高等数学课程中多元函数积分学的教学感想.doc

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1、高等数学课程中多元函数积分学的教学感想【摘 要】多元函数积分学是高等数学的核心内容，同时也是课堂教学中的难点，应当注重各类积分概念的引入和理论应用的讲解，通过对各类积分计算的比照和联络，形成统一的知识体系。【关键词】：p 】：】高等数学 多元函数 微积分【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-481020_29-0054-02多元函数积分学涉及的积分类型比拟多，包括重积分、曲线积分和曲面积分，而这些积分之间又通过格林公式、高斯公式以及斯托克斯建立起来各种联络。学生在学习过程中容易混淆各种积分概念，在计算时常常出现张冠李戴的事情。因此，在教学过程中采用合理有效的教学方法，

2、积极发挥学生的探究精神就显得尤为重要。一 注重各类积分知识背景的引入，增强学生的学习兴趣高等数学的根本特征是其研究对象的高度抽象性。这一特性也恰恰决定了它的应用非常广泛。事实上，这些抽象的概念往(转载自：.BdfQy.Com 千 叶帆 文摘:高等数学课程中多元函数积分学的教学感想)往来自于社会各个领域的理论，具有非常强的实际应用背景。因此，多元函数积分学中每一个积分定义的引入应当让学生感受到它就在身边。比方，借助于密度函数，我们通过求平面薄片的质量引入二重积分，求空间立体的质量引入三重积分，求曲线形构件的质量引入对弧长的曲线积分，求曲面形构件的质量引入对面积的曲面积分。变力沿曲线做功可以通过对

3、坐标的曲线积分来计算；电场、磁场在曲面上的通量就是对坐标的曲面积分。在教学过程中，我们应当首先把要解决的实际问题描绘清楚，然后花较多的精力和时间带着学生学习如何用“微元法”的思想求解上述问题，引导他们去逐步掌握这一思想的本质：“分割，近似，求和，取极限”。这样细致的讲解是很有必要的，一方面，上述这些物理背景都是详细的，看得见摸得着，比拟粗浅易懂，可以很好地阐释各种抽象的积分概念，让学生抓住各类积分定义的要点。另一方面，随着课程的逐步深化，在多元函数积分学的物理应用方面，像转动惯量、质心和引力等物理量将会陆续出现。学生可以通过对“微元法”思想的理解，自己独立完成相关物理量计算公式的推导。当学生亲

4、身感受到多元函数积分学的实用性后，学习兴趣自然就会得到进步。二 教学过程中强调类比和化归的思想方法，讲透各类积分的共性和区别多元函数积分种类繁多，计算方法复杂，学生掌握起来比拟困难。教学过程中学生使用类比、化归的思想去学习积分概念、性质及计算公式就显得尤为重要。类比和化归的学习方法便于学生形成统一的知识体系、培养学生的主动探究意识、认清概念间的关系及概念的本质。从各类积分的概念出发，以非均匀物体的质量为模型，我们可以将二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分四个概念统一表示为：4取极限： ，其中表示所有分割微元 中直径的最大者。分割的几何形体的不同又表达出不同类型积分的自身特征。

5、比方可以为平面有界闭区域二重积分、空间有界闭区域三重积分、分段光滑曲线弧段对弧长的曲线积分、分片光滑有界曲面对面积的曲面积分； 可以表示面积元素二重积分、体积元素三重积分、弧长元素对弧长的曲线积分、曲面面积元素对面积的曲面积分等。从各种积分计算过程来看，可以把所有的多元函数积分计算过程统一为三步：1画区域；2刻画；3计算。详细来说，步骤1的主要目的是通过作图来确定积分区域，它是积分计算的出发点。这需要学生具备较好的空间解析几何知识，特别是各种常见的二次曲面的图形以及各种曲线、曲面和空间立体在坐标平面上的投影。课程的实验教学环节和现实生活中的建筑物比方发电厂的冷却塔以及广州电视塔等可以让学生对常

6、见二次曲面图形的印象更加深化，拉近与曲面图形的间隔 。步骤2是指学生需要准确地刻画出积分区域，比方，用不等式来刻画出平面有界闭区域、空间有界闭区域以及空间曲面在坐标平面上的投影区域；用参数方程来刻画出分段光滑曲线弧段等。步骤3是指合理地选择计算公式，并准确地执行。重积分的计算更多表达在坐标系的选择和积分区域的不等式刻画，不同坐标系下的计算公式也不尽一样，合理地选择坐标系往往可以简化计算量；曲线积分的计算主要表达在曲线参数方程确实定，对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分都是化为定积分，定积分的上限和下限要分清，前者下限一定要小于上限，后者下限和上限分别对应积分弧段的起点和终点，并且两种曲线积分可以

7、互相转化。曲面积分的计算多表达在曲面方程和投影坐标平面确实定，对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分都是化为二重积分，都是将曲面投影得到二重积分的积分区域，相比前者，后者需由有向曲面的侧定出二重积分前的符号，并且两种曲面积分也可以互相转化。三 擅长归纳总结，活用各种定理，进步解题效率可以纯熟地进展微积分的根本运算是高等数学课程的教学目的之一。因此，学生多做一些习题是很有必要的。但是，初学者不能盲目地做题，而应当花更多的时间去考虑各类积分的概念和根本定理，弄清楚解题方法的理论支撑。要擅长总结和开掘解题经历，灵敏运用各类积分的相关性质和相关定理，进步解题效率。第一，重积分的计算要注重坐标系的选择和积分

8、次序的交换。二重积分计算要注意在两种坐标系下面积元素的不同形式；在直角坐标系下化二重积分为二次积分时，积分次序决定着计算的难易程度；选择极坐标系计算二重积分的特征是：积分区域是与圆相关的平面区域。三重积分的计算要注意在三种坐标系下体积元素的不同形式；直角坐标系和柱面坐标系是计算时优先选择的对象，计算方法主要分为两类：先一后二投影法和先二后一截面法；球坐标系的选择要慎重积分区域稍复杂时，球坐标系下的不等式刻画就比拟困难，选择球坐标系进展计算的特征是：积分区域为球面和圆锥面等所围成的立体。第二，定积分、重积分、对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分都可以利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算。

9、对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分也可同样操作，但情况相比照拟复杂除了积分区域的对称性和被积函数的奇偶性外，还要考虑积分曲线弧、积分曲面的方向。第三，格林公式和高斯公式分别是计算对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分的优先选择。但是，使用上述公式时需要验证它们的条件：曲线曲面的正向和封闭性；被积函数在积分区域上是否具有一阶连续偏导数。不满足封闭性时要求辅助线面的做法力求简单有效，便于计算。比方，格林公式中多项选择择平行坐标轴的直线段，而高斯公式中多项选择取平行坐标平面的平面，同时被积函数要求在添加辅助线面后的封闭区域内具有一阶连续偏导数。第四，计算对坐标的曲线积分时，当发现对坐标的曲线积分与积分途

10、径无关的条件成立时，就可以选择比拟简单的途径替代原途径，但需注意被积函数在新途径与原途径所围积分区域上必须具有一阶连续偏导数。计算对坐标的曲面积分时，当发现选择高斯公式比拟费事时，两类曲面积分之间的转换公式经常可以拿来尝试简化计算。第五，多元函数的各类积分在物理上的应用都非常广泛。非均匀物体的质量、转动惯量、质心和引力等问题，不仅利用重积分可以求解，而且对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分也能用来计算它们，这就要求学生在计算时一定要弄清楚非均匀物体对应的积分区域是什幺样的几何形体。比方，是平面上的闭区域和空间上的立体闭区域就分别对应二重积分和三重积分；是曲线和曲面就分别对应对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分。遇到变力沿曲线做功问题时就对应对坐标的曲线积分，遇到流量问题时就对应对坐标的曲面积分。【参考文献】：p 】：1同济大学数学系.高等数学第6版下册M.北京：高等教育出版社，20_7：1852292李忠、周建莹.高等数学第2版下册M.北京：北京大学出版社，2022：721203陈传璋、金福临、朱学炎等.数学分析p 第2版下册M.北京：高等教育出版社，1999：254291责任编辑：庞远燕、汪二款第 7 页 共 7 页