2021年中考数学必考点对点突破的55个特色专题专题17 全等三角形判定与性质定理（解析版）（免费下载）.docx

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1、专题17 全等三角形判定与性质定理1.基本概念（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上）（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2全等三角形的表示全等用符号“”表示，读作“全等于”。如ABCDEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。4三角形全等的判定定理（

2、1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（4）角角边定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成AAS）.5直角三角形全等的判定：HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例题1】（2020甘孜州）如图，等腰ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定ABEACD的是（）AADAE

3、BBECDCADCAEBDDCBEBC【答案】B【解析】利用等腰三角形的性质得ABCACB，ABAC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断ABC为等腰三角形，ABCACB，ABAC，当ADAE时，则根据“SAS”可判断ABEACD；当AEBADC，则根据“AAS”可判断ABEACD；当DCBEBC，则ABEACD，根据“ASA”可判断ABEACD【对点练习】如图，已知ABC=DCB，添加以下条件，不能判定ABCDCB的是（）AA=D BACB=DBC CAC=DB DAB=DC【答案】C【解析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可AA=D，ABC=

4、DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出ABCDCB，故本选项错误；BABC=DCB，BC=CB，ACB=DBC，符合ASA，即能推出ABCDCB，故本选项错误；CABC=DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出ABCDCB，本选项正确；DAB=DC，ABC=DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出ABCDCB，故本选项错误。【例题2】（2020北京）如图，在ABC中，ABAC，点D在BC上（不与点B，C重合）只需添加一个条件即可证明ABDACD，这个条件可以是 （写出一个即可）【答案】BDCD【解析】由题意可得ABCACD，ABAC，即添加一组边对应相等，可证A

5、BD与ACD全等ABAC，ABDACD，添加BDCD，在ABD与ACD中AB=ACABD=ACDBD=CD，ABDACD（SAS），【对点练习】（2019齐齐哈尔）如图，已知在ABC和DEF中，BE，BFCE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使ABCDEF，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）【答案】ABDE【解析】添加ABDE；BFCE，BCEF，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）【例题3】（2020菏泽）如图，在ABC中，ACB90°，点E在AC的延长线上，EDAB于点D，若BCED，求证：CEDB【答案】见解析。【解析】由“AAS”可证ABCAED，可得AEAB，

6、ACAD，由线段的和差关系可得结论证明：EDAB，ADEACB90°，AA，BCDE，ABCAED（AAS），AEAB，ACAD，CEBD【对点练习】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF（1）求证：ABCDEF；（2）若A=55°，B=88°，求F的度数【答案】见解析。【解析】求出AC=DF，根据SSS推出ABCDEF由（1）中全等三角形的性质得到：A=EDF，进而得出结论即可证明：（1）AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CFAC=DF在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS）（2）由（1）可知，F=ACBA=55&#

7、176;，B=88°ACB=180°（A+B）=180°（55°+88°）=37°F=ACB=37°一、选择题1（2020鄂州）如图，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD36°连接AC，BD交于点M，连接OM下列结论：AMB36°，ACBD，OM平分AOD，MO平分AMD其中正确的结论个数有（）个A4B3C2D1【答案】B【分析】由SAS证明AOCBOD得出OCAODB，ACBD，正确；由全等三角形的性质得出OCAODB，由三角形的外角性质得：CMD+OCACOD+ODB，得出C

8、MDCOD36°，AMBCMD36°，正确；作OGAM于G，OHDM于H，如图所示：则OGAOHB90°，由AAS证明OGAOHB（AAS），得出OGOH，由角平分线的判定方法得出OM平分AMD，正确；假设OM平分AOD，则DOMAOM，由全等三角形的判定定理可得AMOOMD，得AOOD，而OCOD，所以OAOC，而OAOC，故错误；即可得出结论【解析】AOBCOD36°，AOB+BOCCOD+BOC，即AOCBOD，在AOC和BOD中，OA=OBAOC=BODOC=OD AOCBOD（SAS），OCAODB，ACBD，故正确；OCAODB，由三角形的外

9、角性质得：CMD+OCACOD+ODB，得出CMDCOD36°，AMBCMD36°，故正确；作OGAM于G，OHDM于H，如图所示，则OGAOHB90°，在OGA和OHB中，OGA=OHB=90°OAG=OBHOA=OB，OGAOHB（AAS），OGOH，OM平分AMD，故正确；假设OM平分AOD，则DOMAOM，在AMO与DMO中，AOM=DOMOM=OMAMD=DMO，AMOOMD（ASA），AOOD，OCOD，OAOC，而OAOC，故错误；正确的个数有3个.2.如图，若ABCDEF，A=45°，F=35°，则E等于（）A35&#

10、176; B45° C60° D100°【答案】D【解析】ABCDEF，A=45°，F=35°D=A=45°E=180°DF=100°3.（2020安顺模拟）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD（）AB=CBAD=AECBD=CEDBE=CD【答案】D【解析】欲使ABEACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可AB=AC，A为公共角，A如添加B=C，利用ASA即可证明ABEACD；B如

11、添AD=AE，利用SAS即可证明ABEACD；C如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明ABEACD；D如添BE=CD，因为SSA，不能证明ABEACD，所以此选项不能作为添加的条件4如图，ABCD，且AB=CDE、F是AD上两点，CEAD，BFAD若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（）Aa+cBb+cCab+cDa+bc【答案】D【解析】只要证明ABFCDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（bc）=a+bc；ABCD，CEAD，BFAD，AFB=CED=90°，A+D=90°，C+D=90°，A=C，A

12、B=CD，ABFCDE，AF=CE=a，BF=DE=b，EF=c，AD=AF+DF=a+（bc）=a+bc5如图，ACB=90°，AC=BCADCE，BECE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A B2 C2 D【答案】B【解析】根据条件可以得出E=ADC=90°，进而得出CEBADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值BECE，ADCE，E=ADC=90°，EBC+BCE=90°BCE+ACD=90°，EBC=DCA在CEB和ADC中，CEBADC（AAS），BE=DC=1，CE=AD=3DE=ECCD=31=26

13、如图，ABCAEF，AB=AE，B=E，则对于结论AC=AF，FAB=EAB，EF=BC，EAB=FAC，其中正确结论的个数是（）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C【解析】ABCAEF，AC=AF，故正确；EAF=BAC，FAC=EABFAB，故错误；EF=BC，故正确；EAB=FAC，故正确；综上所述，结论正确的是共3个二、填空题7（2020齐齐哈尔）如图，已知在ABD和ABC中，DABCAB，点A、B、E在同一条直线上，若使ABDABC，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）【答案】ADAC（DC或ABDABC等）【解析】利用全等三角形的判定方法添加条件DABCAB，ABAB，当添

14、加ADAC时，可根据“SAS”判断ABDABC；当添加DC时，可根据“AAS”判断ABDABC；当添加ABDABC时，可根据“ASA”判断ABDABC8（2020辽阳）如图，在ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D若BC4，则CD的长为【答案】2【解析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=12BC2，MNBC，依据MNEDCE（AAS），即可得到CDMN2M，N分别是AB和AC的中点，MN是ABC的中位线，MN=12BC2，MNBC，NMED，MNEDCE，点E是CN的中点，NECE，MNEDCE（AAS），CDMN29（202

15、0黑龙江）如图，RtABC和RtEDF中，BD，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使RtABC和RtEDF全等【答案】ABED【解析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是ABED或BCDF或ACEF或AECF等，只要符合全等三角形的判定定理即可添加的条件是：ABED，理由是：在ABC和EDF中B=DAB=EDA=DEF，ABCEDF（ASA）10.(2019四川成都）如图，在ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，BAD=CAE，若BD=9，则CE的长为_.【答案】9 【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定，因为ABC是等腰三角形，所以有AB=AC，BAD=CAE，

16、ABD=ACE，所以ABDACE(ASA)，所以BD=二次，EC=9.11.（2019湖南邵阳）如图，已知ADAE，请你添加一个条件，使得ADCAEB，你添加的条件是（不添加任何字母和辅助线）【答案】ABAC或ADCAEB或ABEACD。【解析】根据图形可知证明ADCAEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA.SAS、AAS证明两三角形全等AA，ADAE，可以添加ABAC，此时满足SAS；添加条件ADCAEB，此时满足ASA；添加条件ABEACD，此时满足AAS，故答案为ABAC或ADCAEB或ABEACD。12（2019山东临沂）如图，在ABC中，ACB120°，B

17、C4，D为AB的中点，DCBC，则ABC的面积是【答案】8【解析】根据垂直的定义得到BCD90°，得到长CD到H使DHCD，由线段中点的定义得到ADBD，根据全等三角形的性质得到AHBC4，HBCD90°，求得CD2，于是得到结论DCBC，BCD90°，ACB120°，ACD30°，延长CD到H使DHCD，D为AB的中点，ADBD，在ADH与BCD中，ADHBCD（SAS），AHBC4，HBCD90°，ACH30°，CHAH4，CD2，ABC的面积2SBCD2××4×28，故答案为：8三、解答题

18、13（2020南充）如图，点C在线段BD上，且ABBD，DEBD，ACCE，BCDE求证：ABCD【答案】见解析。【解析】证明ABCCDE（ASA），可得出结论证明：ABBD，EDBD，ACCE，ACEABCCDE90°，ACB+ECD90°，ECD+CED90°，ACBCED在ABC和CDE中，ACB=CEDBC=DEABC=CDE，ABCCDE（ASA），ABCD14（2020硚口区模拟）如图，点D在AB上，点E在AC上，ABAC，BC，求证：BDCE【答案】见解析。【解析】要证BDCE只要证明ADAE即可，而证明ABEACD，则可得ADAE证明：在ABE与A

19、CD中A=AAB=ACB=C，ABEACDADAEBDCE15（2020铜仁市）如图，BE，BFEC，ACDF求证：ABCDEF【答案】见解析。【解析】首先利用平行线的性质得出ACBDFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案证明：ACDF，ACBDFE，BFCE，BCEF，在ABC和DEF中，B=EBC=EFACB=DFE，ABCDEF（ASA）16（2020无锡）如图，已知ABCD，ABCD，BECF求证：（1）ABFDCE；（2）AFDE【答案】见解析。【分析】（1）先由平行线的性质得BC，从而利用SAS判定ABFDCE；（2）根据全等三角形的性质得AFBDEC，由等角的补角

20、相等可得AFEDEF，再由平行线的判定可得结论【解答】证明：（1）ABCD，BC，BECF，BEEFCFEF，即BFCE，在ABF和DCE中，AB=CDB=CBF=CE，ABFDCE（SAS）；（2）ABFDCE，AFBDEC，AFEDEF，AFDE17（2020温州）如图，在ABC和DCE中，ACDE，BDCE90°，点A，C，D依次在同一直线上，且ABDE（1）求证：ABCDCE（2）连结AE，当BC5，AC12时，求AE的长【答案】见解析。【分析】（1）由“AAS”可证ABCDCE；（2）由全等三角形的性质可得CEBC5，由勾股定理可求解【解答】证明：（1）ABDE，BACD，

21、又BDCE90°，ACDE，ABCDCE（AAS）；（2）ABCDCE，CEBC5，ACE90°，AE=AC2+CE2=25+144=1318（2020常德）已知D是RtABC斜边AB的中点，ACB90°，ABC30°，过点D作RtDEF使DEF90°，DFE30°，连接CE并延长CE到P，使EPCE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：EBEP；EFP30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：BFD+EFP30°【答案】见解析。【分析

22、】（1）证明CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；根据同位角相等可得BCEF，由平行线的性质得BPEF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得PFEBFE30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQDE，连接CD，PQ，FQ，证明QEPDEC（SAS），则PQDCDB，由QEDE，DEF90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明FQPFDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论【解答】证明（1）ACB90°，ABC30°，A90°30°60°，同理EDF60°，AEDF6

23、0°，ACDE，DMBACB90°，D是RtABC斜边AB的中点，ACDM，BMBC=BDAB=12，即M是BC的中点，EPCE，即E是PC的中点，EDBP，CBPDMB90°，CBP是直角三角形，BE=12PCEP；ABCDFE30°，BCEF，由知：CBP90°，BPEF，EBEP，EF是线段BP的垂直平分线，PFBF，PFEBFE30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQDE，连接CD，PQ，FQ，ECEP，DECQEP，QEPDEC（SAS），则PQDCDB，QEDE，DEF90°EF是DQ的垂直平分线，QFDF，C

24、DAD，CDAA60°，CDB120°，FDB120°FDC120°（60°+EDC）60°EDC60°EQPFQP，FQPFDB（SAS），QFPBFD，EF是DQ的垂直平分线，QFEEFD30°，QFP+EFP30°，BFD+EFP30°19（2020黔东南州）如图1，ABC和DCE都是等边三角形探究发现（1）BCD与ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，ADC30°，AD3，CD2，求BD的长（3）若B、C、E三点在一

25、条直线上（如图2），且ABC和DCE的边长分别为1和2，求ACD的面积及AD的长【答案】见解析。【分析】（1）依据等式的性质可证明BCDACE，然后依据SAS可证明ACEBCD；（2）由（1）知：BDAE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；（3）如图2，过A作AFCD于F，先根据平角的定义得ACD60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长【解析】（1）全等，理由是：ABC和DCE都是等边三角形，ACBC，DCEC，ACBDCE60°，ACB+ACDDCE+ACD，即BCDACE，在BCD和ACE中，CD=C

26、EBCD=ACEBC=AC，ACEBCD（ SAS）；（2）如图3，由（1）得：BCDACE，BDAE，DCE都是等边三角形，CDE60°，CDDE2，ADC30°，ADEADC+CDE30°+60°90°，在RtADE中，AD3，DE2，AE=AD2+DE2=9+4=13，BD=13；（3）如图2，过A作AFCD于F，B、C、E三点在一条直线上，BCA+ACD+DCE180°，ABC和DCE都是等边三角形，BCADCE60°，ACD60°，在RtACF中，sinACF=AFAC，AFAC×sinACF1×32=32，SACD=12×CD×AF=12×2×32=32，CFAC×cosACF1×12=12，FDCDCF2-12=32，在RtAFD中，AD2AF2+FD2=(32)2+(32)2=3，AD=3