2020年中考数学备考优生百日闯关第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题（解析版）（免费下载）.docx

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1、第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题

2、中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓

3、住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。【典型例题】【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx-53经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的A，请判断A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=-13x2+2x-53；（2）相交；（3）SPBC有最大值12524，此时P点坐标为（52，54）【解析】试题分析：（1

4、）把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b，可求得抛物线解析式；（2）过A作ADBC于点D，则AD为A的半径，由条件可证明ABDCBO，利用相似三角形的性质可求得AD的长，可求得半径，进而得出答案；（3）由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQy轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，可设出P、Q的坐标，可表示出PQC和PQB的面积，可表示出PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得P点坐标试题解析：（1）抛物线y=ax2+bx-53经过点A（1，0）和点B（5，0），把A、B两点坐标代入可得a+b-53=025a+5b-53=0，解得：a=-13b=2，抛物线解析式为y=-

5、13x2+2x-53；（2）相交，理由：过A作ADBC于点D，如图1，A与BC相切，AD为A的半径，由（1）可知C（0，53），且A（1，0），B（5，0），OB=5，AB=OBOA=4，OC=53，在RtOBC中，由勾股定理可得BC=OC2+OB2=(53)2+52=5103，ADB=BOC=90°，ABD=CBO，ABDCBO，ADOC=ABBC，即AD53=45103，解得AD=2105，即A的半径为2105，21051，A与y轴相交；（3）C（0，53），可设直线BC解析式为y=kx53，把B点坐标代入可求得k=13，直线BC的解析式为y=13x-53，过P作PQy轴，交直线

6、BC于点Q，交x轴于点E，如图2，设P（x，-13x2+2x-53），则Q（x，13x-53），PQ=（-13x2+2x-53）（13x-53）=-13x2+53x=-13(x-52)2+2512，SPBC=SPCQ+SPBQ=12PQOE+12PQBE=12PQ（OE+BE）=12PQOB=52PQ=-56(x-52)2+12524，当x=52时，SPBC有最大值12524，此时P点坐标为（52，54），当P点坐标为（52，54）时，PBC的面积有最大值考点：二次函数综合题；探究型；二次函数的最值；最值问题；存在型；压轴题【例2】（2019·广西中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于

7、点，点的坐标为，抛物线经过三点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴的交点为点，点关于原点的对称点为，连接，以点为圆心，的长为半径作圆，点为直线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）求周长的最小值；（3）若动点与点不重合，点为上的任意一点，当的最大值等于时，过两点的直线与抛物线交于两点（点在点的左侧），求四边形的面积【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）直线y=x-3，令x=0，则y=-3，令y=0，则x=3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，-3），即可求解；（2）过点B作直线y=x-3的对称点B，连接BD交直线y=x-3于点P，直线BB交函数对称轴与点G，则此时BDP周长=BD+

8、PB+PD=BD+BB为最小值，即可求解；（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，即可求解【详解】解：（1）直线，令，则，令，则，故点的坐标为、，则抛物线的表达式为：，则，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）过点作直线的对称点，连接交直线于点，直线交函数对称轴与点，连接，则此时周长为最小值，则点，即：，即点是的中点，过点，周长最小值；（3）如图2所示，连接并延长交圆与点，此时为最大值，点的坐标为，则，则，设点，点，解得：，故点，将点坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：，联立并解得：，故点的坐标分别为：过点分别作轴的垂线交于点，则.【名师点睛】本题考查的是二次函数

9、综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，其中（3），确定PQ最值时，通常考虑直线过圆心的情况，进而求解【例3】（2018·青海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的M的内接四边形，点A，B在x轴上，MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交M于点E，垂足为点M，且点D平分（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=（x+1）22；（2）证明过程见解析；（3）（2

10、，），（4，）【解析】试题分析：（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出AMD=CMD=AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标试题解析：（1）由题意可知，MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在M上， 则MA=MB=MC=ME=2，又COMB， MO=BO=1， A（3，0），B（1，0），E（1，2），抛物线顶点E的坐标为（1，2）， 设函数解析式为y=a（x+1）22（a0）把点B（1，0）代入y=a（x+1）

11、22， 解得：a=，故二次函数解析式为：y=（x+1）22；（2）连接DM， MBC为等边三角形， CMB=60°， AMC=120°， 点D平分弧AC，AMD=CMD=AMC=60°， MD=MC=MA， MCD，MDA是等边三角形，DC=CM=MA=AD， 四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）存在理由如下： 设点P的坐标为（m，n） SABP=AB|n|，AB=4 ×4×|n|=5， 即2|n|=5，解得：n=±， 当时，（m+1）22=， 解此方程得：m1=2，m2=4即点P的坐标为（2，），（4，），当n

12、=时，（m+1）22=， 此方程无解，故所求点P坐标为（2，），（4，）考点：二次函数综合题【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进.【针对练习】1我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”（1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；在凸四边形ABCD中，AB=AD且CBCD，则该四边形 “十字形”（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，ADBCDB

13、=ABDCBD，当6AC2+BD27时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，c0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记AOB，COD，AOD，BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；S=S1 +S2；S=S3 +S4；“十字形”ABCD的周长为1210【答案】（1）菱形，正方形；不是；（2）12OE22（OE0）；（3）y=x29【解析】分析：（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出

14、ADB+CAD=ABD+CAB，进而判断出AED=AEB=90°，即：ACBD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2-14（AC2+BD2），即可得出结论；（3）由题意得，A（-b-2a，0），B（0，c），C（-b+2a，0），D（0，-ac），求出S=12ACBD=-12（ac+c）×a，S1=12OAOB=-c(+b)4a，S2=12OCOD=-c(-b)4，S3=12OA×OD=-c(+b)4，S4=12OB×OC=-c(-b)4a，进而建立方程-c(+b)4a+-c(-b)2=-c(+b)2+-c(-b)4a，求出a=1，再求出b=

15、0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=310，进而求出c=-9，即可得出结论详解：（1）菱形，正方形的对角线互相垂直，菱形，正方形是：“十字形”，平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；如图，当CB=CD时，在ABC和ADC中，AB=ADCB=CDAC=AC，ABCADC（SSS），BAC=DAC，AB=AD，ACBD，当CBCD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）ADB+CBD=ABD+CDB，CBD=CDB=CAB，ADB+CAD=ABD+CAB，180°AED=180°AEB，AED=AE

16、B=90°，ACBD，过点O作OMAC于M，ONBD于N，连接OA，OD，OA=OD=1，OM2=OA2AM2，ON2=OD2DN2，AM=12AC，DN=12BD，四边形OMEN是矩形，ON=ME，OE2=OM2+ME2，OE2=OM2+ON2=214（AC2+BD2），6AC2+BD27，274OE2232，14OE212，12OE22；（3）由题意得，A（-b-2a，0），B（0，c），C（-b+2a，0），D（0，ac），a0，c0，OA=+b2a，OB=c，OC=-b2a，OD=ac，AC=a，BD=acc，S=12ACBD=12（ac+c）×a，S1=12OAO

17、B=c(+b)4a，S2=12OCOD=c(-b)4，S3=12OA×OD=c(+b)4，S4=12OB×OC=c(-b)4a，S=S1+S2，S=S3+S4，-c(+b)4a+-c(-b)2=-c(+b)2+-c(-b)4a，4a=2，a=1，S=c，S1=c(+b)4a，S4=c(-b)4a，S=S1+S2，S=S1+S2+2S1S2，c=c2+2c2·(-4c)16，-c2=-cc b2-4c=-4c b=0，A（-c，0），B（0，c），C（-c，0），d（0，c），四边形ABCD是菱形，4AD=1210，AD=310，即：AD2=90，AD2=c2c，c

18、2c=90，c=9或c=10（舍），即：y=x29【名师点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出a=1是解本题的关键2（2019·湖南中考真题）如图，抛物线(a为常数，a0)与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t，0)(3t0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的P相交于点C（1）求点A的坐标；（2）过点C作P的切线CE交x轴于点E如图1，求证：CEDE；如图2，连接AC，BE，BO，当，CAEOBE时，求的值【答案】（1）A（6,0）；（2）见解析 ；【解析】【分析】（1）

19、令y=0，可得ax（x+6）=0，则A点坐标可求出；（2）连接PC，连接PB延长交x轴于点M，由切线的性质可证得ECD=COE，则CE=DE；设OE=m，由CE2=OEAE，可得m，由CAE=OBE可得，则m，综合整理代入可求出的值【详解】（1）令ax2+bax=0ax（x+6）=0 A（6,0）（2）连接PC，连接PB延长交x轴于M过O、A、B三点，B为顶点，又PC=PB，CE为切线°，又，CE=DE，（3）设OE=m，即E（m,0）由切割定理：CE2=OE·AE，已知，由角平分线定理：即：由得t2=18t36，【点睛】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与x轴

20、的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键3（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点.(1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长；(2)如图2，已知直线分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以为圆心，为半径画圆.当点与点重合时，求证: 直线与相切；设与直线相交于两点， 连结. 问:是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 的直径长为；(2) 见解析；存在这样的点和，使得是等腰直角三角形.【解析】【分析】（1

21、）连接BC，证明ABC为等腰直角三角形，则P的直径长=BC=AB，即可求解；（2）过点作于点，证明CE=ACsin45°=4×=2 =圆的半径，即可求解；（3）假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形，分点在线段上时和点在线段的延长线上两种情况，分别求解即可【详解】（1）如图3，连接BC，BOC=90°，点P在BC上，P与直线l1相切于点B，ABC=90°，而OA=OB，ABC为等腰直角三角形，则P的直径长=BC=AB=3 (2)如图4过点作于点，图4将代入，得，点的坐标为.，.点与点重合，又的半径为，直线与相切.假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形，直

22、线经过点，的函数解析式为.记直线与的交点为，情况一：如图5，当点在线段上时， 由题意，得.如图，延长交轴于点，图5，即轴，点与有相同的横坐标，设，则，.的半径为，解得，的坐标为.情况二：当点在线段的延长线上时，同理可得，的坐标为.存在这样的点和，使得是等腰直角三角形.【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏4（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B（1）当x=2时，求P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图

23、中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合（4）当P的半径为1时，若P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图，求cosAPD的大小【答案】（1）；（2）图象为开口向上的抛物线，见解析；（3）点A；x轴；（4） 【解析】分析：（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；（4）

24、画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可详解：（1）由x=2，得到P（2，y），连接AP，PB，圆P与x轴相切，PBx轴，即PB=y，由AP=PB，得到=y，解得：y=，则圆P的半径为；（2）同（1），由AP=PB，得到（x1）2+（y2）2=y2，整理得：y=（x1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，画出函数图象，如图所示；（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；故答案为点A；x轴；（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，交CD于E，设PE=a，则有EF=a+1，ED=，D坐标为（1+，a+1），代入抛物线解析

25、式得：a+1=（1a2）+1，解得：a=2+或a=2（舍去），即PE=2+，在RtPED中，PE=2，PD=1，则cosAPD=2点睛：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，圆的性质，勾股定理，弄清题意是解本题的关键5（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CPx轴，垂足为点P，连接AD、BC（1）求点A、B、D的坐标；（2）若AOD与BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，

26、求出a的值，若不能，请说明理由.【答案】（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值为.（3）当a=时，D、O、C、B四点共圆. 【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴相交，则y=0，得出A（a，0），B（3，0），与y轴相交，则x=0，得出D（0，3a）.（2）根据（1）中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x=，AO=a，OD=3a，代入求得顶点C（，-），从而得PB=3- =，PC=；再分情况讨论：当AODBPC时，根据相似三角形性质得， 解得：a= 3（舍去）；AODCPB，根据相似三角形性质得 ，解得：a1=3（舍），a2=；（3）能；连接BD

27、，取BD中点M，根据已知得D、B、O在以BD为直径，M（，a）为圆心的圆上，若点C也在此圆上，则MC=MB，根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.【详解】（1）y=（x-a）（x-3）（0<a<3）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），A（a，0），B（3，0），当x=0时，y=3a，D（0，3a）；（2）A（a，0），B（3，0），D（0，3a）.对称轴x=，AO=a，OD=3a，当x= 时，y=- ，C（，-），PB=3-=，PC=，当AODBPC时，即 ，  解得：a= 3（舍去）；AODCPB，即 ，解得：a1=3（舍），a2= .

28、综上所述：a的值为；（3）能；连接BD，取BD中点M，D、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（，a），若点C也在此圆上，MC=MB， ，化简得：a4-14a2+45=0，（a2-5）（a2-9）=0，a2=5或a2=9，a1=，a2=-，a3=3（舍），a4=-3（舍），0<a<3，a=，当a=时，D、O、C、B四点共圆.【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键.6（2017·江苏中考真题）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上

29、一点，过P且垂直于AB的直线与O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E若AC：CE=1：2（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式【答案】(1) P（1，0）(2) y=x2x【解析】试题分析：（1）如图，作EFy轴于F，DC的延长线交EF于H设H（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3m首先证明ACPECH，推出，推出CH=2n，EH=2m=6，再证明DPBDHE，推出，可得，求出m即可解决问题；（2）由题意设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x5），求出E点坐标代入即可解决问题.试题解析：（1）如图，作EFy轴于F，

30、DC的延长线交EF于H设H（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3mEHAP，ACPECH，CH=2n，EH=2m=6，CDAB，PC=PD=n，PBHE，DPBDHE，m=1，P（1，0）（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，连接OP，在RtOCP中，PC=，CH=2PC=4，PH=6，E（9，6），抛物线的对称轴为CD，（3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x5），把E（9，6）代入得到a=，抛物线的解析式为y=（x+3）（x5），即y=x2x考点：圆的综合题7（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax

31、2+bx+c与M相交于A、B、C、D四点其中AB两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在x轴上且AD为M的直径点E是M与y轴的另一个交点，过劣弧DE上的点F作FHAD于点H，且FH=15（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）（4，0），y=12(x+1)(x-4)；（2）P（2，0）；（3）Q（，），Q（，-），Q（，-4），Q（，-）【解析】试题分析：（1）根据题意，设点M的坐标为（m，0

32、），根据两点间的距离公式（半径相等）可以求得m=32，则点D的坐标为（4，0），这样就可以根据交点式来求解抛物线的解析式：y=12(x+1)(x-4)=12x2-32x-2；（2）要在x轴上的找到一点P，使得PEF的周长最小，我们先来看E，F两点，这是两个定点，也就是说EF的长度是不变的，那实际上这个题目就是求PE+PF的最小值，这就变成了轴对称问题中最为经典的“放羊问题”，要解决这一问题首先我们看图中有没有E或F的对称点，根据题意，显然是有E点的对称点B的，那么连接BF与x轴的交点就是我们要求的点P（2，0）；（3）首先点M本身就在抛物线对称轴上，其坐标为(32,0)；点C是点B关于抛物线对

33、称轴的对称点，所以点C的坐标为（3，-2）；求Q点的坐标，根据题意可设Q点为（32,n）QCM是等腰三角形，则可能有三种情况，分别是QC=MC；QM=MC；QC=QM根据这三种情况就能求得Q点的坐标可能是(32,±52)或(32,-2516)或(32,-4)试题解析：（1）A（-1，0），B（0，-2）OE=OB=2，OA=1，AD是M的直径，OE·OB=OA·OD，即：2²=1·OD，OD=4，D（4，0），把A（-1，0），B（0，-2），D（4，0）代入得：a-b+c=0c=-216a+4b+c=0，即,a=12b=-32c=-2该抛物线

34、的表达式为：连接AF，DF，FHAD于点H，AD为直径AFHFDH，HF²=DH·AH，E点与B点关于点O对称，根据轴对称的性质，连接BF交x轴于点P，A（-1，0），D（4，0），AD=5，设DH=x，则AH=5-x，即15²=x（5-x），5x-x²=，4x²-20x+9=0，（2x-1）（2x-9）=0，由AHDH，DH=，OH=OD-DH=，F（35，15），设直线BF的解析式为，则35k+b=15；b=-2，则k=1，b=-2，y=x-2，令y=0，则x=-2，P（2，0）（3）Q（，），Q（，-），Q（，-4），Q（，-）考点：二次

35、函数与圆8（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由【答案】（1）（2）3510（3）点P在抛物线上，理由见解析【解析】解：（1）圆心O在坐标原点，圆O的半径为1，点A、B、C、D的坐标分别为A(-1，0)、B(0，-1

36、)、C(1，0)、D(0，1)抛物线与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C， M(-1，-1)、N(1，1)点D、M、N在抛物线上，将D(0，1)、M(-1，-1)、N(1，1)的坐标代入y=ax2+bx+c，得：解之，得：a=-1b=1c=1抛物线的解析式为：C(1，0)、D(0，1)（2）y=-x2+x+1=-(x-12)2+54抛物线的对称轴为x=12，OE=12，DE=14+1=52连结BF，BFD=90°，BFDEOD，DEDB=ODFD，又DE=52，OD=1，DB=2，FD=455，EF=FD-DE=455-52=3510（3）点P在抛物线上设

37、过D、C点的直线为：y=kx+b，将点C(1，0)、D(0，1)的坐标代入y=kx+b，得：k=-1，b=1，直线DC为：y=kx+b过点P作圆O的切线BP与P轴平行，P点的纵坐标为y=-1，将y=-1代入y=kx+b，得：x=2 P点的坐标为y=-1，当x=2时，y=-x2+x+1=-22+2+1=-1，所以，P点在抛物线C(1，0)、D(0，1)上（1）根据O半径为1，得出D点坐标，再利用CO=1，AO=1，点M、N在直线y=x上，即可求出答案；（2）先利用配方法求出顶点坐标，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果；（3）先求出直线CD的解析式，即可得到点P的坐标，从而可以判断点P是否

38、在抛物线上9（2018·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0），B（1，0），C（0，3）（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x22x3；（2）M（，）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+，3）或（1，3）或（2，3）【解析】【分析】（1）把A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可；（2）由题意

39、得到直线BC与直线AM垂直，求出直线BC解析式，确定出直线AM中k的值，利用待定系数法求出直线AM解析式，联立求出M坐标即可；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可【详解】（1）把A（3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式得：，解得：，则该抛物线解析式为y=x22x3；（2）设直线BC解析式为y=kx3，把B（1，0）代入得：k3=0，即k=3，直线BC解析式为y=3x3，直线AM解析式为y=x+m，把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=1，直线AM解析式为y=x1，联立得：，解得：，则M（，）；（3）存在以点B，C，

40、Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑：设Q（x，0），P（m，m22m3），当四边形BCQP为平行四边形时，由B（1，0），C（0，3），根据平移规律得：1+x=0+m，0+0=3+m22m3，解得：m=1±，x=2±，当m=1+时，m22m3=8+2223=3，即P（1+，3）；当m=1时，m22m3=822+23=3，即P（1，3）；当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（1，0），C（0，3），根据平移规律得：1+m=0+x，0+m22m3=3+0，解得：m=0或2，当m=0时，P（0，3）（舍去）；当m=2时，P（2，3），综上，存在以点B，C，Q，P为顶

41、点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+，3）或（1，3）或（2，3）【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质以及平移规律，熟练掌握各自的性质是解本题的关键10（2018·湖南中考真题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”（1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；在凸四边形ABCD中，AB=AD且CBCD，则该四边形 “十字形”（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，ADBCDB=ABDCBD，当6AC2+BD27时，求O

42、E的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，c0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记AOB，COD，AOD，BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；= ；= ；“十字形”ABCD的周长为12【答案】（1）菱形，正方形；不是；（2）（OE0）；（3）y=x29【解析】【详解】分析：（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出ADB+CAD=ABD+CAB，进而判断出AED=AEB=90°，

43、即：ACBD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2-（AC2+BD2），即可得出结论；（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，-ac），求出S=ACBD=-（ac+c）×，S1=OAOB=-，S2=OCOD=-，S3=OA×OD=-，S4=OB×OC=-，进而建立方程，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=3，进而求出c=-9，即可得出结论详解：（1）菱形，正方形的对角线互相垂直，菱形，正方形是：“十字形”，平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为菱形，正方形；如图

44、，当CB=CD时，在ABC和ADC中，ABCADC（SSS），BAC=DAC，AB=AD，ACBD，当CBCD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为不是；（2）ADB+CBD=ABD+CDB，CBD=CAD,CDB=CAB，ADB+CAD=ABD+CAB，180°AED=180°AEB，AED=AEB=90°，ACBD，过点O作OMAC于M，ONBD于N，连接OA，OD，OA=OD=1，OM2=OA2AM2，ON2=OD2DN2，AM=AC，DN=BD，四边形OMEN是矩形，ON=ME，OE2=OM2+ME2，OE2=OM2+ON2=2（AC2+BD2），6AC2+BD27，2OE22，OE2，OE；（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，ac），a0，c0，OA=，OB=c，OC=，OD=ac，AC=，BD=acc，S=ACBD=（ac+c）×，S1=OAOB=，S2=OCOD=，S3=OA×OD=，S4=OB×OC=，=2，a=1，S=c，S1=，S4=，S=S1+S2+2，c=，