备战2020年中考数学压轴题专题研究专题3 抛物线上的特殊平行四边形问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究（免费下载）.doc

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1、专题三：抛物线上的特殊平行四边形问题探究专题导入导图：给出两点确定平行四边形关系如下图：导例 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 图1 图2思路点拨1求抛物线的解析式，设交点式比较简便2把MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA3当PQ与OB平行且相等时

2、，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程答案：(1) 因为抛物线与x轴交于A(4,0)、C(2,0)两点，设ya(x4)(x2)代入点B(0,4)，求得所以抛物线的解析式为(2)如图2，直线AB的解析式为yx4过点M作x轴的垂线交AB于D，那么所以因此当时，S取得最大值，最大值为4(3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ/OB，PQOB4设点Q的坐标为，点P的坐标为当点P在点Q上方时，解得此时点Q的坐标为（如图3），或（如图4）当点Q在点P上方时，解得或（与点O重合，舍去）此时点Q的坐标为(4,4) （如图5） 图3

3、图4 图5典例类型一：已知“两点”判断平行四边形存在性问题例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求ABM的面积（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n

4、的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t3），则M（t，t22t3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+SAPM计算即可；（3）由PMOB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的

5、t的值类型二：菱形的存在性问题例2 如图2所示，直线yxc与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CEOE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由注：二次函数yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，）【分析】 （1）把已知点坐标代入解析式；（2）取点C关于抛物

6、线的对称轴直线l的对称点C，由两点之间线段最短，最小值可得；（3）由已知，注意相似三角形的分类讨论设出M坐标，求点P坐标注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的本题即为研究CPN为等腰三角形的情况类型三：正方形的存在性问题例3如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+4与抛物线yx2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上设抛物线与x轴的另一个交点为点C（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着

7、点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）作PFBO交AB于点F，证PFDOBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；（3）（i）点F在y轴上时，P在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P作PHx轴于H，根据正方形的性质可证明CPHFCO，根据全等三角形对应边相等可得PHCO2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PKx轴于K，作PSy轴于S，同理可证得EPSCPK，可得PSPK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标

8、；点E在y轴上时，过点PMx轴于M，作PNy轴于N，同理可证得PENPCM，可得PNPM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标由此即可解决问题专题突破1、如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。2如图，抛物线yax2+bx3经过点A（2，3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC3OB（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否

9、存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由3如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数解析式（其中k，b用含a的式子表示）；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由4.如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，

10、与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由5.已知抛物线yx22x+a（a0）与y轴相交于点A，顶点为M直线yxa分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，A

11、N与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线yx22x+a（a0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由参考答案例1.（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是x1（2）直线BC的解析式为yx3把x1代入yx3，得y2所以点E的坐标为（1，2）把x1代入，得y4所以点D的坐标为（1，4）因此DE=2因为PF/DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP于是得到解得，（与点E重合，舍去）因此，当m=2时，四边形PEDF是

12、平行四边形时设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3因此m的变化范围是0m3 图2 图3例2.解：（1）将A（4，0）代入yx+cc4将A（4，0）和c4代入yx2+bx+cb3抛物线解析式为yx23x+4（2）做点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C，连OC，交直线l于点E连CE，此时CE+OE的值最小抛物线对称轴位置线xCC3由勾股定理OC5CE+OE的最小值为5（3）当CNPAMP时，CNP90°，则NC关于抛物线对称轴对称NCNP3CPN的面积为当CNPMAP时由已知NCP为等腰直角三角形，NCP90°过点C作CEMN于点E，设点M坐标为（a，0）EPEC

13、a，则N为（a，a23a+4），MPa23a+4（2a）a2a+4P（a，a2a+4）代入yx+4解得a2CPN的面积为4故答案为：或4存在设M坐标为（a，0）则N为（a，a23a+4）则P点坐标为（a，）把点P坐标代入yx+4解得a14（舍去），a21当PFFM时，点D在PM垂直平分线上，则D（，）当PMPF时，由菱形性质点D坐标为（1+，）（1，）当MPMF时，M、D关于直线yx+4对称，点D坐标为（4，3）例3 (1)将A(4，0)代入yxc，得c4，将A(4，0)和c4代入yx2bxc，得b3抛物线解析式为yx23x4.(2)如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C，连接OC，交直线l于

14、点E，连接CE，此时CEOE的值最小抛物线对称轴直线x32，CC3.在RtCCC中，由勾股定理，可得OC5，CEOE的最小值为5.(3)存在设点M坐标为(a，0)，则点N坐标为(a，a23a4)，P点坐标为(a，-a2-3a+42).把点P坐标代入yx4，得-a2-3a+42a+4，解得a14(舍去)，a21.当PFFM时，点D在MN垂直平分线上，则D(12，32)；当PMPF时，由菱形性质得点D坐标为(1322，322)或(1322，322)；当MPMF时，M，D关于直线yx4对称，点D坐标为(4，3)来源:Zxxk.Com例2 解：（1）直线yx+4与坐标轴交于A、B两点，当x0时，y4，

15、x4时，y0，A（4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入解析式得，解得，抛物线的解析式为；（2）如图1，作PFBO交AB于点F，PFDOBD，OB为定值，当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中4x0，则F（x，x+4），PF，且对称轴是直线x2，当x2时，PF有最大值，此时PF2，；（3）点C（2，0），CO2，（i）如图2，点F在y轴上时，若P在第二象限，过点P作PHx轴于H，在正方形CPEF中，CPCF，PCF90°，PCH+OCF90°，PCH+HPC90°，HPCOCF，在CPH和FCO中，CPHFCO（AAS），PHCO2，点P的纵坐标为

16、2，解得，x1+（舍去），如图3，点F在y轴上时，若P在第一象限，同理可得点P的纵坐标为2，此时P2点坐标为（1+，2）（ii）如图4，点E在y轴上时，过点PKx轴于K，作PSy轴于S，同理可证得EPSCPK，PSPK，P点的横纵坐标互为相反数，解得x2（舍去），x2，如图5，点E在y轴上时，过点PMx轴于M，作PNy轴于N，同理可证得PENPCM，PNPM，P点的横纵坐标相等，解得，（舍去），综合以上可得P点坐标为，专题训练 1.（1）直线经过点,抛物线经过点， 抛物线的解析式为（2）点的横坐标为且在抛物线上 ，当时，以为顶点的四边形是平行四边形 当时，解得：即当或时，四边形是平行四边形 当

17、时，解得：（舍去）即当时，四边形是平行四边形2解：（1）令x0，则y3，OC3，OC3OB，OB1，B（1，0），A（2，3），B（1，0）在抛物线yax2+bx3上，抛物线的解析式为yx22x3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为yx22x3，抛物线的对称轴直线为x1，由（1）知，C（0，3），A（2，3），点A，C关于抛物线对称轴直线x1对称，直线AB与对称轴直线x1的交点为点P，设直线AB的解析式为ykx+c，点A（2，3），B（1，0）在直线AB上，直线AB的解析式为yx1，令x1，则y2，P（1，2）；（3）设点N（1，n），M（m，m22m3），A（2，3），B（1，0），当AB与

18、MN为对角线时，AB与MN互相平分，（21）（m+1），m0，M（0，3）；当AN与BM为对角线时，AN与BM互相平分，（1+2）（m1），m4，M（4，5），当AM与BN为对角线时，AM与BN互相平分，（m+2）（11），m2，M（2，5），即：满足条件的点M坐标为（0，3）或M（4，5）或（2，5）3（1）当y0时，ax22ax3a0，解得x11，x23A（1，0），B（3，0），对称轴为直线x-1+321；（2）直线l：ykx+b过A（1，0），来源:学*科*网Z*X*X*K0k+b，即kb直线l：ykx+k抛物线与直线l交于点A，D，ax22ax3akx+k，即ax2（2a+k）x3a

19、k0CD4AC，点D的横坐标为43ka1×4ka直线l的函数表达式为yax+a；（4）以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax22ax3aax+a，即ax23ax4a0解得：x11，x24D（4，5a）抛物线的对称轴为直线x1，设P（1，m）AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（4，21a），m21a+5a26a，则P（1，26a）四边形ADPQ是矩形，ADP90°AD2+PD2AP252+（5a）2+32+（26a5a）222+（26a）2，即a217a0，a77P（1，2677）；若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，3a），m5a（3a）8a，则P（1

20、，8a）四边形APDQ是矩形，APD90°AP2+PD2AD2（11）2+（8a）2+（14）2+（8a5a）252+（5a）2，即a214，a0，a12 P（1，4），综上所述，点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，2677）或（1，4）4.【解析】解：（1）抛物线的顶点为Q（2，1）设将C（0，3）代入上式，得， 即（2）分两种情况：当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令=0, 得解之得, 点A在点B的右边, B(1,0), A(3,0)P1(1,0) 解:当点A为APD2的直角顶点是(如图)OA=OC, AOC=, OAD2=当D2AP2=时, OAP2

21、=, AO平分D2AP2又P2D2轴, P2D2AO, P2、D2关于轴对称设直线AC的函数关系式为将A(3,0), C(0,3)代入上式得, D2在上, P2在上,设D2(,), P2(,)()+()=0, , (舍)当=2时, =1 P2的坐标为P2(2,1)(即为抛物线顶点)P点坐标为P1(1,0), P2(2,1) (3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形当点P的坐标为P2(2,1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形P(2,1), 可令F(,1)解之得: , F点有两点,即F1(

22、,1),F2(,1) 5.解：（1）M（1，a1），N（a，a）；（2）由题意得点N与点N关于y轴对称，N（a，a）将N的坐标代入yx22x+a得：aa2+a+a，a10（不合题意，舍去），N（3，），点N到y轴的距离为3A（0，），N'（3，），直线AN'的解析式为，它与x轴的交点为D（）点D到y轴的距离为S四边形ADCNSACN+SACD××3+××；（3）存在，理由如下：当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PNAC，则把N向上平移2a个单位得到P，坐标为（a，a），代入抛物线的解析式，得：aa2a+a，解得a10（不舍题意，舍去），a2，则P（，）；当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，则OAOC，OPON则P与N关于原点对称，则P（a，a）；将P点坐标代入抛物线解析式得：aa2+a+a，解得a10（不合题意，舍去），a2，则P（，）故存在这样的点P（，）或P（，），能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形