正弦定理与余弦定理课件.ppt

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1、关于正弦定理与余弦定理第1页，此课件共44页哦 1.问题的引入问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月明月 高悬高悬,我们仰望夜空我们仰望夜空,会有无限遐想会有无限遐想,不禁会问不禁会问,月亮离我们地球有多远呢月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样科学家们是怎样 测出来的呢？测出来的呢？第2页，此课件共44页哦(2)设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有

2、力工具的有力工具.第3页，此课件共44页哦正弦定理正弦定理正弦定理第4页，此课件共44页哦回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcba两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？思考思考:对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗?2.定理的推导定理的推导1.1.1 正弦定理正弦定理第5页，此课件共44页哦(1)当当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢?D如图如图:作作AB上的高是上的高是CD,根椐根椐三角形的定义三角形的定义,得到得到1.1.1 正弦定理正弦定理BACabcE第6页，此课件共44页哦(2)当当 是钝角三角形

3、时是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立以上等式是否仍然成立?BACbca1.1.1 正弦定理正弦定理D第7页，此课件共44页哦 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即1.1.1 正弦定理正弦定理解三角形解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程已知三角形的几个元素求其他元素的过程含三角形的三边及三内角含三角形的三边及三内角,由己知二角一边由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征定理结构特征:第8页，此课件共44页哦二、外接三角形中二、外接三角形中OB/cbaCBA第9页，

4、此课件共44页哦1、正弦定理、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即弦的比相等，即能否用向量法来证明正弦定理？能否用向量法来证明正弦定理？第10页，此课件共44页哦我们选择单位向量j 并让 与 垂直.jACj 与AB ACCB的夹角分别为即:jABj(AC+CB)ABC=bac第11页，此课件共44页哦c sinA=a sinC同理:a sinB=b sinABCbacA即即第12页，此课件共44页哦正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即第13页，此课件共44页哦（四）定理的应用例 1在ABC 中，已知c=10,A=45。

5、,C=30。求 b (保留两位有效数字）。解：且 b=19=已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角第14页，此课件共44页哦变式训练：（1）在ABC中，已知b=，A=，B=，求a。（2）在ABC中，已知c=，A=，B=，求b。解：=解：=又第15页，此课件共44页哦例2证明：用正弦定理证明三角形面积BACDabc而又第16页，此课件共44页哦例例3、在在ABCABC中，已知中，已知 a=28a=28，b=20b=20，A=120A=120，求，求B B（精确到（精确到11）和）和c c（保留两个保留两个有效数字）。有效数字）。baCBA120小结：小结：2、已知两

6、边和其中一边的对角解三、已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解或一解。角形，有两解或一解。如图如图第17页，此课件共44页哦（1）A为锐角为锐角a=bsinA(一解）一解）AbaBCAB2baB1CabsinAab(一解）一解）baABCbaCBAab(一解）一解）第19页，此课件共44页哦（五）总结提炼（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。正弦定理：第20页，此课件共44页哦基础练习题基础练习题1.1.1 正弦定理正弦定理B=300无解无解第21页，此课件共44页哦（3）在ABC中，B=30，AB=，AC

7、=2，则ABC的面积是解：根据正弦定理，有 所以则C有两解：1)当C为锐角时，C=60A=90S=当C为钝角时，C=120A=302)S=ABCC第22页，此课件共44页哦余弦定理余弦定理第23页，此课件共44页哦千岛湖千岛湖 ABC110.8 700m1338m第24页，此课件共44页哦千岛湖千岛湖 ABC110.8 700m1338m用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出A,B两处的距离？两处的距离？这是一个已知三角形两边这是一个已知三角形两边a和和b,和两边的夹角和两边的夹角C，求出第三边求出第三边c的问的问题题.?第25页，此课件共44页哦角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角

8、边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理第26页，此课件共44页哦ABCcba 已知三角形两边分别为已知三角形两边分别为a和和b,这这两边的夹角为两边的夹角为C，角角C满足满足什么条件什么条件时较易求出第三边时较易求出第三边c？勾股定理勾股定理你能用你能用向量向量证明勾股定理吗？证明勾股定理吗？即证即证第27页，此课件共44页哦CBAbca第28页，此课件共44页哦CBAbca第29页，此课件共44页哦CBAbca第30页，此课件共44页哦 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一边一边的平方等于其他两边的平方和的平方等于其他两边的平方和减去减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积积

9、的两倍。的两倍。勾股定理勾股定理令令C900勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？适用于任何适用于任何三角形三角形第31页，此课件共44页哦ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)能不能用坐标方法来证能不能用坐标方法来证明余弦定理呢？明余弦定理呢？B(c,0)第32页，此课件共44页哦ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)能不能用坐标方法来证能不能用坐标方法来证明余弦定理呢？明余弦定理呢？B(c,0)第33页，此课件共44页哦 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一边一边的平方等于其他两边的平方和的平方等于其他两边的平方和减去减去这这两边与它们夹角的余弦的两边

10、与它们夹角的余弦的积积的两倍。的两倍。勾股定理勾股定理令令C900勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？这个定理有什么作用？这个定理有什么作用？若已知若已知b=8,c=3,A=,能求能求a吗？吗？适用于任何适用于任何三角形三角形第34页，此课件共44页哦它还有别的用途吗它还有别的用途吗？若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角）已知三边，求三个角;（2）已知两边和它们的）已知两边和它们的夹角夹角，求第三边，进而还可，求第三边，进而还可求其它两个角。求其它两

11、个角。归纳：归纳：第35页，此课件共44页哦角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理第36页，此课件共44页哦千岛湖千岛湖 ABC110.8 700m1338m?答：答：A,B两处的距离约为两处的距离约为1716米。米。引题（精确到引题（精确到1米）米）第37页，此课件共44页哦例例3 3、在在ABCABC中，已知中，已知b=60cm,c=34cm,A=41b=60cm,c=34cm,A=41，解解三角形（角度精确到三角形（角度精确到11，边长精确到，边长精确到1 1cmcm）解：根据余弦定理解：根据余弦定理所以所以第38页，此课件共44页哦

12、例例4 4、在在ABCABC中，已知中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形解三角形（角度精确到（角度精确到1 1）解：由余弦定理的推论得解：由余弦定理的推论得第39页，此课件共44页哦练习练习：解：由余弦定理可知解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7 BC=在在ABCABC中，已知中，已知AB=2AB=2，AC=3AC=3，A=A=，求求BCBC的长的长第40页，此课件共44页哦例例5：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三一钝角三角形的边长为连续自然数，

13、则这三边长为（边长为（）分析：分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于于0。B中：中：，所以，所以C是钝角是钝角D中：中：，所以，所以C是锐角，是锐角，因此以因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形为三边长的三角形是锐角三角形A、C显然不满足显然不满足BA、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6第41页，此课件共44页哦例例6 6：在在 ABCABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC=,a=7,b=8,cosC=,求求最大角的余弦值最大角的余弦值分析：求

14、最大角的余弦值，最主要的是判断哪个分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边三边,找到最大角。找到最大角。解：解：则有：则有：b是最大边，那么是最大边，那么B 是最大角是最大角第42页，此课件共44页哦小结小结1 1、余弦定理及其推论、余弦定理及其推论2 2、余弦定理的应用、余弦定理的应用（1）已知三边，求三个角）已知三边，求三个角;（2）已知两边和它们的）已知两边和它们的夹角夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。求第三边，进而还可求其它两个角。（3）判断三角形）判断三角形第43页，此课件共44页哦2022/10/6感谢大家观看第44页，此课件共44页哦