备战2020年中考数学压轴题专题研究专题8 直角三角形的存在性问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究（免费下载）.doc

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1、专题八：直角三角形的存在性问题探究专题导例如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2动点M、N分别从点D、B同时出发，沿线段DA、BA向点A的方向运动，当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动连接FM、FN可得FMN，设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒（0x4）求x为何值，FMN为直角三角形。来源:学科网【分析】：（1）定方向：FMN已知，需要强化为直角三角形。（2）定分类：MNF=90°；FMN=90°；MFN=90°三种情况。（几何法需要分类情况，代数法可以盲解） （3）定解法：可以利用“三直角结构”构造相似

2、，用几何法求解。也FMN三边可以用勾股定理表示，可以用代数法表示；来源:学,科,网Z,X,X,K（4）定结果：x 值汇总。方法讲解直角三角形存在性问题分析思路（1）定方向：（1）构造类：无三角形构造成为直角三角形；（2）强化类：有三角形强化为直角三角形。（2）定分类：（1）构造类以三个顶点为直角顶点分别构造；（2）强化类三个内角分别为90°分类。（3）定解法：代数法求解（勾股定理在建立方程时才用）；几何法求解（难在找寻相似三角形）（4）定结果：将结果汇总。模型分析（1）“两线一圆”模型已知线段AB，在平面内找一点C，使ABC为直角三角形.（1）CAB=90°时，过点A作AB

3、的垂线，此直线上所有的点均满足条件；（2）CBA=90°时，过点B作AB的垂线，此直线上所有的点均满足条件；（3）ACB=90°时，以AB为直径作圆，此圆上所有的点均满足条件.“两线一圆”上所有的点C均满足ABC为直角三角形，即满足“直角”条件的点C有无数个. 因此，题目会对点C再加上另外一个限定条件例如还限定点C在坐标轴上或抛物线上，这样，点C的个数就只有几个.典例剖析类型一：“两线一圆”类问题例1：已知点A(2,1),B(6,4)，若在x轴上取点C，使ABC为等腰三角形，求满足条件的点C的坐标.分析：BAC=90°时，过点A作x轴的垂线，垂足为E，过点B作直线

4、AE的垂线，垂足为F 由题可得：AEC1BFA；ABC=90°时，过点B作x轴的垂线，垂足为M，过点A作直线BM的垂线，垂足为N；ACB=90°时，过点A作x轴的垂线，垂足为P，过点B作x轴的垂线，垂足为Q由题可得： APC3C3QB，可得：APC3Q=PC3BQ，由题可得：ANBBMC2，则ANBM=BNMC2。类型二：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题例2.如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线ymxn经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)设点P为抛物线的对称

5、轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标第2题图【分析】（1）首先由题意，根据抛物线的对称称轴公式，待定系数法，建立关于a，b，c的方程组，解方程组可得答案；（2）首先利用勾股这事不师古求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点去分析求得答案类型三：构造相似来解决直角三角形存在性问题例2：如图，直线与抛物线交于点A（0，1），B（4，3）两点。与轴交于点D。求直线和抛物线的解析式；动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。【分析】：定方向：构造型直角三角形；定分类：分别以顶点A、顶点B、顶点P构造直角三角形。定解法：无角相

6、似，几何求解；罗列三边长，代数求解。专题突破1.如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（3，0）、B（0，4）（1）求抛物线解析式；（2）线段BD上有一动点E，过点E作y轴的平行线，交BC于点F，若SBOD4SEBF，求点E的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使BPD是以BD为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由2.：如图所示，在中，D、E为线段BC上的两个动点，且（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作交AB于F，连接DF，设，如果为直角三角形，求的值.3.如图，

7、抛物线y13x2bx8与x轴交于点A(6，0)，点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE,EC.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)如图，当ECx轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使AEG是以AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探

8、究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；5如图，在平面直角坐标系中，ACB90°，OC2OB，tanABC2，点B的坐标为(1，0)，抛物线yx2bxc经过A，B两点(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE12DE.求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由6.如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），B（3，0），抛物线的

9、对称轴l与x轴交于点D，P为对称轴l上一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为圆心，BP为半径作B，当直线AP与B相切时，求点P坐标；（3）在（1）中的抛物线上求点M，使得ACM是以AC为直角边的直角三角形7.如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）抛物线经过A、C两点，与AB边交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQCP，连接PQ，设CPm，CPQ的面积为S求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；当S最大时，在抛物线的对称轴l上若存在点F，使FDQ为直角三角

10、形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由专题八：直角三角形的存在性问题探究导例答案：解：情况一：当MNF=90°时；情况二：当FMN=90°时，无解情形三：当MFN=90°时，综上所述：x的值为例1.（1）BAC=90°时，过点A作x轴的垂线，垂足为E，过点B作直线AE的垂线，垂足为F； 由题可得：AEC1BFA，则AEBF=EC1FA，即14=EC13解得：EC1=34，则C1(114,0)（2）ABC=90°时，过点B作x轴的垂线，垂足为M，过点A作直线BM的垂线，垂足为N；由题可得：ANBBMC2，则ANBM=BNMC2

11、，即44=3MC2，解得：MC2=3，则C2(9,0)（3）ACB=90°时，过点A作x轴的垂线，垂足为P，过点B作x轴的垂线，垂足为Q由题可得： APC3C3QB，可得：APC3Q=PC3BQ，设PC3=x，则QC3=4-x，则14-x=x4，解得：x1=x2=2，则C3(4,0)综上所述：C1114,0，C29,0，C3(4,0)例2.（1）由题意得-b2a=-1，a+b+c=0，c=3，解得a=-1，b=-2，c=3.抛物线的解析式为yx22x3.对称轴为直线x1，抛物线经过A(1，0)，B(3，0)设直线BC的解析式ymxn，把B(3，0)，C(0，3)分别代入ymxn,得-

12、3m+n=0，n=3.解得m=1，n=3.直线BC的解析式为yx3M(1，2)；（2）设P(1，t)，B(3，0)，C(0，3)，BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10.若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t2；若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t4；若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即4t2t26t1018，解得t13+172，t23-172.综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，3+172)，P4(1，3-172)例3.（1）；（2）情形

13、一：BAP=90°；易证：POAAOD；;情形二：ABP=90°；易证：AODPCB；;情形三：APB=90°；设P（a,0）易证：AOPPCB；;综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）来专题突破1.（1）点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），OA3，OB4，AB5四边形ABCD为菱形，ADBC，BCAB5，点C的坐标为（5，4）将A（3，0），B（0，4），C（5，4）代入yax2bxc，得：，解得：，抛物线解析式为（2）EFOB，ADBC，OBDFEB，ODBFBE，BODEFB，SBOD4SEBF，OD2BFAD

14、AB5，OA3，OD2，点D的坐标为（2，0），BF1设直线BD的解析式为ykxd（k0），将B（0，4），D（2，0）代入ykxd，得：，解得：，直线BD的解析式为y2x4当x1时，y2x42，点E的坐标为（1，2）（3）抛物线解析式为，抛物线的对称轴为直线设点P的坐标为（，m），点B的坐标为（0，4），点D的坐标为（2，0），BP2（0）2m（4）2m28m，DP2（2）2（m0）2m2，BD2（20）20（4）220BPD是以BD为斜边的直角三角形，BP2DP2BD2，即m28mm220，整理得：4m216m50，解得：， ，抛物线的对称轴上存在点P，使BPD是以BD为斜边的直角三角形，

15、点P的坐标为（，）或（，）2.在中，是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况，如果把夹的两条边用含有的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了.如图1，作，垂足为H，那么H为BC的中点，在中，由得，即，解得，如图2，当时，由，得，解得；如图3，当时，得，解得.3.（1）点A(6，0)在抛物线y13x2bx8上，013×(6)2(6b)8，解得b23抛物线的解析式为y13x223x8，令x0，得y8，C(0，8)；（2）存在如图，连接EG，AG，过点G作GMl，GNx轴，垂足分别为M，N， 图ECx轴，EPCO8把y8代入y13x223x8，则813x223x8，

16、解得x0(舍去)或xP(2，0) APAOPO4()如图，当AEG90°时，MEGAEP90°，AEPEAP90°，MEGEAP又APEEMG90°，EMGAPEEMAP=MGEP设点G(m，13m223m8)(m0)，则GNMP13m223m8EMEPMP8(13m223m8)13m223m，MGPNPOON2m13m2+23m4=2+m8，m2(舍去)或m32G(32，254)；()如图，当EAG90°时， 图NAGEAP90°，AEPEAP90°，NAGAEPAPEGNA90°，GNAAPEGNAP=ANEP

17、设点G(n，13 n223n8)(n4)，GN13n223n8，ANAOON6nn6(舍去)或n112G(112，234) 综上，符合条件的G点的坐标为(32，254)或(112，234)4.(1)设抛物线解析式为ya(x1)(x3)，即yax22ax3a2a2，解得a1，抛物线解析式为yx22x3.当x0时，yx22x33，则C(0，3)设直线AC的解析式为ypxq，把A(1，0)，C(0，3)代入得-p+q=0，q=3.解得p=3，q=3.直线AC的解析式为y3x3.(2)yx22x3(x1)24，顶点D的坐标为(1，4)如图，作B点关于y轴的对称点B，则B(3，0)，连接DB交y轴于M.

18、MBMB，MBMDMBMDDB，此时MBMD的值最小BD的值不变，此时BDM的周长最小易得直线DB的解析式为yx3.当x0时，yx33，点M的坐标为(0，3)(3)存在，符合条件的点P的坐标为(73，209)或(103，139)5(1)在RtABC中，由点B的坐标可知OB1.OC2OB，OC2，则BC3.又tanABC2，AC2BC6，则点A的坐标为(2，6)把点A，B的坐标代入抛物线yx2bxc中，得-4-2b+c=6,-1+b+c=0.解得b=-3，c=4.该抛物线的解析式为yx23x4.(2)由点A(2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y2x2.如图，设点P的坐标为(m，

19、m23m4)，则点E的坐标为(m，2m2)，点D的坐标为(m，0) 则PEm2m2，DE2m2，由PE12DE得m2m212(2m2)，解得m±1.又2m1，m1，点P的坐标为(1，6)M在直线PD上，且P(1，6)，设M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2，BM2(11)2y24y2，AB2(12)26245.分三种情况：()当AMB90°时，有AM2BM2AB2，1(y6)24y245，解得y3±11M(1，311)或(1，311)；()当ABM90°时，有AB2BM2AM2，454y21(y6)2，解得y1，M(1，1)()当BAM9

20、0°时，有AM2AB2BM2，1(y6)2454y2，解得y132，M(1，132)综上所述，点M的坐标为(1，311)或(1，311)或(1，1)或(1，132)6解：（1）由题意得：y（x+1）（x3），即yx22x3；（2）如图1，直线AP与B相切，APBP，DP垂直平分AB，即DP是ABP斜边中线，DPAB2，P（1，2）或（1，2）（3）两种情况，设M（m，m22m3），如图2，过A作AMAC交抛物线于点M，作MNx轴于点N，MAN+CAO90°，MAN+AMN90°，CAOAMN，AOCMNA90°，AOCMNA，即，解得：m11（舍），m2

21、，M（，），如图3，过点C作CMAC交抛物线于点M，作MNy轴于点N，ACO+OAC90°，ACO+NCM90°，OACNCM，又AOCCNM90°，AOCCNM，即，解得m10，m2，M（，），综上，在抛物线上存在点M（，）或（，），使得ACM是以AC为直角边的直角三角形7.（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得 ，解得： ，抛物线的解析式为yx2x8；（2）OA8，OC6，AC 10，过点Q作QEBC与E点，则sinACB ， ，QE（10m），SCPQEm×（10m）m23m；SCPQEm×（10m）m23m（m5）2，当m5时，S取最大值；在抛物线对称轴l上存在点F，使FDQ为直角三角形，抛物线的解析式为yx2x8的对称轴为x，D的坐标为（3，8），Q（3，4），当FDQ90°时，F1（，8），当FQD90°时，则F2（，4），当DFQ90°时，设F（，n），则FD2FQ2DQ2，即（8n）2（n4）216，解得：n6± ，F3（，6），F4（，6），满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（，6），F4（，6）