弹性力学讲稿.ppt
《弹性力学讲稿.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《弹性力学讲稿.ppt(139页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、弹性力学课件弹性力学课件第一页,讲稿共一百三十九页哦 弹性力学的基本解法是,根据静力平衡条件,形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件,建立微分方程和边界条件。近似解法 因此,因此,弹性力学问题属于微分方程的边弹性力学问题属于微分方程的边值问题。值问题。通过求解,得出函数表示的精确解通过求解,得出函数表示的精确解答。答。5-1 5-1 差分公式的推导差分公式的推导第二页,讲稿共一百三十九页哦 对于工程实际问题,由于荷载和边界对于工程实际问题,由于荷载和边界较复杂,难以求出函数式的解答。为此,较复杂,难以求出函数式的解答。为此,人们探讨人们探讨弹性力学的各种近似解法,弹性力学的各种近似
2、解法,主要有主要有变分法,差分法和有限单元法。变分法,差分法和有限单元法。近似解法第三页,讲稿共一百三十九页哦 差分法差分法是微分方程的一种数值解法。它不是去求解函数 ,而是求函数在一些结点上的值 。fxo差分法第四页,讲稿共一百三十九页哦 差分法的内容是:差分法的内容是:差分法将将微分方程微分方程用差分方程(代数方程)代替,用差分方程(代数方程)代替,于是,求解微分方程的问题化为求解差分于是,求解微分方程的问题化为求解差分方程的问题。方程的问题。将将导数导数用有限差商来代替,用有限差商来代替,将将微分微分用有限差分来代替,用有限差分来代替,第五页,讲稿共一百三十九页哦导数差分公式的导出:导数
3、差分公式 在平面弹性体上划分等间距h 的两组网格,分别x ,y 轴。网格交点称为结点,h称为步长。第六页,讲稿共一百三十九页哦应用应用泰勒级数公式泰勒级数公式 将将 在在 点展开点展开,(a)第七页,讲稿共一百三十九页哦抛物线差分公式抛物线差分公式-略去式(a)中 以上项,分别用于结点1,3,抛物线差分公式结点3,结点1,第八页,讲稿共一百三十九页哦抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式中心差分公式,并由此可导出高阶导数公式。从上两式解出o点的导数公式,第九页,讲稿共一百三十九页哦 应用泰勒级数导出差分公式,可得出统一的格式,避免任意性,并可估计其误差量级,式(b)的误差为 。抛物线差分公式
4、第十页,讲稿共一百三十九页哦线性差分公式线性差分公式在式(a)中仅取一,二项时,误差量级为 。线性差分公式式(c)称为向前差分公式。向前差分公式。对结点1,得:第十一页,讲稿共一百三十九页哦对结点3,得:线性的向前或向后差分公式,主要用于对时间导数的公式中。式(d)称为向后差分公式。向后差分公式。第十二页,讲稿共一百三十九页哦例1 稳定温度场中的温度场函数T(x,y)应满足下列方程和边界条件:(在 A 中),(a)(在 上),(b)(在 上).(c)第十三页,讲稿共一百三十九页哦 稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程;在上的第一类边界条件是已知边界上的温度值;在 上的第二类边界条件是已知热
5、流密度值,其中是导热系数。第十四页,讲稿共一百三十九页哦 现在我们将式(a),(b),(c)转化为差分形式。应用图51网格,和抛物线差分公式,第十五页,讲稿共一百三十九页哦(1)将化为差分公式,得(2)若x边界516上为第一类边界条件,则 已知。(3)若y边界627上为第二类边界条件,已 知,则 (d)第十六页,讲稿共一百三十九页哦由于 所以得 这时,边界点2的是未知的,对2点须列出式(d)的方程。此方程涉及到值,可将式(e)代入。(e)第十七页,讲稿共一百三十九页哦例2 稳定温度场问题的差分解。设图中的矩形域为6m4m,取网格间距为h=2m,布置网格如图,各边界点的已知温度值如图所示,试求内
6、结点a,b的稳定温度值。ab40353025322224222017第十八页,讲稿共一百三十九页哦解出解(度)。第十九页,讲稿共一百三十九页哦思考题1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。2.应用抛物线差分公式(5-2),试导出3阶导数 的差分公式。第二十页,讲稿共一百三十九页哦 对于单连体,按应力函数单连体,按应力函数 求解时,求解时,应满足:5-2 5-2 应力函数的差分解应力函数的差分解按 求解第二十一页,讲稿共一百三十九页哦(3)求出 后,由下式求应力(假设无体力):按 求解第二十二页,讲稿共一百三十九页哦差分法求解1.1.应力公式应力公式(c)的差分表示。的差分表示。对于O
7、点,差分法求解:差分法求解:第二十三页,讲稿共一百三十九页哦相容方程化为:对每一内结点,为未知,均应列出式(e)的方程。2.2.相容方程相容方程(a)的差分的差分表示表示第二十四页,讲稿共一百三十九页哦 对边界内一行结点列式(e)方程时,需要求出边界点和边界外一行结点(虚结点)的 值。为了求虚结点的 值,需要求出边界点的 ,值。相容方程第二十五页,讲稿共一百三十九页哦3.3.应用应力边界条件应用应力边界条件(b)(b),求出边界点的,求出边界点的 ,值。值。边界条件第二十六页,讲稿共一百三十九页哦 应力边界条件用 表示 取出坐标 的正方向作为边界线s 的正向(图中为顺时针向),当移动 时,为正
8、,而 为负,所以外法线的方向余弦为边界条件第二十七页,讲稿共一百三十九页哦(f)边界条件即将上式和式(d)代入式(b),得第二十八页,讲稿共一百三十九页哦边界条件式(f),(g)分别是应力边界条件的微分,积分形应力边界条件的微分,积分形式。式。再将式(f)对s 积分,从固定的基点A到边界任一点B,得第二十九页,讲稿共一百三十九页哦 通过分部积分从A到B积分,得边界条件(h)由全微分 求边界点求边界点的的 第三十页,讲稿共一百三十九页哦 因为A为定点,和 ,均为常数,而式(h)中,加减x,y的一次式不影响应力,所以可取 故边界结点的边界结点的 和导和导数值,数值,由式(g),(h)简化为 边界条
9、件第三十一页,讲稿共一百三十九页哦式式(i)(i)的物理意义是:的物理意义是:第一式表示从A到B边界上x向面力的主矢量;第二式表示从A到B边界上y向面力的主矢量 改号;第三式表示从A到B边界上面力对B点的力距,图中以顺时针向为正。因此,可以按物理意义直接求 和 。边界条件第三十二页,讲稿共一百三十九页哦 由式(i)的第三式,可求出边界点的 值;由式(i)的前两式,可求出边界点 的 ,值,然后再求出边 界外一行虚结点的 值。边界条件第三十三页,讲稿共一百三十九页哦(2)由边界结点的 ,值,求出边界 外一行虚结点的 值;(1)在边界上选定基点A,令 ,然后计算边界上各结点的 ,;求解步骤4.4.应
10、力函数差分解的步骤应力函数差分解的步骤第三十四页,讲稿共一百三十九页哦(4)求出边界外一行虚结点的 值;(3)对边界内所有结点列式(e)的方程,联立求各结点的 值;求解步骤(5)按式(d)求各结点的应力。第三十五页,讲稿共一百三十九页哦思考题1,将应力函数看成是覆盖于区域A和边 界s上的一个曲面,则在边界上,各点 的值与从 A(基点)到B面力的合力 距有关,的一阶导数值与A到B的面力 的合力(主矢量)有关;而在区域内,应力分量与曲面的曲率,扭率有关。第三十六页,讲稿共一百三十九页哦553 3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例问题 此题无函数式解答。应用差分法求解。正方形深梁正方形深梁,
11、上边受均布荷载 ,下边两角点处有支承反力维持平衡,试求其应力。第三十七页,讲稿共一百三十九页哦1.本题具有对称性对称性,取y轴如图,并取以反映对称性。取网格如图。第三十八页,讲稿共一百三十九页哦 首先考虑对称性对称性,可以减少未知值数目,并大量减少计算工作量。按照物理意义,求出边界点上的 和其导数值(如书中所示):第三十九页,讲稿共一百三十九页哦 AB间y向面力主矢量号,AB间x向面力主矢量,AB间面力对B点力矩,以注意符号为正.第四十页,讲稿共一百三十九页哦5.求出应力求出应力,如AM线上各点应力,并绘 出分布图。4.求出边界外一行虚结点的 值值。3.对每一内点列差分方程 ,求求 出出 。2
12、.由边界点 的导数值,求出边界外一行 虚结点的虚结点的 值值。第四十一页,讲稿共一百三十九页哦比较比较:材料力学解AM上 为直线分布,弹性力学解AM上 为曲线分布,由此又说明,材料力学解法只适用于杆件。比较第四十二页,讲稿共一百三十九页哦(1)差分法是解微分方程边值问题和弹性 力学问题的有效方法。(2)差分法简便易行,且总能求出解答。(3)差分法可配合材料力学,结构力学解 法,精确地分析结构的局部应力状态。差分法优点差分法优点:差分法评价第四十三页,讲稿共一百三十九页哦(3)凡是近似解,在求导运算时会降低精 度。如 的误差为 ,则应力 的误差为 。缺点缺点:差分法评价(1)对于曲线边界和不等间
13、距网格的计 算较麻烦。(2)差分法比较适用于平面问题或二维 问题。第四十四页,讲稿共一百三十九页哦思考题:1.试用线性向前或向后差分公式,导出 的 差分方程。a(Z向厚度 )AyB2FFFxaaa2.用差分法计算 图中A点的应 力分量。第四十五页,讲稿共一百三十九页哦554 4 弹性体的形变势能弹性体的形变势能 外力势能外力势能弹性力学变分法弹性力学变分法,又称为能量法能量法。因其中的泛函就是弹性体的能量。泛函泛函是以函数为自变量(宗量)的一 种函数。变分法,变分法,是研究泛函及其极值的求解方法是研究泛函及其极值的求解方法。第四十六页,讲稿共一百三十九页哦应力变分法应力变分法取应力函数为自变量
14、,并以 余能极小值条件导出变分方程。本章只介绍位移变分法。位移变分法位移变分法取位移函数为自变量,并以 势能极小值条件导出变分方程。弹性力学变分法,是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法。其中分为:第四十七页,讲稿共一百三十九页哦外力势能外力势能外力做了功,必然消耗了相同 值的势能。当取 时的外力功和能为零,则:(b)外力功和外力势能1.1.弹性体上的外力功和外力势能弹性体上的外力功和外力势能外力功:外力功:第四十八页,讲稿共一百三十九页哦形变势能(2)因为应力和应变均从0增长到 ,故单位体积上,应力所做的功是单位体积上,应力所做的功是 非线性 关系 线 性 关系(1)作用于微小单元上的应力
15、,是邻近 部分物体对它的作用力,可看成是 作用于微小单元上的“外力”。2.2.应力的功和形变势能(内力势能)应力的功和形变势能(内力势能)第四十九页,讲稿共一百三十九页哦线性的应力与应变关系非线性的应力与应变关系第五十页,讲稿共一百三十九页哦(3)对于平面应力问题平面应力问题 或平面应变问题平面应变问题 单位体积上应力所做的功单位体积上应力所做的功都是 (c)形变势能第五十一页,讲稿共一百三十九页哦(4)假设没有转化为非机械能和动能,则 应力所做的功全部转化为弹性体的 内力势能内力势能,又称为形变势能形变势能,或应变应变 能能,存贮于物体内部。-单位体积的形变势能单位体积的形变势能(形变势能密
16、形变势能密度度)。形变势能第五十二页,讲稿共一百三十九页哦(5 5)整个弹性体的形变势能是整个弹性体的形变势能是 (d)形变势能第五十三页,讲稿共一百三十九页哦(6)将物理方程代入,平面应力问题的形平面应力问题的形 变势能密度变势能密度 ,可用形变形变表示为 对于平面应变问题,将形变势能再将几何方程代入,可用位移位移表示为第五十四页,讲稿共一百三十九页哦3.3.形变势能形变势能 的性质的性质(1)是应变或位移的二次泛函,是应变或位移的二次泛函,故不能应用叠加原理。(2)应变或位移发生时,总是正的,即(3)的大小与受力次序无关。(4)对应变的导数,等于对应的应力:(g)形变势能的性质第五十五页,
17、讲稿共一百三十九页哦4.4.弹性体的总势能弹性体的总势能,是外力势能和内力 (形变)势能之和,(h)第五十六页,讲稿共一百三十九页哦1.试证明在线性的应力与应变关系,2.试由式(e)导出式(g)。3.试列出极坐标系中平面应力问题的形变势能公式,并与式(d),(e)和(f)相比较。思考题思考题第五十七页,讲稿共一百三十九页哦555 5位移变分方程位移变分方程 在位移变分法位移变分法中,所取泛函为总势能 ,其宗量为位移函数位移函数 ,。现在来导出位移变分方程位移变分方程。第五十八页,讲稿共一百三十九页哦1.1.实际平衡状态的位移实际平衡状态的位移 ,必须满足,必须满足 用位移表示的平衡微分方程(在
18、A中);用位移表示的应力边界条件(在 上);位移边界条件(在上)。实际位移(a)其中,属于静力平衡条件静力平衡条件,属于约约束条件束条件。第五十九页,讲稿共一百三十九页哦(在 上)。2.2.虚位移状态虚位移状态 虚位移(数学上称为位移变分),表示在约束条件允许下,平衡状态附近的微小位移增量,如图所示。虚位移应满足 上的约束边界条件,即虚位移(b)第六十页,讲稿共一百三十九页哦 虚位移不是实际外力作用下发生的,而是假想由其他干扰产生的。因此,虚位移状态 就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。(c)虚位移第六十一页,讲稿共一百三十九页哦微分微分是在同一状态下,研究由于位 置(坐标)改变而引起函数的
19、改 变。其中的自变量为坐标变量x,y;而因变量为函数,如位移,有 (d)变分与微分的比较变分与微分的比较变分与微分第六十二页,讲稿共一百三十九页哦变分变分是在同一点位置上,由于状态改 变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数,如位移;而因变量为泛函,如 ,有 变分与微分(e)第六十三页,讲稿共一百三十九页哦由于微分和变分都是微量,所以 a.它们的运算方式相同运算方式相同,如式(d),(e);b.变分和微分可以交换次序变分和微分可以交换次序,如 变分与微分(f)第六十四页,讲稿共一百三十九页哦当发生虚位移虚位移(位移变分)时,虚位移上功和能 由于虚位移引起虚应变虚应变,外力势能的变分外力势能的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 弹性 力学 讲稿
限制150内