求导数的方法法则与公式.ppt

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1、求导数的方法法则求导数的方法法则与公式与公式现在学习的是第1页，共39页一、函数和、差、积、商的求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则 如果函数如果函数u(x)和和v(x)是是x的可导函数的可导函数,则它们的和、差、积、商则它们的和、差、积、商(分母不为零分母不为零)也是也是x的可导函数的可导函数,并且并且(1)u v=u v(2)(uv)=u v+uv(3)特别特别,现在学习的是第2页，共39页推论推论:(2)Cf(x)=Cf (x)(1)(3)现在学习的是第3页，共39页例例1.求求 y=x3 2x2+sinx 的导数的导数解解:y=(x3 2x2+sinx)=(x3)(2x2)+(si

2、nx)=3x2 4x+cosx现在学习的是第4页，共39页例例2.求求y=sin2x lnx的导数的导数解解:y=2sinx cosx lnxy=2(sinx)cosx lnx+2sinx(cosx)lnx +2sinx cosx(lnx)=2cosx cosx lnx+2sinx(sinx)lnx现在学习的是第5页，共39页例例3.求求y=tanx的导数的导数解解:=sec2x即即(tanx)=sec2x同理可得同理可得:(cotx)=csc2x现在学习的是第6页，共39页例例4.求求y=secx的导数的导数解解:=secxtanx同理可得同理可得:(cscx)=cscxcotx即即(sec

3、x)=secxtanx现在学习的是第7页，共39页二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则 如果函数如果函数u=(x)在点在点x处可导处可导,y=f(u)在对应点在对应点u=(x)处也可导处也可导,则有复合函数则有复合函数y=f(x)在点在点x可导可导,其导数为其导数为:即即复合函数的导数复合函数的导数,等于函数对中间等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导变量的导数乘以中间变量对自变量的导数数现在学习的是第8页，共39页公式也可写成公式也可写成公式还可推广到多次复合的情形公式还可推广到多次复合的情形.如如 y=f(u)，u=(v),v=g(x),则则关键关键:搞清复合函数结构搞清

4、复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导由外向内逐层求导由外向内逐层求导.现在学习的是第9页，共39页例例5.求求y=lnsinx的导数的导数解解:y=lnu,u=sinx=cotx求复合函数的导数的关键求复合函数的导数的关键:对复合函数进行正确的分解对复合函数进行正确的分解现在学习的是第10页，共39页三、用复合函数求导法则求隐函数的导数三、用复合函数求导法则求隐函数的导数 由方程由方程F(x,y)=0确定了确定了y是是x的函数的函数,这样的函数称为这样的函数称为隐函数隐函数.隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程用复合函数求导法则直接对方程两边求导两边求导.现在学

5、习的是第11页，共39页 下面介绍不必显化，就能直接求出隐函下面介绍不必显化，就能直接求出隐函 数导数的方法数导数的方法.隐函数隐函数求导方法求导方法求导方法求导方法:两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)现在学习的是第12页，共39页例例6.求求 xy+lny=1 所确定的隐函数的所确定的隐函数的导数导数y 解解:方程两边对方程两边对x求导得求导得:现在学习的是第13页，共39页例例7.设设 x4 xy+y4=1,求求y 在点在点(0,1)处的值处的值解解:方程两边对方程两边对x求导得求导得:4x3 y xy+4y3y=0 (1)方程方程(1)两边再对两边再对x求导得求导得

6、:12x2 2y xy+12y2(y)2+4y3y=0 (2)(1),(2)分别代入分别代入x=0,y=1得得现在学习的是第14页，共39页例例8.求曲线求曲线3y2=x2(x+1)在点在点(2,2)处的切处的切 线方程线方程解解:方程两边对方程两边对x求导得求导得:6yy=3x2+2x因而所求切线方程为因而所求切线方程为:即即 4x 3y 2=0现在学习的是第15页，共39页例例9.求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解:椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导故切线方程为故切线方程为即即现在学习的是第16页，共39页四四.任意指数的幂函数任意指数的幂函数y=x (R)的导数的

7、导数对数求导法对数求导法:先对等式两边取对数先对等式两边取对数,然后根据隐然后根据隐函数的求导法求出导数函数的求导法求出导数对对y=x 两边取对数两边取对数,得得:lny=lnx两端对两端对x求导求导,得得:即得即得(x)=x 1 现在学习的是第17页，共39页五、指数函数五、指数函数y=ax(a0,且且a 1)的导数的导数两边取对数两边取对数,得得:lny=xlna两端对两端对x求导求导,得得:即得即得 (ax)=axlna y=ylna特别特别,(ex)=ex 现在学习的是第18页，共39页例例11.设设解解 令令现在学习的是第19页，共39页例例12.12.解解现在学习的是第20页，共3

8、9页例例13.求函数求函数 的导数的导数解解:现在学习的是第21页，共39页例例14.14.解解:现在学习的是第22页，共39页例例15.求求 (x2)的导数的导数解解:现在学习的是第23页，共39页六、反函数的求导法则六、反函数的求导法则 设函数设函数x=(y)在某区间在某区间Iy内单调可导内单调可导,且且 (y)0,则它的反函数则它的反函数y=f(x)在对应区在对应区间间Ix也可导也可导,且有且有或或 即反函数的导数等于直接函数的导即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数数的倒数x=(y)1=(y)y 现在学习的是第24页，共39页例例16.求函数求函数y=arcsinx的导数的导数解解:其

9、反函数其反函数x=siny在在(/2,/2)内单调内单调可导可导且且(siny)=cosy0在在(1,1)内有内有:现在学习的是第25页，共39页故故同理有同理有:现在学习的是第26页，共39页例例17.17.证明证明证：证：y=arc tanx是是x=tan y在在上的反函数上的反函数x=tan y在在内单调，可导，且内单调，可导，且现在学习的是第27页，共39页例例18.求函数求函数 的导数的导数解解:现在学习的是第28页，共39页 确定确定y与与x间的函间的函数关系数关系,称此为称此为由参数方程所确定的函数由参数方程所确定的函数七、由参数方程所确定的函数的导数七、由参数方程所确定的函数的

10、导数若参数方程若参数方程例如例如,消去参数消去参数t现在学习的是第29页，共39页 设函数设函数x=(t)具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数t=1(x)问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?设函数设函数x=(t),y=f(t)都可导都可导,且且(t)0,由复合函数和反函数的求导法则由复合函数和反函数的求导法则,有有:即即,则则y=f 1(x)现在学习的是第30页，共39页例例19.求摆线求摆线 在在 处的处的切线方程切线方程解解:=1现在学习的是第31页，共39页当当时时,所求切线方程为所求切线方程为:即即现在学习的是第32页，共39页例例20.求下列函数的求下列函数的n阶导数阶导数:(1)y=xn (2)y=ex (3)y=sinx解解:(1)y=nxn 1y=n(n 1)xn 2.(xn)(n)=n!(2)y=exy=ex.(ex)(n)=ex现在学习的是第33页，共39页(3)y=cosxy=sinxy=cosxy(4)=sinx.同理同理现在学习的是第34页，共39页现在学习的是第35页，共39页现在学习的是第36页，共39页现在学习的是第37页，共39页现在学习的是第38页，共39页现在学习的是第39页，共39页