数值分析迭代法的收敛性课件.ppt
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1、第1页,此课件共32页哦复习:复习:1、矩阵的特征值与特征向量的定义与计算;、矩阵的特征值与特征向量的定义与计算;设设A为方阵,为方阵,Au=u (u 0)即即是方程是方程|E-A|=0的根的根2、矩阵的特征值与特征向量的性质、矩阵的特征值与特征向量的性质3、Ak=AAA的特征值是的特征值是第2页,此课件共32页哦一、迭代法的谱半径一、迭代法的谱半径称迭代公式称迭代公式中的矩阵中的矩阵 B 为为迭代矩阵迭代矩阵.定义定义1:定义定义2:设设A为为n阶阶方方阵阵,i(i=1,n)为为A的的特特征征值值,称称特特征征值值模模的的最最大大值值为为矩矩阵阵A的的谱谱半径,记为半径,记为称为矩阵称为矩阵
2、A的谱的谱.第3页,此课件共32页哦性质:性质:若矩阵若矩阵A的谱为的谱为 谱半径为谱半径为则则 Ak=AAAk个个的谱为的谱为(k=1,2,)谱半径为谱半径为第4页,此课件共32页哦定理:定理:设设A为任意为任意n阶方阵,阶方阵,|.|为任意由向量为任意由向量 范数诱导出的矩阵的范数,则范数诱导出的矩阵的范数,则证明:证明:对对A的任一特征值的任一特征值i 及相应的特征向量及相应的特征向量ui,都有,都有因为因为ui为非零向量,即为非零向量,即|ui|0,于是有,于是有由由i 的任意性得的任意性得第5页,此课件共32页哦定理:定理:设设A为为n阶方阵,则对任意正数阶方阵,则对任意正数,存在,
3、存在 一种矩阵范数一种矩阵范数|.|,使得,使得(证明省略)(证明省略)注:注:对对n阶方阵,一般不存在矩阵范数阶方阵,一般不存在矩阵范数|.|,使得,使得但若但若A为对称矩阵,则有为对称矩阵,则有第6页,此课件共32页哦下面的定理对建立迭代法的收敛条件十分重要下面的定理对建立迭代法的收敛条件十分重要.定理:定理:设设A为为n阶方阵,则阶方阵,则的充要条件为的充要条件为证明:证明:必要性必要性:若若则则而而于是由极限存在准则,有于是由极限存在准则,有故故第7页,此课件共32页哦充分性充分性:若若取取则存在一种矩阵范数则存在一种矩阵范数|.|,使得,使得而而于是于是所以所以第8页,此课件共32页
4、哦二、迭代法的收敛条件二、迭代法的收敛条件定理:定理:对任意初始向量对任意初始向量 x(0)和右端项和右端项g,由迭代,由迭代 格式格式 x(k+1)=Mx(k)+g 产生的向量序列收敛的充要条件为产生的向量序列收敛的充要条件为 第9页,此课件共32页哦证明:证明:必要性必要性设存在设存在n维向量维向量x*,使得,使得则则 x*满足满足由迭代公式有由迭代公式有于是有于是有因为因为x(0)为任意向量,因此上式成立必须为任意向量,因此上式成立必须即即第10页,此课件共32页哦充分性充分性:若若 则则=1不是不是M的特征值,所以的特征值,所以|I|0于是对任意于是对任意n维向量维向量g,方程组,方程
5、组(IM)x=g有唯有唯一解,记为一解,记为x*,即,即并且并且第11页,此课件共32页哦又因为又因为故对任意初始向量故对任意初始向量x(0),都有,都有即由迭代公式产生的向量序列即由迭代公式产生的向量序列x(k)收敛。收敛。推论推论1:若迭代矩阵满足若迭代矩阵满足|M|1,则迭代公式则迭代公式 产生的向量序列产生的向量序列x(k)收敛。收敛。第12页,此课件共32页哦推论推论2:松弛法收敛的必要条件是松弛法收敛的必要条件是 02证明证明:设松弛法的迭代矩阵设松弛法的迭代矩阵M有特征值有特征值因为因为由定理,松弛法收敛必有由定理,松弛法收敛必有又因为又因为而而第13页,此课件共32页哦于是有于
6、是有所以所以注:注:定理表明,迭代法收敛与否只决定于迭代定理表明,迭代法收敛与否只决定于迭代 矩阵的谱半径,与初始向量及方程组的右矩阵的谱半径,与初始向量及方程组的右 端项无关。对同一方程组,由于不同的迭端项无关。对同一方程组,由于不同的迭 代法迭代矩阵不同,因此可能出现有的方代法迭代矩阵不同,因此可能出现有的方 法收敛,有的方法发散的情形。法收敛,有的方法发散的情形。第14页,此课件共32页哦举例:解方程组举例:解方程组讨论讨论Jacobi法与法与Gauss-Seidel法的收敛性。法的收敛性。解解:由由定定理理,迭迭代代法法是是否否收收敛敛等等价价于于迭迭代代矩矩阵阵的的谱半径是否,故应先
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