最新2018年中考数学复习难题突破专题十讲：2018年中考数学复习难题突破专题二：三角形相似研究（免费下载）.doc

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1、难题突破专题二相似三角形研究1.求证两三角形相似，方法有：(1)对应的两个角相等(经常用到)；(2)三组对应边成比例；(3)两组对应边成比例，并且相应的夹角相等；(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(5)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形(定义)2.相似三角形的对应角相等，对应边成比例，相似比边长比周长比对应高的比对应中线的比对应角平分线的比；面积比相似比的平方3.做题时灵活运用相关知识类型1三角形相似基本图形1例题：（2017哈尔滨）如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DEBC，点F为BC边上一点，连接AF

2、交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A =B =C =D =【考点】S9：相似三角形的判定与性质【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案【解答】解：（A）DEBC，ADEABC，故A错误；（B）DEBC，故B错误；（C）DEBC，故C正确；（D）DEBC，AGEAFC，=，故D错误；故选（C）同步训练：（2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且DFE=45°若PF=，则CE=【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LE：正方形的性质【分析】如图，连接EF首先求出DM、DF的长，证明DEF

3、DPC，可得=，求出DE即可解决问题【解答】解：如图，连接EF四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA=2，DAB=90°，DCP=45°，AM=BM=1，在RtADM中，DM=，AMCD，=，DP=，PF=，DF=DP=PF=，EDF=PDC，DFE=DCP，DEFDPC，=，=，DE=，CE=CDDE=2=故答案为类型2三角形相似基本图形2例题：（2017山东临沂）已知ABCD，AD与BC相交于点O若=，AD=10，则AO=4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可【解答】解：ABCD，=，即=，解得，AO=4，故答案为：4【点评】本题考查的是平行线

4、分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键同步训练：（2017绥化）如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知SAEF=4，则下列结论： =；SBCE=36；SABE=12；AEFACD，其中一定正确的是（）ABCD【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质得到AE=CE，根据相似三角形的性质得到=，等量代换得到AF=AD，于是得到=；故正确；根据相似三角形的性质得到SBCE=36；故正确；根据三角形的面积公式得到SABE=12，故正确；由于AEF与ADC只有一个角相等，于是得到AEF

5、与ACD不一定相似，故错误【解答】解：在ABCD中，AO=AC，点E是OA的中点，AE=CE，ADBC，AFECBE，=，AD=BC，AF=AD，=；故正确；SAEF=4， =（）2=，SBCE=36；故正确；=，=，SABE=12，故正确；BF不平行于CD，AEF与ADC只有一个角相等，AEF与ACD不一定相似，故错误，故选D 解题方法点析 “K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题类型3三角形相似基本图形3例题：（2017山东泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，MEAM，ME交AD的延长线于点E若A

6、B=12，BM=5，则DE的长为（）A18BCD【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质【分析】先根据题意得出ABMMCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据MCGEDG即可得出结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，MC=125=7MEAM，AME=90°，AMB+CMG=90°AMB+BAM=90°，BAM=CMG，B=C=90°，ABMMCG，=，即=，解得CG=，DG=12=AEBC，E=CMG，EDG=C，MCGEDG，=，即=，解得DE=故选B同步训练：（2016·山东省东营

7、市·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEAC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；tanCAD其中正确的结论有( )A.4个 B3个 C2个 D1个【知识点】特殊平行四边形矩形的性质、相似三角形相似三角形的判定与性质、锐角三角函数锐角三角函数值的求法【答案】B.【解析】矩形ABCD中，ADBC.AEFCAB.正确；AEFCAB，CF2AF正确；过点D作DHAC于点H.易证ABFCDH(AAS).AFCH.EFDH, 1.AFFH.FHCH.DH垂直平分CF.DFDC. 正确；设EF1，则BF2.ABFEAF.AF.tanABF.

8、CADABF，tanCADtanABF.错误.故选择B.【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，锐角三角函数值的求法，正确的作出辅助线是解本题的关键类型4三角形相似基本图形4例题：（2017毕节）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且EAF=45°，将ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）AAEE是等腰直角三角形BAF垂直平分EE'CEECAFDDAEF是等腰三角形【考点】R2：旋转的性质；KG：线段垂直平分线的性质；KI：等腰三角形的判定；KW：等腰直角三角形；LE：正方形

9、的性质；S8：相似三角形的判定【分析】由旋转的性质得到AE=AE，EAE=90°，于是得到AEE是等腰直角三角形，故A正确；由旋转的性质得到EAD=BAE，由正方形的性质得到DAB=90°，推出EAF=EAF，于是得到AF垂直平分EE'，故B正确；根据余角的性质得到FEE=DAF，于是得到EECAFD，故C正确；由于ADEF，但EAD不一定等于DAE，于是得到AEF不一定是等腰三角形，故D错误【解答】解：将ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，AE=AE，EAE=90°，AEE是等腰直角三角形，故A正确；将ABE绕点A顺时针旋

10、转90°，使点E落在点E'处，EAD=BAE，四边形ABCD是正方形，DAB=90°，EAF=45°，BAE+DAF=45°，EAD+FAD=45°，EAF=EAF，AE=AE，AF垂直平分EE'，故B正确；AFEE，ADF=90°，FEE+AFD=AFD+DAF，FEE=DAF，EECAFD，故C正确；ADEF，但EAD不一定等于DAE，AEF不一定是等腰三角形，故D错误；故选D同步训练：（2017湖南株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF求证：DAED

11、CF； 求证：ABGCFG【考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质【分析】由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到BAG=BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证【解答】证明：正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，ADC=EDF=90°，AD=CD，DE=DF，ADE+ADF=ADF+CDF，ADE=CDF，在ADE和CDF中，ADECDF；延长BA到M，交ED于点M，ADECDF，EAD=FCD，即EAM

12、+MAD=BCD+BCF，MAD=BCD=90°，EAM=BCF，EAM=BAG，BAG=BCF，AGB=CGF，ABGCFG专 题 训 练1. （2017张家界）如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的中点，如果ADE的周长是6，则ABC的周长是（）A6B12C18D24【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理【分析】根据线段中点的性质求出AD=AB、AE=AC的长，根据三角形中位线定理求出DE=AB，根据三角形周长公式计算即可【解答】解：D、E分别是AB、AC的中点，AD=AB，AE=AC，DE=BC，ABC的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=

13、2（AD+AE+DE）=2×6=12故选B2. （2017深圳）如图，在RtABC中，ABC=90°，AB=3，BC=4，RtMPN，MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=3【考点】S9：相似三角形的判定与性质【分析】如图作PQAB于Q，PRBC于R由QPERPF，推出=2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQBC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题【解答】解：如图作PQAB于Q，PRBC于RPQB=QBR=B

14、RP=90°，四边形PQBR是矩形，QPR=90°=MPN，QPE=RPF，QPERPF，=2，PQ=2PR=2BQ，PQBC，AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，2x+3x=3，x=，AP=5x=3故答案为33. （2017.江苏宿迁）如图，在ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足DEF=B，且点D、F分别在边AB、AC上（1）求证：BDECEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分DFC【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质【分析】（1）根据等

15、腰三角形的性质得到B=C，根据三角形的内角和和平角的定义得到BDE=CEF，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）AB=AC，B=C，BDE=180°BDEB，CEF=180°DEFDEB，DEF=B，BDE=CEF，BDECEF；（2）BDECEF，点E是BC的中点，BE=CE，DEF=B=C，DEFCEF，DFE=CFE，FE平分DFC4. （2017呼和浩特）如图，在ABCD中，B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一

16、个三等分点，则AOE与BMF的面积比为3：4【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质【分析】作MHBC于H，设AB=AC=m，则BM=m，MH=BM=m，根据平行四边形的性质求得OA=OC=AC=m，解直角三角形求得FC=m，然后根据ASA证得AOECOF，证得AE=FC=m，进一步求得OE=AE=m，从而求得SAOE=m2，作ANBC于N，根据等腰三角形的性质以及解直角三角形求得BC=m，进而求得BF=BCFC=mm=m，分别求得AOE与BMF的面积，即可求得结论【解答】解：设AB=AC=m，则BM=m，O是两条对角线的交点，OA=OC=AC=m，B=30°，A

17、B=AC，ACB=B=30°，EFAC，cosACB=，即cos30°=，FC=m，AEFC，EAC=FCA，又AOE=COF，AO=CO，AOECOF，AE=FC=m，OE=AE=m，SAOE=OAOE=××m=m2，作ANBC于N，AB=AC，BN=CN=BC，BN=AB=m，BC=m，BF=BCFC=mm=m，作MHBC于H，B=30°，MH=BM=m，SBMF=BFMH=×m×m=m2，=故答案为3：45. （2017四川眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BFDE，垂足为F，B

18、F分别交AC于H，交BC于G（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质【分析】（1）由于BFDE，所以GFD=90°，从而可知CBG=CDE，根据全等三角形的判定即可证明BCGDCE，从而可知BG=DE；（2）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易证ABHCGH，所以，从而可求出HG的长度，进而求出的值【解答】解：（1）BFDE，GFD=90°，BCG=90°，BGC=DGF，CBG=CDE，在BCG与DCE中，BCGDCE（ASA），

19、BG=DE，（2）设CG=1，G为CD的中点，GD=CG=1，由（1）可知：BCGDCE（ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，sinCDE=，GF=，ABCG，ABHCGH，=，BH=，GH=，=6. （2017湖北江汉）在RtABC中，ACB=90°，点D与点B在AC同侧，DACBAC，且DA=DC，过点B作BEDA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME（1）如图1，当ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是MD=ME；（2）如图2，当ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当ADC=时，求的

20、值【考点】SO：相似形综合题【分析】（1）先判断出AMFBME，得出AF=BE，MF=ME，进而判断出EBC=BEDECB=45°=ECB，得出CE=BE，即可得出结论；（2）同（1）的方法即可；（3）同（1）的方法判断出AF=BE，MF=ME，再判断出ECB=EBC，得出CE=BE即可得出MDE=，即可得出结论【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，BEDA，FAM=EBM，AM=BM，AMF=BME，AMFBME，AF=BE，MF=ME，DA=DC，ADC=90°，BED=ADC=90°，ACD=45°，ACB=90°，ECB=45&

21、#176;，EBC=BEDECB=45°=ECB，CE=BE，AF=CE，DA=DC，DF=DE，DMEF，DM平分ADC，MDE=45°，MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，BEDA，FAM=EBM，AM=BM，AMF=BME，AMFBME，AF=BE，MF=ME，DA=DC，ADC=60°，BED=ADC=60°，ACD=60°，ACB=90°，ECB=30°，EBC=BEDECB=30°=ECB，CE=BE，AF=CE，DA=DC，DF=DE，DMEF，DM平分ADC，MDE=30°，在RtMDE中，tanMDE=，MD=ME（3）如图3，延长EM交AD于F，BEDA，FAM=EBM，AM=BM，AMF=BME，AMFBME，AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，BNC=DAC，DA=DC，DCA=DAC，BNC=DCA，ACB=90°，ECB=EBC，CE=BE，AF=CE，DF=DE，DMEF，DM平分ADC，ADC=，MDE=，在RtMDE中， =tanMDE=tan