2021年中考数学必考点对点突破的55个特色专题专题27 涉及圆的证明与计算问题（原卷版）（免费下载）.docx

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1、专题27 涉及圆的证明与计算问题圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。一、与圆有关的概念1圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 2圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分

2、线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。5若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。二、与圆有关的规律1.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧4在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相

3、等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半6半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径7圆内接四边形的特征 圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径2.直线与圆有3种位置关系如果O的半径为r，圆心O

4、到直线的距离为d，那么 直线和O相交； 直线和O相切； 直线和O相离。3圆与圆的位置关系设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距，则：两圆外离 ；两圆外切 ；两圆相交 ；两圆内切 ；两圆内含 四、切线的规律1.切线的性质（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。2.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 四、求解圆的周长和面积的公式设圆的周长为r，则：1. 求圆的直径公式d=2r2.求

5、圆的周长公式 C=2r 3.求圆的面积公式S=r2五、解题要领1.判定切线的方法（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.2.与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知

6、识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基

7、本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3.攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑类型1图形：（1）如图1,AB是O的直径，点E、C是O上的两点.基本结论有：在“AC平分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切线”三个论断中，知二推一。（2） 如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如图（4）：若CKAB于K，则：CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;ADCACBAC2=ADAB（4）在(1)中的条件、中任选两个条件，当BGCD于E时（如图5），则：DE

8、=GB；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG=DC2 类型2图形：如图：RtABC中，ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作O交AC于点E，基本结论有：（1）在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。（2）G是BCD的内心； ；BCOCDEBODE=COCE=CE2；（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如图（3），若BC=CE，则：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；（在、中知一推二）设BE、CD交于点H，,则BH=2EH类型3图形：如图：RtABC中，ABC=90°,

9、以AB为直径作O交AC于D，基本结论有：如图：（1）DE切OE是BC的中点；（2）若DE切O，则：DE=BE=CE； D、O、B、E四点共圆CED=2ACD·CA=4BE2, 图形特殊化：在（1）的条件下如图：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；如图：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：;类型4图形：如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点F， 基本结论有：（1）DEACDE切O；（2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；EF=EC；D是 的中点。与基本图形1的结论重合。连AD，产生母子三角形。类型5图形：以直角梯形AB

10、CD的直腰为直径的圆切斜腰于， 基本结论有：（1）如图1：AD+BCCD； COD=AEB=90°； OD平分ADC（或OC平分BCD）；（注：在、及“CD是O的切线”四个论断中，知一推三）AD·BC2=R2；（2）如图2，连AE、CO，则有：COAE，COAE=2R2(与基本图形2重合)（3）如图3，若EFAB于F，交AC于G，则：EG=FG.类型6图形：如图：直线PRO的半径OB于E，PQ切O于Q，BQ交直线PQ于R。基本结论有：（1）PQ=PR (PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一（3）2PR·RE=BR&#

11、183;RQ=BE·2R=AB2类型7图形：如图，ABC内接于O，I为ABC的内心。基本结论有：（1）如图1，BD=CD=ID；DI2DE·DA；AIB=90°+ACB;（2）如图2，若BAC=60°，则：BD+CE=BC.类型8图形：已知，AB是O的直径，C是 中点，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有：（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中点)（2）OE=AF，OEAC；ODEAGF（3）BE·BG=BD·BA（4）若D是OB的中点，则：CEF是等边三角形； 【

12、例题1】（2020武汉）如图，在半径为3的O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E若E是BD的中点，则AC的长是（）A523B33C32D42【对点练习】（2019山东省聊城市）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE如果A70°，那么DOE的度数为（）A35°B38°C40°D42°【例题2】（2020牡丹江）AB是O的弦，OMAB，垂足为M，连接OA若AOM中有一个角是30°，OM23，则弦AB的长为 【对点练习】(2019安徽)如图，ABC内接于O，CAB30&

13、#176;，CBA45°，CDAB于点D，若O的半径为2，则CD的长为 【例题3】（2020贵州黔西南）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”请研究如下美丽的圆如图，线段AB是O的直径，延长AB至点C，使BCOB，点E是线段OB的中点，DEAB交O于点D，点P是O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC（1）求证：CD是O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明【对点练习】（2019湖北十堰）如图，ABC中，ABAC，以AC为直径的O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且CDEBAC（1）求证：D

14、E是O的切线；（2）若AB3BD，CE2，求O的半径一、选择题1（2020宜昌）如图，E，F，G为圆上的三点，FEG50°，P点可能是圆心的是（）A B C D2（2020营口）如图，AB为O的直径，点C，点D是O上的两点，连接CA，CD，AD若CAB40°，则ADC的度数是（）A110°B130°C140°D160°3（2020荆门）如图，O中，OCAB，APC28°，则BOC的度数为（）A14°B28°C42°D56°4（2020临沂）如图，在O中，AB为直径，AOC80°

15、;点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点则CED的大小可能是（）A10°B20°C30°D40°5（2020内江）如图所示，点A、B、C、D在O上，AOC120°，点B是AC的中点，则D的度数是（）A30°B40°C50°D60°6（2020湖州）如图，已知四边形ABCD内接于O，ABC70°，则ADC的度数是（）A70°B110°C130°D140°7（2020泰安）如图，ABC是O的内接三角形，ABBC，BAC30°，AD是直径，AD8，则

16、AC的长为（）A4B43C833D238（2020嘉兴）如图，正三角形ABC的边长为3，将ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（）A23B343C323D39（2020随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）AhR+rBR2rCr=34aDR=33a10（2020凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于O，则AD：AB（）A22：3B2：3C3：2D3：22二、填空题11（2020黑龙江）如图，AD是ABC的外接圆O的直径，若BCA50°

17、，则ADB °12（2020无锡）已知圆锥的底面半径为1cm，高为3cm，则它的侧面展开图的面积为 cm213（2020湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CDAB，CD8，AB10，则CD与AB之间的距离是 14（2020枣庄）如图，AB是O的直径，PA切O于点A，线段PO交O于点C连接BC，若P36°，则B 15（2020连云港）用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 cm16.（2019南京）如图，PA.PB是O的切线，A.B为切点，点C.D在O上若P102°，则A+C 17. （2019山东东营

18、）如图，AC是O的弦，AC=5，点B是O 上的一个动点，且ABC=45°，若点M、N分别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是_18.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且ADC30°，则AOB的度数为_19.（2020山东济宁模拟 ）如图，O 为Rt ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC，AC3则图中阴影部分的面积是 20.（2019湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切点A、B在x轴上，且OAOB点P为C上的动

19、点，APB90°，则AB长度的最大值为 三、解答题21.（2020咸宁）如图，在RtABC中，C90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F（1）求证：BFDF；（2）若AC4，BC3，CF1，求半圆O的半径长22（2020怀化）如图，在O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CDCA，且D30°（1）求证：CD是O的切线（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G求证：CG2AEBF23（2020铜仁市）如图，AB是O的直径，C为O上一点，

20、连接AC，CEAB于点E，D是直径AB延长线上一点，且BCEBCD（1）求证：CD是O的切线；（2）若AD8，BECE=12，求CD的长24（2020温州）如图，C，D为O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是AC上一点，ADCG（1）求证：12（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF当点F落在直径AB上时，CF10，tan1=25，求O的半径25（2020衢州）如图，ABC内接于O，AB为O的直径，AB10，AC6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点（1）求证：CADCBA（2）求OE的长26（2020嘉兴）已知：如图，在OAB中，OAOB，O与A

21、B相切于点C求证：ACBC小明同学的证明过程如下框：证明：连结OC，OAOB，AB，又OCOC，OACOBC，ACBC小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请写出你的证明过程27（2020湖州）如图，已知ABC是O的内接三角形，AD是O的直径，连结BD，BC平分ABD（1）求证：CADABC；（2）若AD6，求CD的长28（2020遵义）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，CAB的平分线AD交BC于点D，过点D作DEBC交AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）过点D作DFAB于点F，连接BD若OF1，BF2，求BD的长度29（2020淮安）如图，AB是O的弦，C是O外一点，OCOA，CO交AB于点P，交O于点D，且CPCB（1）判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若A30°，OP1，求图中阴影部分的面积30（2020天津）在O中，弦CD与直径AB相交于点P，ABC63°（）如图，若APC100°，求BAD和CDB的大小；（）如图，若CDAB，过点D作O的切线，与AB的延长线相交于点E，求E的大小