线性代数 行列式展开幻灯片.ppt

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1、第1页，共23页，编辑于2022年，星期一定义定义1.6 在在n阶行列式阶行列式D中中,(k阶阶)子式子式N 任选任选k行行k列相交处元素构成的行列式列相交处元素构成的行列式.(N的的)余子式余子式M 划去划去N所在行列后所在行列后,剩余元素构成的行列式剩余元素构成的行列式.一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式第2页，共23页，编辑于2022年，星期一(N的的)代数余子式代数余子式A M带上带上N的符号的符号N所在的行N所在的列第3页，共23页，编辑于2022年，星期一例如例如:四阶行列式四阶行列式 D的的2阶子式阶子式N的余子式的余子式N的代数余子式的代数余子式21101111113

2、20121-=D1113=MMA-=-=+111314131）（）（）（第4页，共23页，编辑于2022年，星期一2110111111320121-=D再如再如:四阶行列式四阶行列式 D的的1阶子式阶子式余子式余子式代数余子式代数余子式21111111311-=M12211111113)1(111111-=-=-=+MA第5页，共23页，编辑于2022年，星期一2110111111320121-=D D的的1阶子式阶子式余子式余子式代数余子式代数余子式21011111212-=M9210111112)1(122112=-=-=+MA第6页，共23页，编辑于2022年，星期一2110111111

3、320121-=D21011113213-=M5210111132)1(133113-=-=-=+MA D的的1阶子式阶子式余子式余子式代数余子式代数余子式第7页，共23页，编辑于2022年，星期一2110111111320121-=D D的的1阶子式阶子式 余子式余子式 11011113214-=M2110111132)1(144114-=-=-=+MA代数余子式代数余子式第8页，共23页，编辑于2022年，星期一 n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)各元各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即素与其对应的代数余子式的乘积之和，即二、二、n阶行列式展开定理阶行列式展开

4、定理定理定理1.3按行展开按行展开第9页，共23页，编辑于2022年，星期一或或按列展开按列展开注意注意 按某行（列）展开，是降阶简化计算行列式按某行（列）展开，是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用于某行（列）零元较多的重要方法，特别适用于某行（列）零元较多的情形。的情形。第10页，共23页，编辑于2022年，星期一例例解解 （1）直接按第一行展开计算）直接按第一行展开计算2110111111320121-=D1414131312121111AaAaAaAaD+=第11页，共23页，编辑于2022年，星期一3121010001431110-=2110111111320121-=D（2）先化

5、简再展开）先化简再展开321043110-=3210431101133-=+）（11=第12页，共23页，编辑于2022年，星期一例例 计算范德蒙行列式计算范德蒙行列式解解 从第从第n行开始，依次减去上一行的行开始，依次减去上一行的 倍。倍。第13页，共23页，编辑于2022年，星期一得得第14页，共23页，编辑于2022年，星期一按第一列展开后，从每列提取一个公因式按第一列展开后，从每列提取一个公因式得原行列式与低一阶的范德蒙行列式间的关系得原行列式与低一阶的范德蒙行列式间的关系 第15页，共23页，编辑于2022年，星期一依此类推，可得依此类推，可得 第16页，共23页，编辑于2022年，

6、星期一练习练习计算行列式计算行列式解解2764812591642534251111=D）（）（）（）（）（）（343242354525-=D第17页，共23页，编辑于2022年，星期一定理定理1.4（拉普拉斯定理）（拉普拉斯定理）若在若在n阶行列式阶行列式D中，任意选取中，任意选取k行行k列，列，这样组成的所有这样组成的所有k阶子式其对应的代数余子式乘积阶子式其对应的代数余子式乘积之和等于行列式之和等于行列式D的值。（证略）的值。（证略）第18页，共23页，编辑于2022年，星期一例例第19页，共23页，编辑于2022年，星期一第20页，共23页，编辑于2022年，星期一 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结与思考三、小结与思考第21页，共23页，编辑于2022年，星期一思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和第22页，共23页，编辑于2022年，星期一思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第23页，共23页，编辑于2022年，星期一