页，共48页，编辑于2022年，星期一本章概要一、一、矩阵的秩矩阵的秩二、二、齐次线性方程组的解齐次线性方程组的解三、三、非齐次线性方程组的解非齐次线性方程组的解第40页，共48页，编辑于2022年，星期一一 矩阵的秩1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.矩阵秩的结论矩阵秩的结论非零子式的最高阶数非零子式的最高阶数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数(1)(2)(3)(4)(5)(6)第41页，共48页，编辑于2022年，星期一说明说明若若A为为n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则1.(非奇异矩阵或非退化矩阵非奇异矩阵或非退化矩

11、阵)2.(满秩阵满秩阵)3.A的标准形是单位阵的标准形是单位阵In.4.第42页，共48页，编辑于2022年，星期一(2)初等变换法初等变换法3.矩阵秩的计算矩阵秩的计算(1)利用定义利用定义(把矩阵用把矩阵用初等行变换初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);第43页，共48页，编辑于2022年，星期一定理定理二齐次线性方程组的解1.解的理论解的理论2.解法解法把系数矩阵化把系数矩阵化成行阶梯形矩阵成行阶梯形矩阵，由定理由定理1分析齐次线分

12、析齐次线性方程组解的情况，若性方程组解的情况，若r(A)n，则将行阶梯形矩阵化，则将行阶梯形矩阵化为为行最简形矩阵行最简形矩阵，写出相应的齐次线性方程组，然后，写出相应的齐次线性方程组，然后选取自由未知量，并求出其通解选取自由未知量，并求出其通解.第44页，共48页，编辑于2022年，星期一三非齐次线性方程组的解1.解的理论解的理论对非齐次线性方程组对非齐次线性方程组第45页，共48页，编辑于2022年，星期一把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解且其通解中含有最简形矩阵，写出通解且其通解中含有n-r(A)个个参数参数.2.解法解法第46页，共48页，编辑于2022年，星期一思考题第47页，共48页，编辑于2022年，星期一答答答答相等相等.即即由此可知由此可知,两方程组两方程组思考题 2第48页，共48页，编辑于2022年，星期一