弹性力学第四章应力应变问题建立讲稿.ppt

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1、弹性力学第四章应力应变问题建立第一页，讲稿共六十二页哦目录目录4.1 广义胡克定律广义胡克定律4.2弹性体的应变能函数弹性体的应变能函数4.3 弹性力学问题的提法弹性力学问题的提法4.4 弹性力学解的唯一性定理弹性力学解的唯一性定理 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法4.5 局部影响原理局部影响原理 解的叠加原理解的叠加原理第二页，讲稿共六十二页哦静力学静力学静力平衡方程静力平衡方程 描述描述力力（应力）关系（应力）关系运动学运动学几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程 描述描述变形变形（应变，位移）关系（应变，位移）关系应力与应变间？应力与应变间？有着完全确定的关系有着完全确定的关系是材料的

2、固有特性是材料的固有特性称作称作物理方程物理方程或或本构关系本构关系 胡克定律胡克定律第三页，讲稿共六十二页哦应力应变关系属于材料性能应力应变关系属于材料性能 称为称为物理方程物理方程或者或者本构方程本构方程单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定：单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定：这一定律是虎克在大量的材料拉伸、剪切试验研究基这一定律是虎克在大量的材料拉伸、剪切试验研究基础上于础上于1678年正式发表的，它虽然简单却非常重要，这年正式发表的，它虽然简单却非常重要，这一定律奠定了弹性理论的物理基础。一定律奠定了弹性理论的物理基础。复杂应力状态复杂应力状态难以通过实验确定难以通过

3、实验确定4.1 广义胡克定律广义胡克定律第四页，讲稿共六十二页哦 与此相关的是材料受拉时的侧向收缩现象。法国科学家泊松与此相关的是材料受拉时的侧向收缩现象。法国科学家泊松（PoissonPoisson）指出：材料在一个方向的拉伸必伴随着与之垂直方）指出：材料在一个方向的拉伸必伴随着与之垂直方向的收缩，收缩比：向的收缩，收缩比：弹性常数中，弹性常数中，E E拉压弹性模量，简称弹性模量、杨氏（拉压弹性模量，简称弹性模量、杨氏（YongYong）模量。）模量。G G剪切弹性模量，简称刚度模量。剪切弹性模量，简称刚度模量。侧向收缩系数，简称泊松比。侧向收缩系数，简称泊松比。4.1 胡克定理胡克定理2对

4、每一种材料，它们都是定植。这为试验所对每一种材料，它们都是定植。这为试验所证明。对于均匀、各向同性材料，可以证明证明。对于均匀、各向同性材料，可以证明只有只有2 2个独立弹性常数。三个常数个独立弹性常数。三个常数E E，G G，间存在关系：间存在关系：第五页，讲稿共六十二页哦上式表明，物体中一点的3个正应力与3个正应变之间相互牵连，而剪应力与剪应变之间互不相关。广义胡克定律逆弹性关系关系4.1 胡克定理胡克定理3第六页，讲稿共六十二页哦 各向同性材料广义胡克（Hooke）定律l称为拉梅（Lame）弹性常数4.1 胡克定理胡克定理4将前三式相加，则有体积应变体积应力又称为应变张量剪应变 第七页，

5、讲稿共六十二页哦工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为两个独立的弹性常数实验测定：单向拉伸实验可以测出弹性模量E薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G4.1 弹性常数弹性常数5第八页，讲稿共六十二页哦各向同性材料主应力状态对应的切应力分量均为零。所有的切应变分量也为零。所以，各向同性弹性体应力主轴同时又是应变主轴应力主方向和应变主方向是重合的4.1 弹性常数弹性常数6以应力主轴为坐标轴，则对应的切应力分量均应为零。第九页，讲稿共六十二页哦物理意义物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。数学反映应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。金属材料各向同性弹性体，是最常见的工程材料

6、。弹性力学主要讨论各向同性材料。各向同性弹性体4.1 胡克定理胡克定理7第十页，讲稿共六十二页哦4.2 弹性体的应变能函数弹性体的应变能函数.应变能弹性体发生变形时，弹性体发生变形时，外力作的功外力作的功将转化为将转化为弹性体的内能弹性体的内能。对于完全弹性体，内能就是物体的对于完全弹性体，内能就是物体的应变能应变能设设U U0 0为弹性体单位体积的应变能，经推导，得到同时用为弹性体单位体积的应变能，经推导，得到同时用应力和应变表达的应变能应力和应变表达的应变能（推导略）（推导略）第十一页，讲稿共六十二页哦仅用应力表示的应变能函数仅用应力表示的应变能函数 将应变能对应变分量求导，能够得到应力将

7、应变能对应变分量求导，能够得到应力.格林公式格林公式 4.2 应变能应变能2第十二页，讲稿共六十二页哦仅用应变分量表达的应变能仅用应变分量表达的应变能（推导略）（推导略）可见 U0 恒大于零，即单位体积的应变能总是正的。4.2 应变能应变能3第十三页，讲稿共六十二页哦总结弹性力学基本理论；讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系基本方程和边界条件。4.3 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 弹性力学问题的解法弹性力学问题的解法第十四页，讲稿共六十二页哦弹性力学基本方程 1.平衡微分方程2.几何方程 4.3 基本方程基本方程2第十五页，讲稿共六十二页哦3.变形协调方程位移作为基本未知量时，

8、变形协调方程自然满足。4.3 基本方程基本方程3第十六页，讲稿共六十二页哦3.本构方程广义胡克定律 应力表示 应变表示 4.3 基本方程基本方程4第十七页，讲稿共六十二页哦边界条件若物体表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知则面力边界条件为：若物体表面的位移 已知，则位移边界条件为 若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件4.3 基本方程基本方程5第十八页，讲稿共六十二页哦 总结：总结：4.3 基本方程基本方程6已建立的方程反映力学关系的平衡微分方程（3个）反映变形关系的几何方程（6个）反映物理性质的本构方程（6个）这些方程称作基本方程或泛定方程（15个）第十九页，讲稿共六十

9、二页哦变形协调方程变形协调方程由几何方程求解位移由几何方程求解位移时，需要确定变形是时，需要确定变形是否协调否协调4.3 基本方程基本方程7第二十页，讲稿共六十二页哦弹性力学问题的提法弹性力学问题的提法已知什么已知什么几何性质：形状与尺寸几何性质：形状与尺寸物理性质：物理性质：E，G 等等受载荷情况：受载荷情况：体力体力 Fb面力面力 Fs物体的约束情况：边界位移物体的约束情况：边界位移 u,v,w求什么求什么应力分量应力分量ij ，6个个应变分量应变分量ij，6个个位移分量位移分量 u,v,w，3个个 一共一共15个个变变量量怎样求怎样求建立变量间的关系（一般是微分方程）建立变量间的关系（一

10、般是微分方程）解方程（求积分）解方程（求积分）由已知条件确定待定常数由已知条件确定待定常数4.3 基本提法基本提法1第二十一页，讲稿共六十二页哦弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。4.3 基本提法基本提法2第二十二页，讲稿共六十二页哦在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第第一一类类边边值值问问题题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fs

11、z，边界条件为面力边界条件。第第二二类类边边值值问问题题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。4.3 基本提法基本提法3第二十三页，讲稿共六十二页哦第三类边值问题第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。4.3 基本提法基本提法4第二十四页，讲稿共六十二页哦边值问题边值问题基本方程基本方程与与边界条件边界条件构成了边值问题构成了边值问题按

12、边界条件的不同，边值问题分为按边界条件的不同，边值问题分为三类三类体力体力面力面力位移位移对应边界条件对应边界条件第一类边值问题第一类边值问题已知已知面力边界条件第二类边值问题第二类边值问题已知已知位移边界条件第三类边值问题第三类边值问题已知部分表面已知部分表面已知混合边界条件第二十五页，讲稿共六十二页哦三种直接解法：三种直接解法：理 论 上：由15个方程可同时求解15个变量实 际 上：比较困难，也没有必要通常做法：选部分作为基本未知量，列出只含有这些未知量的方程，先求这些未知量，然后求其它位移解法位移解法以位移为基本未知量：位移位移几何方程应变应变本构方程应力应力应力解法应力解法以应力为基本

13、未知量：应力应力本构方程应变应变几何方程+协调方程协调方程位移位移 混合解法混合解法以部分位移和部分应力为基本未知量如何列出只含基本未知量的方程？如何列出只含基本未知量的方程？“消元消元”法法注：不同于直接解法的是不同于直接解法的是逆解法逆解法、半逆解法半逆解法等等第二十六页，讲稿共六十二页哦基本思路基本思路导出仅含有导出仅含有3个位移分量个位移分量u,v,w的方程，的方程，即从基本方程中消去应力和应变分量，即从基本方程中消去应力和应变分量，留留3个方程即可求解个方程即可求解“消元消元”方法方法将将应力应力用用应变应变表示表示胡克定律胡克定律将将应变应变用用位移位移表示表示几何方程几何方程故可

14、将故可将应力应力用用位移位移表示表示将用将用位移位移表示的表示的应力应力代入平衡方程代入平衡方程得到只含有得到只含有位移位移分量的平衡方程分量的平衡方程位移解法位移解法第二十七页，讲稿共六十二页哦将几何方程代入应变表示的本构方程得到由位移分量表达的应力分量 其中4.3 位移解法位移解法2第二十八页，讲稿共六十二页哦将位移表示的应力分量 代入静力平衡方程得到以位移表示的平衡方程，称拉梅（Lam）方程：2为拉普拉斯运算符号第二十九页，讲稿共六十二页哦说明位移解法就是解用位移表示的平衡方程 拉梅方程该方程是静力平衡方程、几何方程、物理方程的综合该方程是关于3个位移变量的微分方程 u(x,y,z),v

15、(x,y,z),w(x,y,z)如果已知的边界条件为位移边界条件问题变为求在内部满足拉梅方程在边界处满足边界条件的位移函数如果已知的边界条件为应力边界条件因前面只给出了用应力表示的边界条件所以下面设法将其用位移表示4.3 位移解法位移解法4第三十页，讲稿共六十二页哦得位移函数表达的面力边界条件这一边界条件几乎不可能实现 4.3 位移解法位移解法5第三十一页，讲稿共六十二页哦位移解法的基本未知量为3个位移函数基本方程为3个拉梅方程对于位移边界条件，位移解法是十分的合适的。4.3 位移解法位移解法6第三十二页，讲稿共六十二页哦总之，位移解法以位移为基本未知函数，归结为在给定的边界条件下求解位移表示

16、的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。位移解法 可以求解 三类 弹性力学边值问题。4.3 位移解法位移解法7第三十三页，讲稿共六十二页哦应力函数作为基本未知量求解的方法称为应力解法。应力解法综述用应力法求解，必须满足平衡微分方程、变形协调方程。应力解法的基本方程 应力表示的变形协调方程应力解法应力解法4.3 应力解法应力解法1第三十四页，讲稿共六十二页哦代入变形协调方程第一、四式代入变形协调方程第一、四式4.3 应力解法应力解法2可以得到：可以得到：a)b)c)第三十五页，讲稿共六十二页哦轮换轮换x,y,zx,y,z还可以得到其余四个

17、类似方程，问还可以得到其余四个类似方程，问题到此可以结束了，题到此可以结束了，但可以利用平衡方程但可以利用平衡方程再将它们简化。再将它们简化。4.3 应力解法应力解法3将平衡方程的一、二式对将平衡方程的一、二式对x,yx,y求一阶偏导，然后相加，再利用平衡方程的第三式，求一阶偏导，然后相加，再利用平衡方程的第三式，就得到：就得到：d)将式将式d d）代入式）代入式b)b)的右边，并注意的右边，并注意e)第三十六页，讲稿共六十二页哦轮换轮换x,y,zx,y,z还可以得到其余二个类似方程，还可以得到其余二个类似方程，将式将式e e）与轮换得到的其他二式相加，得到一个重要的）与轮换得到的其他二式相加

18、，得到一个重要的公式公式4.3 应力解法应力解法4f)将式将式f f）代入式）代入式e)e)，则有，则有第三十七页，讲稿共六十二页哦这种形式的综合方程（相容方程），称为这种形式的综合方程（相容方程），称为应力应力协调方程协调方程或或拜尔脱拉密拜尔脱拉密-密切尔密切尔（Beltrami-Beltrami-MichellMichell）方程）方程 。4.3 应力解法应力解法5第三十八页，讲稿共六十二页哦对于体力为零或常量的情况，上述方程简化为 在确定应力分量后，则由物理方程确定应变分量，再由几何方程确定位移分量。由于位移边界条件一般无法改用应力分量及其导数来表示，故位移边值问题和混合问题一般都不能

19、按应力法求得精确解。4.3 应力解法应力解法3第三十九页，讲稿共六十二页哦如果应力分量是坐标x,y,z的线性函数，则上式中的各二阶偏导数项为零，即应力分量恒满足相容方程，称此种问题为弹性力学的最简单问题。即在体力不计或体积力为常量时，任何满足平衡微分方程和应力边界条件的线性函数形式的应力分量表达式，就是问题的精确解答。当然，对于多连通物体，应力解答还应满足位移的单值条件。4.3 应力解法应力解法4第四十页，讲稿共六十二页哦应力解法的基本未知量为6个应力分量；基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协调方程。应力解法适用于面力边界条件。总而言之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条

20、件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。4.3 应力解法应力解法5第四十一页，讲稿共六十二页哦体力为常量时一些物理量的特性弹性力学的基本未知量位移、应力和应变等在体力为常量时具有一些特性。掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力学问题。物理量特性4.3 体力为长量时体力为长量时1第四十二页，讲稿共六十二页哦体力为常量，体力为常量，体积应力和体积应变体积应力和体积应变均满足拉普拉斯均满足拉普拉斯（Laplace)方程。方程。体积应力函数和体积应变函数为体积应力函数和体积应变函数为调和函数。调和函数。位移分量，应变分量和应力分量位移分量，应变分量和应力分量均满足均满足双调和

21、方程，双调和方程，位移分量，应变分量和应力分量为位移分量，应变分量和应力分量为双调和函数。双调和函数。4.3 体力为长量时体力为长量时2第四十三页，讲稿共六十二页哦 解的唯一性原理弹性体受已知体力作用，弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，在物体的边界上，或者或者面力已知面力已知；或者；或者位移已知位移已知；或者或者一部分面力已知，另一部分位移已知一部分面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平衡时，则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是唯一的；对于后两种情况，位移也是唯一的。对于后两种情况，位移也是唯一的。4.4 弹性力学解的唯一性定理弹性力学解的唯一性定理 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法第四

22、十四页，讲稿共六十二页哦4.4 唯一性唯一性2 解的唯一性原理的证明：设在给定的体力和边界条件下，有两组不同的应力、应变和位移分量的解；它们都应满足前述边值问题的基本方程和边界条件。将两组应力分量的解分别代入平衡微分方程，并对应相减，有a)第四十五页，讲稿共六十二页哦4.4 唯一性唯一性3将两组应力分量的解分别代入应力协调方程，并相减，有b)第四十六页，讲稿共六十二页哦4.4 唯一性唯一性4将两组应力分量的解分别代入静力边界条件，并相减，有将两组应力分量的解分别代入位移边界条件，并相减，有c)d)第四十七页，讲稿共六十二页哦4.4 唯一性唯一性5由初始无应力的自然状态假设可知，此时弹性体内的应

23、力和应变均应为零，即两组解的差值应为零。可见，原设的两组解完全相同。于是，证明了解是唯一的。必须指出，解的唯一性定理只有满足小变形条件，适用迭加原理和自然状态假设的前提下，才是正确的。由上述方程组由上述方程组a)、b)、c)、d)可知，这两组解的差可知，这两组解的差值，就相当于弹性体的值，就相当于弹性体的体力、面力和位移均为零的解体力、面力和位移均为零的解。第四十八页，讲稿共六十二页哦逆解法逆解法根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位

24、移。4.4 唯一性唯一性6第四十九页，讲稿共六十二页哦半逆解法半逆解法对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。如所作的假设不满足基本方程或不符合所考虑的问题，则需重新设定或修正，直到满足为止。半逆解法系由Saint-Venant提出，故又称为Saint-Venant解法或凑合解法。4.4 唯一性唯一性7第五十页，讲稿共六十二页哦逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍，其求解过程带有“试算”的性质。偏微分方程边值问题求

25、解困难难以确定弹性力学问题的解析解显然弹性力学解的唯一性定理弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆逆解法和半逆解法的理论依据。解法的理论依据。4.4 唯一性唯一性8第五十一页，讲稿共六十二页哦举例：设：有一半空间体，单位体积重 p=g，在水平边界上受均布压力 q 作用，求：应力分布及位移分量.解：由已知条件知，体力分量 F Fbxbx=0=0、F Fbyby=0=0、F Fbzbz=g=g，由于几何形状和载荷对称于z轴，故可假设 u=0,v=0,w=w(z)u=0,v=0,w=w(z)采用位移法，由拉梅方程并注意以上情况得 对拉梅方程进行积分，得 式中的常数 A 和 B 要由边界条件确定xzoq

26、h例一例一 半逆解法半逆解法-位移解法位移解法1第五十二页，讲稿共六十二页哦在表面（在表面（z z=0=0），有），有l=m l=m=0=0，n n=-1=-1。面力面力F Fsxsx=F=Fsysy=0,Fsz=q=0,Fsz=q代入由位移表示的边界条件，得代入由位移表示的边界条件，得代入积分结果，得代入积分结果，得设设在距离表面在距离表面h h处位移处位移等于等于0 0，即，即(w)(w)z=hz=h=0,=0,则有则有代入后，得位移分布函数的解代入后，得位移分布函数的解xzoqh例一例一 半逆解法半逆解法-位移解法位移解法2第五十三页，讲稿共六十二页哦分析最大位移发生在边界上，即z=0处

27、将位移解代入由位移表示的应力公式，得例一例一 半逆解法半逆解法-位移解法位移解法3第五十四页，讲稿共六十二页哦由由解解的的唯唯一一性性定定理理可可知知，如如有有两两组组静静力力等等效效的的力力系系（主主矢矢向向量量、主主矩矩均均相相等等）分分别别作作用用于于同同一一弹弹性性体体的的同同一一部部分分，则则由由于于它它们们的的分分布布情情况况不不同同而而有有不不同同的的边边界界值值，从从而而使使弹弹性性体体内产生的应力状态也不同。内产生的应力状态也不同。事事实实上上，对对于于给给定定的的问问题题，我我们们往往往往只只知知道道其其边边界界力力的的总总值值，一一般般很很难难知知道道其其准准确确的的分分

28、布布情情况况。因因而而，在在解解弹弹性性力力学学的的基基本本方方程程时时，如如何何正正确确选选定定边边界界条条件件，以以获获得得问问题题的真实解，是一个极为重要的课题。的真实解，是一个极为重要的课题。首首先先对对此此作作出出解解答答的的是是Saint-Venant所所提提出出的的局局部部性性原原理或理或Saint-Venant原理。原理。4.5 局部影响原理 解的叠加原理第五十五页，讲稿共六十二页哦物体任意一个小部分作用物体任意一个小部分作用一个平衡力系，则该平衡一个平衡力系，则该平衡力系在物体内部所产生的力系在物体内部所产生的应力分布，仅局限于力系应力分布，仅局限于力系作用的附近区域。在距离

29、作用的附近区域。在距离该区域相当远处，这种影该区域相当远处，这种影响便急剧减小响便急剧减小。4.5 局部影响局部影响2第五十六页，讲稿共六十二页哦 局部影响原理可表述为：分别作用于弹性体同一可表述为：分别作用于弹性体同一局部表面局部表面上上的的静力等效力系静力等效力系所产生的应力场（或应变场），只在力系直接作用所产生的应力场（或应变场），只在力系直接作用的小区域及其附近才有明显的差别，而在离该区域较远处，这种差的小区域及其附近才有明显的差别，而在离该区域较远处，这种差别便急剧减小，可忽略不计。别便急剧减小，可忽略不计。也就是说，作用于物体局部表面上的外力系，无论其分布情况如何，也就是说，作用于

30、物体局部表面上的外力系，无论其分布情况如何，都可用与之静力等效的力系代替。都可用与之静力等效的力系代替。应该指出，这里所谓应该指出，这里所谓“局部表面局部表面”系指该表面的面积远小于物系指该表面的面积远小于物体的总表面积，且其线性尺寸不超过物体的最小特征尺寸，如体的总表面积，且其线性尺寸不超过物体的最小特征尺寸，如板与壳的厚度，杆件横截面的最小尺寸等。板与壳的厚度，杆件横截面的最小尺寸等。现在通过实例来说明现在通过实例来说明Saint-Venant原理的正确性。原理的正确性。4.5 局部影响局部影响3第五十七页，讲稿共六十二页哦4.5 局部影响局部影响4第五十八页，讲稿共六十二页哦4.5 局部

31、影响局部影响5第五十九页，讲稿共六十二页哦4.5 局部影响局部影响6第六十页，讲稿共六十二页哦解的叠加原理小变形小变形 线性线性 弹性弹性 条件下，作用于物体的条件下，作用于物体的若干组若干组载荷产生的载荷产生的总效应总效应（应力和变形等），（应力和变形等），等于等于每组载荷单独作用每组载荷单独作用效应的总和。效应的总和。4.5 解的叠加解的叠加第六十一页，讲稿共六十二页哦第四章第四章 小结小结弹性物理关系-本构关系 -广义胡克定律的一般形式 -应变表示的本构关系 -拉梅常数 -应力表示的本构关系 -工程弹性常数及与拉梅常数的换算 -应变能及与应力和应变的关系弹性力学问题的建立基本方程（泛定方程）三种边值问题弹性力学求解方法位移解法应力解法解的唯一性定理逆解法和半逆解法圣维南局部影响原理距离决定了影响静力等效的处理方法第六十二页，讲稿共六十二页哦