2020年九年级数学中考综合复习4： 开放与探索性问题 复习讲义（免费下载）.doc

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1、综合复习四.开放与探索性问题.综合评述：开放与探索性问题改变了过去试题形式单一，知识点考查僵硬，不能充分调动学生的创新意识和探究兴趣的缺点，为学生提供了更广阔的思维空间，正因为如此，开放与探究性题成为近几年中考的热点题型之一。一、开放性问题这类题一般没有具体的标准答案，解题时要灵活运用所学基础知识，多层次、多角度地思考问题，解决问题，一般答案只要符合题意即可。二、探究性问题探究性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，探究性问题一般分为三类：1、条件探索型题；2、结论探究型题；3、探究存在型题。条件型题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探究

2、型题是指题目中的结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论。探究存在型题是指在一定的基础上，需探究发现某种数学关系是否存在的题目。这类问题具有较强的综合性，涉及的数学基础知识非常广泛。这种题型既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度，又能较好的考查学生的观察、分析、概括能力，因此复习时，既要重视基础知识，又要强化数学思想方法训练，切实提高自己分析问题、解决问题的能力。.典型例题剖析：§.例1、多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 .（填上一个你认为正确的即可）思路点拨：本题主要考查了完全平方式。解：按完

3、全平方公式得，另外，故其答案是或或或.规律总结：本题属于条件探索题，可以从完全平方式入手，多层次、多角度思考问题，可繁可简，可难可易，一般答案只要符合题意即可。常见错误：（1）错以为只有是完全平方式，其实也是完全平方式；（2）完全平方式中容易忽略中间项系数.§.例2、（2019年荆门）多项式可以分解成两个一次因式的积，整数的值是 .（写出一个即可）思路点拨：若让考生分解，则考生易得，考查面单一；若将代替，同时给定在整数范围内可因式分解的条件且要求探索的值，此时的值具有开放性.解答时，应根据根与系数的关系定理，先将分解，然后可得或或，或.答案：或或.规律总结：解答此类条件开放题，关键是

4、选准突破口，比如本题中根与系数的关系是突破口。常见错误：因选不准突破口而导致乱解、错解。§.例3、如图，为的直径，是的切线，切点为，为的割线，的平分线交于点，交于，交于，要使，则应满足的条件是 .（只需填一个即可）思路点拨：本题考查圆的性质及等腰三角形的判定。解：方法一：根据等腰三角形“三线合一”的性质，只要，就可以得到；图 1FP B CDAEO方法二：根据圆的弦切角定理及三角形外角定理，得，只需平分就可以得到.具体答案为：（或平分）规律总结：对于答案不唯一的题目，其解法有选择性，可择简而解之。常见错误：忽略题目中限制条件而导致出错，如填成.图 2A BFED C§.例4

5、、如图，在中，点、在对角线上，且.请你以为一个端点和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）.（1）连结 ；（2）猜想：；（3）证明： ；思路点拨：本题立足于一个常见的基本图形，把传统证明题改造成一个要求学生发现、猜想、证明的几何题，考查学生的发散思维能力。具体解法为：解法一：（1）连结；（2）猜想：；O图 3A BFED C（3）证法一：四边形是平行四边形，又证法二：如图，连结、，设交于点.四边形是平行四边形，又，即四边形是平行四边形解法二：（1）连结；（2）猜想：；（3）证明过程略.规律总结：此类题目连结、猜想、证明是一体的，

6、注意各个环节的具体要求。常见错误：只注意问题的开放性，忽视问题的限制性条件而导致出错。§.例5、已知，如图，是的直径，是上一点，连结，过点作直线于点（），点是上任意一点（点、除外），直线交于点，连结与直线交于点.（1）求证：；（2）若点是（点除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。图 4-1A BD ECGHFE DOA BCFGOA BCD（E）OF（G）图 4-2图 4-3思路点拨：（1）欲证，可证，进而可证；（2）当点是（点除外）上任意一点时，上述结论仍成立。如图，当点是（点除外）上任意一点（不包括点）时，连结，便有，即；如图

7、，当点与点重合时，与点重合，可得，故结论仍然成立。具体解法为：解：（1）证明：延长交于又，即（2）当点是（点除外）上任意一点时，上述结论仍成立.如图，当点是（点除外）上任意一点（不包括点）时，连结，又，即如图，当点与点重合时，与点重合，有故结论仍然成立.具体解法为：规律总结：这类题属于结论探究题，结论到底如何，需要探究一番才见分晓，探索时注意分清各种特殊情况。常见错误：忽略点点是（点除外）上任意一点，针对特殊情况定论，会出现偏差。§.例6、（2019年兰州）如图，已知是的直径，交于点，过点作的切线交于点，且，由上述条件，你能推出的正确结论有：（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所

8、连辅助线不能出现在结果中，不写推理过程，至少写出个结论，结论不能类同）。图 5A BECDO思路点拨：本题属于结论开放性题。解：（1）从三角形看：，（2）从角看：，（3）从边看：，.从中任选出个或个以上的结论即可.规律总结：这类开放题，由于结论比较多，比较杂，注意分类探求，另外对于结论的得出不论难易，只要符合要求即可，因此难易程度上具有选择性。常见错误：忽略开放题要求而出错，比如本题写出个结论，缺至少个结论。§.例7、在一个服装厂里有有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图)。现找出其中的一种，测得，今要从这种三角形布料中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好在的边

9、上，且扇形的弧与的其他边相切，请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。思路点拨：题目要求用画示意图的方式作答，解答的关键是确定扇形的圆心，可从圆心在的三个顶点上和圆心在的三边上的两个角度来考虑。解：如图：图 6图 7规律总结：本题是一道方案设计题，也是一道策略开放题，解答这类问题，注意审清设计方案的要求，找准突破口。常见错误：（1）忽略扇形要求出错；（2）忘记标出扇形半径；（3）方案设计不全。§.例8、（2019年温州市）小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块

10、余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。图 甲图 乙解析：这是一道策略开放的方案设计题，考查图形的分割与组合能力，注意从原图形中的边角入手分割与组合。解答：列举以下四种铺设的示意图供参考。评讲：解答这类题其关键是抓住原图的边角特征进行合理分割与组合，同时注意与密铺知识联系起来。§.例9、（2019年河南）观察下表，填表后再解答问题：（1）完成下列表格序号123图形的个数824的个数14（2）试求第几个图形中“”的个数和“”的个数相等？思路点拨：本题属于规律探究题.仔细观察图形，会发现：图中含“”个，“”个；图中含

11、“”个，“”个；图中含“”个，“”个，由此我们可以大胆预测图中含“”个，“”个。解：（1），；（2）由（1）可知图中含“”个，“”个，根据题意得：解得：（舍去），故第个图形中“”的个数和“”的个数相等。规律总结：解规律探究题要求考生用归纳法从具体、特殊事实中探究其存在的规律，把潜藏在表面现象中的一般规律挖掘出来，如果特殊事例不够，还可以自行再列出。常见错误：（1）因找不准一般规律出现误解；（2）忽略的实际意义而出错，如第（2）题中第个图形。§.例10、（2019年南平）在某次数学变换游戏中，我们把整数0，1，2，100称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以，所得的数称为

12、“新数”。（1）请把旧数和按上述规则变换成新数；（2）经过上述规则变换后，我们发现许多旧数变小了，有人断言：“按照上述规则，所有的新数都不等于它的旧数.”你认为这种说法对吗？若不对，请求出所有不符合这一说法的旧数；（3）请求出按上述规则变换后减小了最多的旧数（写出解答过程）。思路点拨：本题属于趣味性探索题，增强了中考试题的娱乐性、趣味性及新颖性。解：（1），；（2）不对。设这个数为个，则，解得：，即不符合说法的旧数有和.（3）设减小的量为，则所以当时，有最大值，且最大值为，即变换后减小最多的旧数为.规律总结：解答趣味探索题关键是理解其游戏规则。常见错误：（1）找不准游戏规则的实质出错；（2）以

13、特殊问题得一般结论出错。§.例11、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、点（点在轴的正半轴上），与轴交于点，其顶点为，直线的函数关系式为，又.（1）求、的值；（2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点（点与点、不重合），使得是以为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请你说明理由。思路点拨：本题属于开放型探索题，主要考查一次函数与二次函数性质的综合应用。解：（1）由直线与轴交于点，得（，）图 8FOx y EA BCD点坐标为（，）点在二次函数的图象上，解得故顶点为（，）又（，）在图象上故，（2）在二次函数的图象上存在点（点与点、不重合），使得是以为一条直角边的直角

14、三角形由（1）可知，直线与轴的交点（，）又，若连结，是以为一条直角边的直角三角形，且点（，）在二次函数的图象上，则点就是所求的点.解法一：设，点在二次函数的图象上，则是以为一条直角边的直角三角形.设直线与轴交于点，则（，）解方程组得或点（，）为所求的.综合，得二次函数的图象上存在点（，）或（，），使得是以为一条直角边的直角三角形.解法二：在轴上取一点（，），则，由对称性可知：设直线与二次函数的图象交于点，由（1）知点坐标为（，）所以直线的函数关系式为（以下解法一同）规律总结：对于存在型探索题，其解题思路为：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的计算推理，再对得出的结

15、果进行分析检验，说明假设是否正确，由此得出符合条件的数学对象存在或不存在。常见错误：（1）审题不清，思维混乱导致出错；（2）对存在情况找不全而出错。§.例12、（2019年南宁市）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为（，），（，），以为直径的半圆与轴交于点，以为一边作正方形（1）求，两点的坐标；（2）连接，试判断直线是否与相切？说明你的理由；（3）在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。思路点拨：（1）根据坐标知识和勾股定理易求；（2）思路一：连结、，在中，易求，再据切线的性质可知，再利用，故.思路二：利用勾股定理的逆定理证明；思路三：

16、连结，易证明，因为是等腰三角形，又因为也是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质及等量公理可得：，从而得证；（3）思路一：因为的周长应由线段、决定，而是一定的，要使的周长最小，只有是和最小，要满足此要求，只有利用“线段公理”找到点关于轴的对称点即可；思路二：本题也可利用一次函数知识，建立的直线方程，又因为轴上的点也在直线上，从而得出点的坐标。解：（1）（，），（，），四边形是正方形，的半径为5（，）连接，在中，（，）（2）方法一：直线是的切线。证明：连接、，如图在中，又， ，是的切线。QAEDC8xMPOM/图9-1AEBDC8xMOP图9-2M/Qyy22方法二：直线是的切线 证明：连接如图，在

17、中， 在中 是直角三角形，即 直线是相切. 方法三：直线是的切线 证明：连接，如图，在中，即 直线是的切线（3）方法一：作关于轴的对称点，则（，），连接，与轴交于点，此时的和最小，因为为定值，所以的周长最小。，即，解得：，得，.方法二：作关于轴的对称点，则（，），连接，与轴交于点，此时的和最小，因为为定值，所以的周长最小。 设直线的解析式为把（，）和（，）分别代入得，解得：，当时，得，.评讲：这是一道较复杂的几何综合题，熟练掌握切线的性质及切线长定理、勾股定理、线段公理、线段的中垂线性质及平面直角坐标系的相关知识是解决本题的关键。.综合巩固练习：一、课改区中考试题练习1.（2019年呼和浩特市

18、）在四边形中，顺次连接四边中点、，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形这个条件是 2.（年湖南衡阳）观察算式：； 用代数式表示这个规律(为正整数)：.3.（2019年吉林省）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第个图案中白色瓷砖数为_图 104.（2019年广西贺州市）观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是_A2A1A3A4A6A5B图 1224158303548？图 115（2019年广西百色市）如图，是直角三角形，且，垂足为，垂足为，垂足为，垂足为，则线段（为自然数）的长为（ ）、 、 、 、图 13O(1,0)(2,0)(3,0)(

19、4,0)(5,0)x(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(3,2)(4,2)(4,3)(5,4)(5,3)(5,2)y图 146（2019年江苏泰州市）如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含的等式表示第个正方形点阵中的规律_7.（2019年德阳）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第个点的坐标为_8（2019年河南省）如图，将图所示的正六边形进行进行分割得到图，再将图中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图， 再将图中最小

20、的某一个正六边形按同样的方式进行分割，则第个图形中，共有_个正六边形。图图图图 159.（2019年资阳）设， （为大于的自然数)（1）探究是否为的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数（不必说明理由）10.（2019年山东省）如图，中，、分别是、上的点，与交于点给出下列三个条件：；（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形（用序号写出所有情形）；O图 16EDBACMDBAC图 17（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明是等腰三

21、角形。11.（2019年随州市）如图，矩形中，是的中点。（1）求证：；（2）请你探索，当矩形中的一组邻边满足何种数量关系时，有成立，说明你的理由。12.（2019年成都市）已知：如图，在中，是的中点，是线段延长线上一点，过点作的平行线与线段的延长线交于点，连结、（1）求证：；FEDBAC图 18PQBAC图 19（2）若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论。13（2019年常德市）如图，是等边内的一点，连结、，以为边作，且，连结（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论。（2）若，连结，试判断的形状，并说明理由14.（2019年宁波）已知关于的方程.（1）当取何值时，方程有两个

22、实数根；（2）为选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.15.（2019云南省）已知：如图，抛物线经过（1，0）、（5，0）、（0，5）三点（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点的直线与抛物线相交于点（4，），请求出的面积的值；（3）在抛物线上求一点使得为等腰三角形并写出点的坐标；（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点使得为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由xyCBAE11O图 20图 2116.（2019年绵阳市）如图，在正方形中，点是上一动点，连结，分别过点、作、，垂足分别为

23、、，如图（1）请探索、这三条线段长度具有怎样的数量关系若点在的延长线上（如图），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点在的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。17.（2019年荆门市）将两块全等的含角的三角尺如图22摆放在一起，设较短直角边为1图22300B DAC300图 23AB CDD1OB1OC1O图 24AOBODOCO图 25AOBODOCO（1）四边形是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_（2）如图23，将沿射线方向平移到的位置，四边形是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_（3）在沿射线方向平移的过程中，当点的移动距离为_时，四边形为矩形，其理由是_；当点的移动距离为_时，四边形为菱形，其理由是_(图23、图24用于探究)二、经典题练习1.如图，在中，为上一个动点（点与、不重合），且交于点，交于点（1）试探究，当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由（2）在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由。图 26图 27图 282.如图，是的直径，是的切线，切点是点是上一个动点，连接试探索点运动到什么位置时，是的平分线，请说明理由3.如图，是的直径，、都是的切点，、分别是切点。（1）判定的形状，并说明理由（2）设，的半径为，试探究与，之间满足的关系式，并说明理由。