线性方程组求解幻灯片.ppt

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1、线性方程组求解第1页，共31页，编辑于2022年，星期一第2页，共31页，编辑于2022年，星期一向量与线性方程组向量与线性方程组 引例引例 一个方程对应一组数一个方程对应一组数矩阵的一行对应一组数矩阵的一行对应一组数线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。向量的定义向量的定义由由n个数个数组成的组成的有序数组有序数组称为一个称为一个 n 维行向量维行向量，记作，记作，其中，其中称为向量称为向量的第的第i个个分量分量（或（或坐标坐标）。）。如果将有序数组写成一列的形式，则称向量如果将有序数组写成一列的形式，则称向量为列向量。为列向量。实际

2、上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。第3页，共31页，编辑于2022年，星期一几个概念几个概念1、同维向量同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。：分量个数相等的向量称为同维向量。2、相等向量相等向量：如果向量：如果向量 与与 是同维向量，而且对应是同维向量，而且对应 的分量相等，则称向量的分量相等，则称向量 与与 相等。相等。3、零向量零向量：分量都是：分量都是0的向量称为零向量，记作的向量称为零向量，记作O。4、负向量负向量：称向量：称向量 为向量为向量 的负向量，记作的负向量，记作 。5、向量组向量组：如果：如果n个向量个

3、向量 是同维向量，则称为是同维向量，则称为 向量组向量组 第4页，共31页，编辑于2022年，星期一向量的线性运算向量的线性运算1、向量的加减法、向量的加减法，称向量，称向量设设，则称向量，则称向量为向量为向量 与向量与向量 的的和向和向量量，记作，记作为向量为向量 与向量与向量 的的差向量差向量，记作，记作 。2、数乘向量、数乘向量向量的加、减、数乘运算称为向量的向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算线性运算。设向量设向量则称向量则称向量为数为数 与向量与向量 的数称向量，记作的数称向量，记作 第5页，共31页，编辑于2022年，星期一向量线性运算的运算律向量线性运算的运算律交换律交换律结

4、合律结合律分配律分配律第6页，共31页，编辑于2022年，星期一例例1解解 练习练习：已知：已知 ，求，求 解解 第7页，共31页，编辑于2022年，星期一 向量的线性关系向量的线性关系解解 设设则则所以所以线性组合的概念线性组合的概念：设有同维向量：设有同维向量 ，如果存在，如果存在一组数一组数 ，使得，使得 成立，成立，则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 线性表示，或称向量线性表示，或称向量 是向量组是向量组 的线性组合。的线性组合。例例2设设判断向量判断向量 能否由向量组能否由向量组 线性表示？如果可以，求出线性表示？如果可以，求出表达式。表达式。小结：小结：可由向量组可由向量组线性

5、表示线性表示 线性方程组线性方程组 有解有解第8页，共31页，编辑于2022年，星期一线性相关、线性无关的概念线性相关、线性无关的概念显然：含有零向量的向量组是线性相关的。显然：含有零向量的向量组是线性相关的。因为因为设有向量组设有向量组 ，如果存在一组，如果存在一组不全为零的数不全为零的数 ，使得，使得 成立，则称成立，则称向量组向量组 线性相关线性相关，否则，称向量组，否则，称向量组 线性无关。即线性无关。即当且仅当当且仅当 全为零时全为零时，才成立，则称向量组才成立，则称向量组 线性无关线性无关。第9页，共31页，编辑于2022年，星期一证明证明例例3证明下列向量组线性无关。证明下列向量

6、组线性无关。设设 则则 所以所以 所以向量组所以向量组 线性无关。线性无关。称向量组称向量组 为为n维向量空间的维向量空间的单位坐标向量组单位坐标向量组。任何一个任何一个n维向量维向量 都可由向量组都可由向量组 线性表示，线性表示，第10页，共31页，编辑于2022年，星期一例例4 讨论向量组讨论向量组的线性相关性的线性相关性解解 设设则则利用矩阵的初等变换，可求得利用矩阵的初等变换，可求得注：有无穷多组解注：有无穷多组解可见，向量组可见，向量组线性相关线性相关齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解第11页，共31页，编辑于2022年，星期一练习练习 判断向量组的线性相关性判断向量组的线

7、性相关性 解解 设设 则有则有 因为因为 是方程组的一组非零解是方程组的一组非零解 所以所以 线性相关线性相关第12页，共31页，编辑于2022年，星期一证明证明例例5 已知向量组已知向量组 线性无关，证明：向量组线性无关，证明：向量组 线性无关。线性无关。设设 则则 因为因为 线性无关线性无关所以有所以有 解得解得 所以向量组所以向量组 线性无关。线性无关。第13页，共31页，编辑于2022年，星期一例例6 设设线性无关，又线性无关，又，试证明，试证明线性相关线性相关证明证明 设设则有则有因为因为线性无关线性无关所以有所以有由于由于所以所以不全为零不全为零所以所以线性相关线性相关事实上，可取

8、事实上，可取第14页，共31页，编辑于2022年，星期一证明证明 因为向量组因为向量组线性相关线性相关所以存在一组不全为零的数所以存在一组不全为零的数，使得，使得则则否则，若否则，若则由则由线性无关，线性无关，可推得可推得于是向量组于是向量组线性无关线性无关这与已知矛盾，所以这与已知矛盾，所以定理定理 若向量组若向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，则向量线性相关，则向量 可由向量组可由向量组 线性表示，而且表示方法惟一。线性表示，而且表示方法惟一。第15页，共31页，编辑于2022年，星期一于是于是假设另有表达式假设另有表达式则可得则可得由于由于线性无关，线性无关，所以所以

9、且表示方法唯一且表示方法唯一所以所以 可由向量组可由向量组 线性表示，线性表示，所以所以 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。第16页，共31页，编辑于2022年，星期一定理定理 向量组向量组线性相关线性相关的充分必要条件的充分必要条件是该向量组中是该向量组中至少有一个至少有一个向量可由其余的向量组线性向量可由其余的向量组线性表示。表示。证明证明 因为向量组因为向量组线性相关线性相关所以存在不全为零的数所以存在不全为零的数使得使得不妨设不妨设于是有于是有反过来，若有反过来，若有可由可由线性表示线性表示则有则有所以所以线性相关线性相关第17页，共31页，编辑于2022年，星期一例例7 设设

10、试问试问为何值时，为何值时，可由可由线性表示，且表示线性表示，且表示方法唯一？方法唯一？解解 设设则有则有（*）因为因为可由可由线性表示，且表示方法唯一线性表示，且表示方法唯一所以，方程组（所以，方程组（*）只有唯一的一组解）只有唯一的一组解所以有所以有解得解得第18页，共31页，编辑于2022年，星期一小结小结：齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解只有零解线性相关线性相关向量组向量组（1）向量组向量组线性无关线性无关（2）(3)向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示线性方程组线性方程组 有解有解第19页，共31页，编辑于2022年，星期一

11、向量组的线性相关性的几个性质定理向量组的线性相关性的几个性质定理 1、单个非零向量是线性无关的。、单个非零向量是线性无关的。2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。3、增加向量，不改变向量组的线性相关；减少向量，不改变、增加向量，不改变向量组的线性相关；减少向量，不改变 向量组的线性无关。即向量组的线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关，部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。则部分无关。4、增加分量，不改变向量组的线性无关；减少分量，不改变向、增加分量，不改变向量组的线性无关；减少分量，不改变向 量组的线性相关。即量组的线

12、性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关低维相关。5、n+1 个个 n 维的向量构成的向量组是线性相关的。维的向量构成的向量组是线性相关的。第20页，共31页，编辑于2022年，星期一向量组的极大无关组向量组的极大无关组 如果向量组如果向量组 的部分组的部分组 满足满足（1）线性无关线性无关；（；（2）任意增加一个任意增加一个向量向量（如果存在的话），（如果存在的话），向量组向量组 线性相关线性相关。则称向量组则称向量组 为向量组为向量组的一个极大线性无关组，简称为的一个极大线性无关组，简称为极大无关组极大无关组。例如：向量组例如：向量组 线性相

13、关，线性相关，线性无关。线性无关。向量组向量组 是向量组是向量组 的一个极大无关组。的一个极大无关组。向量组向量组 也是向量组也是向量组 的一个极大无关组。的一个极大无关组。可见，一个向量组的极大无关组不是惟一的。可见，一个向量组的极大无关组不是惟一的。第21页，共31页，编辑于2022年，星期一向量组的秩向量组的秩 向量组向量组 的的极大无关组中所含向量的个数极大无关组中所含向量的个数，称为称为向量组的秩向量组的秩。记作。记作例如：向量组例如：向量组 的秩为的秩为 2。如果如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即，即 ，则向量组，则向量组 线性相关线性相关

14、。矩阵矩阵A的秩的秩=矩阵矩阵A的行向量组的秩的行向量组的秩=矩阵矩阵A的列向量组的秩的列向量组的秩可利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组。可利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组。如果如果向量组的秩等于向量组所含向量的个数向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即，即 ，则向量组，则向量组 线性无关线性无关。第22页，共31页，编辑于2022年，星期一向量组的等价关系向量组的等价关系 如果向量组如果向量组A：中的每一个向量可由向量中的每一个向量可由向量组组B：线性表示，同时，向量组线性表示，同时，向量组B中的每一中的每一个向量可由向量组个向量可由向量组A线性表示，则称线性表示，则称向量

15、组向量组A与向量组与向量组B等价等价。定理：等价向量组的秩相等。定理：等价向量组的秩相等。一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。等价向量组的性质等价向量组的性质（1）反身性：向量组）反身性：向量组A与自身等价；与自身等价；（2）对称性：如果向量组）对称性：如果向量组A与与B等价，则向量组等价，则向量组B 与与A等价；等价；（3）传递性：如果）传递性：如果A与与B等价，等价，B与与C等价，则等价，则A与与C等价。等价。第23页，共31页，编辑于2022年，星期一例例1 判别下列向量组的线性相关性判别下列向量组的线性相关性解解 令令因为因为所以所以

16、线性相关。线性相关。第24页，共31页，编辑于2022年，星期一例例2 判别下列向量组的线性相关性判别下列向量组的线性相关性解解：令：令因为因为所以所以线性无关。线性无关。第25页，共31页，编辑于2022年，星期一例例3 求向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示求向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示 余下的向量。余下的向量。解解 构成矩阵，令构成矩阵，令 第26页，共31页，编辑于2022年，星期一于是，于是，是它的一个极大无关组。是它的一个极大无关组。且且 第27页，共31页，编辑于2022年，星期一例例4 求下列向量组的一个极大无关组求下列向量组的一个极大无关组解法

17、解法1：作矩阵：作矩阵记作记作第28页，共31页，编辑于2022年，星期一例例4 求下列向量组的一个极大无关组求下列向量组的一个极大无关组解法解法1：.记作记作所以所以与与等价，故有相同的秩。等价，故有相同的秩。因为因为是由是由经初等行变换而得，经初等行变换而得，显然显然线性无关，线性无关，所以所以线性无关，线性无关，又又所以所以是一极大无关组。是一极大无关组。第29页，共31页，编辑于2022年，星期一求向量组的极大无关组的另解求向量组的极大无关组的另解重要结论重要结论若矩阵若矩阵 A 经过有限次初等经过有限次初等行行变换变成矩阵变换变成矩阵 B，则，则 A 的的行行向量组与向量组与 B 的

18、的行行向量组等价，而向量组等价，而 A 的任意的任意 K 个个列列向量与向量与B 中对应的中对应的 K 个个列列向量有相同的相关性；向量有相同的相关性；若矩阵若矩阵 A 经过有限次初等经过有限次初等列列变换变成矩阵变换变成矩阵 B，则，则 A 的的列列向量组与向量组与 B 的的列列向量组等价，而向量组等价，而 A 的任意的任意 K 个个行行向量与向量与B 中对应的中对应的 K 个个行行向量有相同的相关性。向量有相同的相关性。无关无关相关相关无关无关无关无关相关相关相关相关第30页，共31页，编辑于2022年，星期一例例4 求下列向量组的一个极大无关组求下列向量组的一个极大无关组解法解法2：作矩阵：作矩阵因为因为（记作（记作 B）而而 B 中第一、二、四列的向量是线性无关的，中第一、二、四列的向量是线性无关的，故故 A 中第一、二、四列的向量是线性无关的，中第一、二、四列的向量是线性无关的，所以所以是一极大无关组。是一极大无关组。由于初等行变换不改变列向量组对应的相关性由于初等行变换不改变列向量组对应的相关性第31页，共31页，编辑于2022年，星期一