群论第二章幻灯片.ppt

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1、群论课件第二章第1页，共42页，编辑于2022年，星期二说明：1.一个群中的单位元是唯一的。2.一个元素的逆元是唯一的。若则所以2第2页，共42页，编辑于2022年，星期二1.2 群的分类1.群阶：群元的数目。记作g。-有限群：g有限。例：循环群：群中所有的群元是按某个元的幂来产生。运算为乘法-无限群：g无限 例：所有整数的集合，运算为加法按个数分：有限群和无限群3第3页，共42页，编辑于2022年，星期二2.群乘：将集合中的任意两个元构成唯一的 另一个元的一种运算。群乘不一定 是通常代数中的乘法。不一定成立-交换群或者阿贝尔群：满足交换律 （循环群都是阿贝尔群）-非交换群：不满足交换律按运算

2、方法分：交换群和非交换群不一定满足交换律。4第4页，共42页，编辑于2022年，星期二1.3 群元的基本性质1.单位元 E-1=E,E的逆元仍为E2.逆元(A-1)-1=A,逆元之逆元为元素本身3.乘积的逆元(AB)-1=B-1A-1请证明！5第5页，共42页，编辑于2022年，星期二1.4 具体群的举例1.数群（取数学对象为普通的数）以数为群元，以数学运算为群乘，构成数群例(1)：全部正负整数(包括0)的集合，群乘为加法E=0，A=n,A-1=-n这是无限群、可交换群（阿贝尔群）例(2)：全部正负整数(不包括0)的集合，群乘为乘法E=1，A=n,A-1=1/n提问：这是不是群？为什么？答案：

3、不是，因为A-1=1/n不是整数，A没有逆元。6第6页，共42页，编辑于2022年，星期二2.矩阵群 例：矩阵群d3=e,a,b,c,d,f100010100e=010a=100b=001001001010001001010c=010d=100f=001100010100满足封闭性，单位元，逆元都存在，并且满足结合律（同学自证）7第7页，共42页，编辑于2022年，星期二1.5群表和群表定理1.群表:（群的乘法表）群中所有元素两两乘积的结果群表一定，群元之间的关系就完全确定了左因子（第一因子）右因子(第二因子)8第8页，共42页，编辑于2022年，星期二2.群表定理（重排定理）一个群的全部元，

4、在群表中的每一行或每一列都要出现，而且只出现一次，只是次序不同。数学表述如下：G：E，A2，A3，A4-AgAkG:Ak，AkA2，AkA3，AkA4-AkAg中或GAk:Ak，A2AK，A3Ak，A4Ak-AgAk中每个元素必然出现并只出现一次(只是重排)，即群G 被其中的元素左乘或右乘仍为该群G.AkG=GAk=G9第9页，共42页，编辑于2022年，星期二重排定理：AkG=GAk=G求证:GAk=G 证明:第一步：证明每个元素必出现在GAk中（即证明若元素XG，则必XGAk）令Ar=XAk-1X，Ak-1G,ArG (封闭性)则X=ArAkG Ak第二步：证明每个元素只出现一次（即证明若

5、又有一元素AsG使AsAk=X,则必有As=Ar）AsAk=X,又由前面可知X=ArAk，ArAk=AsAk则Ar=Ar（AkAk-1）=（ArAk）Ak-1=（AsAk）Ak-1=As（AkAk-1）=As10第10页，共42页，编辑于2022年，星期二1.6 几种对称群 1.晶体平移群 格矢：空间点阵之间的矢量（平移矢量）。平移群：所有平移操作的集合构成一个群。2.分子转动群 以对称操作为群元，以相继操作为群乘，构成对称群11第11页，共42页，编辑于2022年，星期二例D3群E不动C绕C轴转180oA绕A轴转180oD逆时针转120oB绕B轴转180oF逆时针转240o12第12页，共4

6、2页，编辑于2022年，星期二两个相继操作：先操作右（第二）因子，后操作左（第一）因子例如：AB=DBADBC=DCBD作业：D2=？D3=？DA=？AD=？13第13页，共42页，编辑于2022年，星期二D3群的乘法表14第14页，共42页，编辑于2022年，星期二3.置换群以变换位置的操作为群元，以相继操作为群乘，构成置换群（1）置换操作123f=位置1上的粒子换到位置3上了312（2）循环表示法123f=312123a=213（1 3 2）（1 2）没有置换的不写15第15页，共42页，编辑于2022年，星期二置换群S3S3群由以下六元素构成：123123123e=a=b=1232131

7、32123123123c=d=f=321231312 a=(1 2)b=(2 3)c=(1 3)d=(1 2 3)f=(1 3 2)构成群S3=E,(1,2)(2,3)(1,3)(1,2,3)(1,3,2)写出乘法表16第16页，共42页，编辑于2022年，星期二设有、三个物体，分别置于1，2，3三个位置baab=d1 2 32 3 1ddd=eddd17第17页，共42页，编辑于2022年，星期二S3群的乘法表18第18页，共42页，编辑于2022年，星期二 第二节 子群和陪集2.1子群(1)定义：群G中的一些元的集合S，若在相同的群乘定义下又构成群，则S称作群G的子群。例：D3群 E A，

8、E D F是子群 A B，A B E不是子群 无单位元 无封闭性名词：平凡子群：任何群都存在两个平凡子群，一个是仅有单位元E构成的子群，另一个是G本身。即E，G 真子群：S不是平凡子群，是真子群19第19页，共42页，编辑于2022年，星期二(2)子群的基本性质子群中的单位元就是大群中的单位元证明：设E是S中的单位元，则对任意AS E A=A,又EA=A 所以E A=EA，因此E=E子群中的任一元素的逆元，就是该元素在大群中的逆元证明：设AiAj S，且AiAj=E，所以Ai Aj在大群中也互逆两个子群的交集仍然是子群20第20页，共42页，编辑于2022年，星期二(3)子群的判别定理 群G中

9、有一个非空集合S是G的一个子群的充分必要条件是：若S中包含元素Ai 和Aj，它也应该包含Ai 和Aj的乘积AiAj若S中包含元素Ai，它也应该包括Ai的逆元Ai-1注：说明群元的组合规则在G中成立，则在H中也成立。说明单位元和逆元的存在。21第21页，共42页，编辑于2022年，星期二2.2 陪集(1)定义：设S是群G中的子群，其群元是E,S2,Ss,取群G中不属于子群S的一个元X右乘子群的所有元，所得的集合SX为 SX=EX,S2X,SsX 称作子群关于X的右陪集；同样可以定义左陪集，XS称为关于X的左陪集。注：若XS，则根据重排定理，有 SX=XS=S 这仍是子群本身，不称为陪集22第22

10、页，共42页，编辑于2022年，星期二(2)有关陪集的定理陪集中的元素各不相同 证明：若XAi=XAj，则有Ai=Aj陪集定理陪集SX 和SY要么完全相同，要么完全不同（即若有一共同元，则全同）证明：若有一共同元，SmX=SnY(Sm,SnS)则Sm-1SmXY-1=Sm-1SnYY-1(左乘Sm-1，右乘Y-1)因此XY-1=Sm-1SnS (封闭性)则SXY-1=S 群表定理(只是重排,元素结合不变)故SX=SY推论：有限群G可被子群及其陪集完全划分23第23页，共42页，编辑于2022年，星期二若X不是S的一个元，那么SX不是一个群。证明：若SX是一个群，则ESX，则存在 SmS，且Sm

11、X=E.则有X=Sm-1，因为Sm-1 S,所以XS，与假设矛盾。G中的每一个元必落在子群或某一个右陪集中。证明：XG，且XSX。XS时，X就落在子群S中。若Y是SX的元，那么SY与SX是相同的。证明：Y=EY=S1Y,YSY.根据陪集定理，若YSX，则有：SYSX24第24页，共42页，编辑于2022年，星期二(3)子群的阶定理（lagrange定理）若子群S群G，则有限群G的 阶g,子群S的阶是h，则g是h的整数倍。即g=hl式中，l是整数，称为子群S在G下的指数。证明：1.群S 及其陪集必然包括大群G 中所有的元答案：S 中有E（群G 中任何一个S 以外的元素X必然在陪集SX中）2.SX

12、和SY要么全同，要么全不同（陪集定理）3.子群S 与陪集SX没有共同元（X应不属于S）若有Sm=SnX则X=Sn-1SmS，与前提矛盾4.子群与其陪集的阶相同（元素的数目相同）,皆为h5.由以上四点可知，g是h的正整因子G =S +SX+SY +SW（g）（h）（h）（h）（h）25第25页，共42页，编辑于2022年，星期二作 业1.根据D3群，请计算出D2=？D3=？DA=？AD=？从上述计算中可以得到什么样的结论？2.请写出D3群的子群及其与子群对应的左（右）陪集26第26页，共42页，编辑于2022年，星期二 第3节 共轭元素和共轭类3.1共轭元素(1)定义：如果群G中存在元素A,B,

13、X,使得下面的关系成立B=X-1AX或者B=XAX-1则称群元B与群元A互相共轭(2)性质对称性：由B=X-1AX，左乘X，右乘X-1，得XBX-1=XX-1AXX-1=A即若A是B的共轭，B也是A的共轭。27第27页，共42页，编辑于2022年，星期二传递性：若B=XAX-1，C=YBY-1，则C=Y(XAX-1)Y-1=(YX)A(X-1Y-1)=(YX)A(YX)-1=ZAZ-1,(X,Y,Z,A,B,CG)即若A与B共轭，B与C共轭，则A与C共轭反身性：Abel群中每个元自共轭X-1AX=X-1XA=A单位元自共轭28第28页，共42页，编辑于2022年，星期二3.2 共轭类(1)定义

14、：群G中所有互相共轭的元素形成的完全集合-群中的共轭类，常用C表示 即 XCX-1=CXG式中：C=C1,C2,Cn,XCiX-1=Cj(i,j=1,2,n)(2)性质单位元自成一类不同的类中没有共同元除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因为这些类中不包含单位元Abel群的每个元自成一类（请证明）29第29页，共42页，编辑于2022年，星期二矩阵群中，同一类的元各互为相似矩阵，因而有相同的矩阵迹因为B=XAX-1所以Tr(B)=Tr(XAX-1)=Tr(XX-1A)=Tr(A)同一类的元素具有相同的阶数即：如群中有一元A，其阶为a，则Aa=E，那么与A同类的任意元XAX-1亦具有相同的阶a

15、证明(XAX-1)a=(XAX-1)(XAX-1)(XAX-1)=XAaX-1=XEX-1=E30第30页，共42页，编辑于2022年，星期二（3）怎样求一个群中的共轭类例 D3=E，A，B，C，D，FC1=EA所在的类？D所在的类E-1AE=A.A-1AA=A.B-1AB=C.C-1AC=BD-1AD=CF-1AF=BC2=A，B，CC3=D，F31第31页，共42页，编辑于2022年，星期二 第4节 商群4.1共轭子群定义：设S是群G的一个s阶子群S=S1=E,S2,Ss X是群G中某个确定的元素，则集合：XSX-1=XS1X-1,XS2X-1,XSsX-1构成群，称作群G的共轭子群证明：

16、封闭性，结合律，单位元，逆元32第32页，共42页，编辑于2022年，星期二4.2 正规子群(不变子群，自共轭子群)(1)定义：对于群G中的每一个元X，当G的子群S满足 XSX-1=S时，就称S为正规子群，记作N注：正规子群的定义并不是指子群S中的每一 个元Sm以及群G中的每一个元X都使等式 XSmX-1=Sm 成立。而仅仅是说两个集合XSX-1及S包含有相同的元33第33页，共42页，编辑于2022年，星期二(2)性质 N与G中的任何群元都对易 XN=NX 一个正规子群的自乘积仍是正规子群 NN=N N与其陪集的内积仍为该陪集本身 NXN=XN2=XN对于一切AG，正规子群S对于A的左陪集A

17、S以及右陪集SA是一样的。既有AS=SA。请证明！34第34页，共42页，编辑于2022年，星期二正规子群的陪集定理：一个正规子群的两个陪集的乘积必定是一个陪集或一个正规子群证明：设正规子群的两个陪集是NK和NL，K，LG，使群中任意两个元。则有：NKNL=NKN(K-1K)L=N(KNK-1)KL=NNKL=N(KL)若KL=F不属于N，则N(KL)就是一个陪集。若KL属于N，则N(KL)就是一个正规子群。一个正规子群，包含一个或几个完全类。反之，包含一个或几个完全类的子群都是正规子群（自证）35第35页，共42页，编辑于2022年，星期二3.商群定义：设有一个阶数为g的群G，有阶数为h的正

18、规子群N，则按陪集定理，群G可按N的左（或右）陪集分解（包括正规子群）。于是N和N的所有不同陪集形成一个集合，将这个集合的乘法叫做群乘，则此集合构成一个群，叫商群或者因子群。记为：G/N.有 G/N=N,NX2,NX3,NXh请证明：封闭性，结合律，单位元，逆元36第36页，共42页，编辑于2022年，星期二求出D3群的商群 先求出D3群的正规子群子群：EE,AE,BE,CE,D,FE,A,B,C,D,F共轭类：EA,B,CD,FN1=E N2=E,D,F N3=E,A,B,C,D,F商群：G/N1=(E),(A),(B),(C),(D),(F)G/N2=(E,D,F),(A,B,C)G/N3

19、=(E,A,B,C,D,F)37第37页，共42页，编辑于2022年，星期二第五节 同构与同态1.同构（isomorphism）(1)定义：有两个群G=E,A,B,C,和G=E,A,B,C,，它们中的元素存在一一对应的关系，即 A A,B B,C C,在各自群乘的定义下，若AB=C时，有AB=C对一切群元成立，则这两个群称为同构群。注：互相同构的两个有限群，阶相同，且有相同 的群乘表。同构关系是一种等价关系38第38页，共42页，编辑于2022年，星期二2.同态（homomorphism）（1）定义：有两个群G=A1,A2,B1,B2,C1,C2,和 G=A,B,C,若群元之间存在着多对一的单

20、方面度应关系：A1,An A B1,Bn B 在各自群乘的定义下，若AiBj=Ck，均对应于AB=C，则这两个群同态，或称准同构（2）性质 同态是同构的特殊体系（n=1）同态关系不是等价关系，但具有传递性39第39页，共42页，编辑于2022年，星期二第六节 直积群定义：有两个群Ga和Gb，它们的阶分别为ga和gb。其中，Ga=E，A2，Aga,Gb=E，B2，Bgb,如果它们满足下列要求：(1)Ga、Gb除单位元以外没有公共元 (2)群Ga中的每一个群元与Gb中的每一群元对易。则有：=E，A2，Aga,B2,A2B2,AgaB2,AgaBgb 形成一个gagb阶的群，其群元可写成AiBk的形

21、式，这个群就记作Ga与Gb的直积群G。记作 G=40第40页，共42页，编辑于2022年，星期二例：2.性质(1)(2)若Ga和Gb是阿贝尔群，则它们的直积也是阿贝尔群(3)Ga中的子群与Gb中的子群的直积是它们直积中的子群(4)Ga中的类与Gb中的类的直积是它们直积中的类(5)Ga中的正规子群，与Gb中的正规子群直积，是它们直积中的正规子群。41第41页，共42页，编辑于2022年，星期二3.利用直积由小群变成大群 例：设有A，B，C。满足A2=B2=C2=(AB)2=(AC)2=(BC)2=E 求：由A,B,C生成的群。解：G1=E，A，G2=E，B42第42页，共42页，编辑于2022年，星期二