广义参变量积分讲稿.ppt

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1、广义参变量积分1第一页，讲稿共三十四页哦讨论的缘由在参变量积分的讨论中，有些是不能用控制收敛定理处理的.这就需要发展另外的积分号下取极限理论2第二页，讲稿共三十四页哦广义积分极限定理广义积分定义广义带参数积分一致收敛极限定理广义带参数积分的微积分性质一致收敛准则3第三页，讲稿共三十四页哦广义积分定义以E=(0,)为例广义积分（两种意义下）Lebesgue意义下：在(0,)没有积分的情形Riemann意义下：在(0,)上的Riemann积分在常义下没有意义特例：对于任何0A0,当aA时(B),A0,当aA时(C)9第九页，讲稿共三十四页哦极限定理设Rd非空,a是的一个极限点.如果 在上一致收敛,

2、且存在(0,)上的函数h,满足(*)那么，收敛,且(*)10第十页，讲稿共三十四页哦极限定理证明(1)由条件(*),h在(0,)上可测，并且b0,h在(0,b)上可积;(2)h在(0,)上可积.只要证明a0,当ba时,c0,由 在上一致收敛,就能够找到满足上述条件的a;(3)(*)成立.11第十一页，讲稿共三十四页哦极限定理的情形设 关于x在(0,)上一致收敛,且存在(0,)上的函数h,满足(*)那么，收敛,且(*)12第十二页，讲稿共三十四页哦广义带参数积分的微积分性质广义带参数积分的连续性广义带参数积分的积分换序广义带参数积分的可微性仍以为区间的情形来叙述相关的结果13第十三页，讲稿共三十

3、四页哦广义带参数积分的连续性设C(0,).如果 在上一致收敛则参变量积分在上连续.证明 这是极限定理的直接推论14第十四页，讲稿共三十四页哦广义带参数积分的积分换序设=a,b,C(0,).如果在上一致收敛.则证明:记 ,由在上一致收敛,A0,使得当cA时15第十五页，讲稿共三十四页哦积分换序证明(续)因此由普通参变量积分的结果所以令c,就得到所要的结果16第十六页，讲稿共三十四页哦广义带参数积分的可微性积分号下求导:设,xC(0,),在上处处收敛,在上一致收敛,则因此17第十七页，讲稿共三十四页哦积分号下求导的证明任取a,x,由积分换序定理注意 在上是t的连续函数，由微积分基本定理，结果得证1

4、8第十八页，讲稿共三十四页哦广义参变量积分例1计算解解：定义由控制收敛定理可知(y)C(0,)C1(0,)并且19第十九页，讲稿共三十四页哦广义参变量积分例1(续)通过变量替换得到所以 ,注意因此，也就是，20第二十页，讲稿共三十四页哦广义参变量积分例2计算当x0时，由广义积分换序定理21第二十一页，讲稿共三十四页哦一致收敛准则Weierstrass判别法(优函数判别法,控制收敛判别法)Dirichlet判别法Abel判别法Dini判别法22第二十二页，讲稿共三十四页哦Weierstrass判别法如果存在hL(0,)满足则 在上一致收敛.证明：这由hL(0,)和一致收敛的定义直接就可以得到.2

5、3第二十三页，讲稿共三十四页哦广义参变量积分例3证明积分 0,在,)上一致收敛，但在(0,)上不一致收敛.证明证明：任取0,则对于t,),由控制收敛定理，在,)上一致收敛.注意:由极限定理，如果 在(0,)上一致收敛，则h(x)=1,在(0,)上可积(这是不对的).24第二十四页，讲稿共三十四页哦Dirichlet判别法设,g R,满足(1)对于x,(x,y)是上的递减函数;(2)(3)则 在上一致收敛25第二十五页，讲稿共三十四页哦Dirichlet判别法证明使用一致收敛的充要条件(A)来证明.任取,由条件(2),A0,当yA时，则当aA,b0时，x,由第二积分中值定理因此26第二十六页，讲

6、稿共三十四页哦广义参变量积分例4计算解解：定义1.先证明(y)在0,)上一致收敛.使用Dirichlet判别法,取u(x,y)=exp(-xy)/x,v(x,y)=sin x.因此,(y)在0,)上连续.这就要证的一致收敛性27第二十七页，讲稿共三十四页哦广义参变量积分例4(续)2.当y0时,(y)在(0,)上可导,并且因此所以注意(y)0(y),得到由此得到28第二十八页，讲稿共三十四页哦广义参变量积分例5设a0.证明：积分 在(0,a)上不一致收敛，而在(a,)上一致收敛.证明：在(a,)上,利用Dirichlet判别法,取(x,y)=1/y,g(x,y)=sin(xy),在(0,a)上,

7、对于任何A0,取x(0,a):b=/(6x)A,c=/(2x),则29第二十九页，讲稿共三十四页哦Abel判别法设,g R,满足(1)对于x,(x,y)是上的单调函数;(2)(3)在上一致收敛则 在上一致收敛30第三十页，讲稿共三十四页哦Abel判别法的证明仍使用一致收敛的充要条件(A)来证明.任取,由条件(2),A0,当aA,b0时，则当aA,b0时，x,由第二积分中值定理因此31第三十一页，讲稿共三十四页哦广义参变量积分例6证明积分 在R上一致收敛.证明证明：利用Abel判别法,取(x,y)=arctan(x2+y2),g(x,y)=sin(y)/y32第三十二页，讲稿共三十四页哦Dini判别法设为有界闭集,C()非负.如果则 在上一致收敛.证明:对于c0,定义则0,对于x,c=c(x),Fc(x)0,zB(x,),|Fc(z)-Fc(x)|/2,所以,zB(x,),Fc(z)=Fc(z)-Fc(x)+Fc(x)A时,x,必有某个B(xk,k)x,这就有Fa(x)Fc(xk)(x)34第三十四页，讲稿共三十四页哦