备战2020年中考数学压轴题专题研究专题10 与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析-备战2020年中考数学压轴题专题研究（免费下载）.doc

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1、专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析专题导例如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AMBN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是 【分析】：先判断出RtADMRtBCN（HL），得出DAMCBN，进而判断出DCEBCE（SAS），得出CDECBE，即可判断出AFD90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OFAD3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小方法剖析轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分；（2

2、）轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，新旧图形具有对称性；（3）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上.轴对称（折叠）的思考层次全等变换：对应边相等，对应角相等；对称轴性质：对应点所连线段被对称轴（折痕）垂直平分，对称轴（折痕）上的点到对应点的距离相等；指出：（1）在翻折下，前后的图形关于折痕成轴对称，注意前后的图形成镜面对称，即前后的图形的左右位置互换；（2）翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长及对最值类问题进行探究；（3）轴对称常见的结构，折叠会产生垂直平分，等腰三形.导例答案：解：如图，在正方形ABCD中，ADBCCD，ADCBCD，DCE

3、BCE，在RtADM和RtBCN中，RtADMRtBCN（HL），DAMCBN，在DCE和BCE中，DCEBCE（SAS），CDECBEDAMCDE，ADF+CDEADC90°，DAM+ADF90°，AFD180°90°90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OFDOAD3，在RtODC中，OC3根据三角形的三边关系，OF+CFOC，当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值OCOF33故答案为：33典型例题类型一：利用已知直线作对称图形进行证明例1、在等边ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DEDA（如图1）（1）求证：BA

4、DEDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM依题意将图2补全；证明：在点D运动的过程中，始终有DAAM【分析】（1）先判断出BAD+CAD60°，进而得出BAD+E60°，即可得出结论；（2）由对称性即可补全图形；由对称性判断出DMDE，MDCEDC，再用三角形的外角的性质，判断出ADCB+BADB+MDC，进而判断出ADM是等边三角形，即可得出结论类型二：对已知图形进行翻折进行证明例2如图，矩形ABCD中，AB4，AD3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：DECEDA；（2）求DF的值；（3）在线段AB上找一点P

5、，连结FP使FPAC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小K【分析】（1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到ADEC，AEDC，即可证到DECEDA（SSS）；（2）易证AFCF，设DFx，则有AF4x，然后在RtADF中运用勾股定理就可求出DF的长（3）根据三角形的内角和定理求得APFAFP根据等角对等边得出AFAP进而得出FCAP，从而证得四边形APCF是平行四边形，又因为FPAC证得四边形APCF为菱形，然后根据菱形的面积S菱形PFACAPAD，即可求得专项突破1.如图，在RtABC中，C90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接D

6、E将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC3，BC4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为 2如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BFDE于点F，连接FC（1）求证：FBCCDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论3.已知矩形ABCD，其中ADAB，依题意先画出图形，然后解答问题（1）F为DC边上一点，把ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处在图1中先画出点E，再画出点F，若AB8，AD10，直接写出EF的长为 ；（2）把ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点

7、E，AE交CB于点F，连接BE求证：BEF是等腰三角形4.如图，RtABC中，ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一个动点（不与点A，B及AB中点重合），连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F（1）如图1，当ACD=15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出BFC的度数；（2）如图2，当45°ACD90°时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的数量关系，并加以证明5在RtABC中，ACB90°，CACB点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DEDA作点E关

8、于直线BC的对称点F，连接BF，DF（1）依题意补全图形；来源:学,科,网（2）求证：CADBDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明6如图，在等腰三角形ABC中，ABAC8，BC14如图，在底边BC上取一点D，连结AD，使得DACACD如图，将ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED则BE的长是7在等边三角形ABC外侧作射线AP，BAP=，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E.（1）依据题意补全图形；来源:学科网（2）当=20°时，ADC= ；AEC= ；（3）连接BE，求证：AEC=BEC；（4）当0&#

9、176;<<60°时，用等式表示线段AE， CD，DE之间的数量关系，并证明8.在等边ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E（1）如图1，若PAB30°，则ACE ；（2）如图2，若60°PAB120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由9如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DGBE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.判断四边形BFD

10、G的形状，并说明理由；若AB6，AD8，求FG的长10.【问题情境】如图，在RtABC中，ACB90°，ACBC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F易知：BECF（不需要证明）【探索发现】如图，在RtABC中，ACB90°，ACBC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由【类比迁移】如图，在等边ABC中，AB4，点D是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F当CF2C

11、E时，CE 11在ABC中，ACB90°，ACBC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BEAD，（1）如图1，连接AE，DE，当AEB110°时，求DAE的度数；（2）在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BEAD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE依题意补全图形；求证：BFDE专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析例1解：（1）ABC是等边三角形，BACACB60°，BAD+CAD60°，DEDA，CADE，BAD+E60°，EDC+EACB

12、60°，BADEDC；（2）补全图形如图2所示；ABC是等边三角形，B60°，由对称性得，EDCMDC，由（1）知，EDCBAD，MDCBAD，ADCB+BADB+MDCADMB60°，由对称性得，DMDE，DEDA，DADM，ADM是等边三角形，DADM，即：在点D运动的过程中，始终有DAAM例2（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ABCD，ABCD，ACDCAB，AEC由ABC翻折得到，ABAE，BCEC，CAECAB，ADCE，DCEA，ACDCAE，在ADE与CED中，DECEDA（SSS）；（2）解：如图1，ACDCAE，AFCF，设DFx，则A

13、FCF4x，在RTADF中，AD2+DF2AF2，即32+x2（4x）2，解得；x，即DF（3）解：四边形APCF为菱形，设AC、FP相较于点OFPACAOFAOP又CAECAB，APFAFPAFAPFCAP又ABCD四边形APCF是平行四边形又FPAC四边形APCF为菱形，在矩形ABCD中，AB4，AD3，AC5，S菱形PFACAPAD，APAF4PF专项突破1.解：折叠BDDF，点F落在AC的三等分点上CF1或CF2，若CF1时，在RtCDF中，DF2CD2+CF2，BD2（4BD）2+1BD当CF2时，在RtCDF中，DF2CD2+CF2，BD2（4BD）2+4BD故答案为：或2解：（1

14、）ABCD为正方形，DCE90°CDF+E90°，又BFDE，FBC+E90°，FBCCDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FMFDBDCMDF45°，BDMCDF，BDMCDF，DBMDCF，BMCF，CFEFCD+CDFDBM+BDMDMF45°，EFGEFC45°，CFG90°，CFFG，CGCF，BMCG，BFBM+FMCG+DF补充方法：连接GM，证明四边形BMGC是平行四边形即可3.解：（1）如图1，在BC上截取AEAD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直

15、AE交CD于点F等等），四边形ABCD是矩形，ABCD8，ADBC10，BC90°，在RtABE中，BE6，EC1064，设EFDFx，在RtEFC中，则有x2（8x）2+42，解得x5，EF5故答案为：5；（2）证明：如图2，作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HEDH方法1：ADCAEC，ADAEBC，ABDCEC，在ABE与CEB中，ABECEB（SSS），AEBCBE，BFEF，BEF是等腰三角形方法2：ADCAEC，ADAEBC，DACEAC，又ADBC，DACACB，EACACB，FAFC，FEFB，BEF是等腰三角形4.（1）如图1中，连接ECA，E关于CD对称，D

16、CA=DCE=15°，CA=CE=CBACB=90°，ECB=60°，ECB是等边三角形，CEB=60°，CEB=BFC+DCE，BFC=60°-15°=45°（2）结论：EF2+BF2=2AC2理由：如图2，连接CE，AF，延长AC交FE的延长线于点GA，E关于CD对称，AC=CE，AF=EF，又CF=CF，ACFECF（SSS），CAF=1，AC=BC，BC=CE，1=2，CAF=2，ACB=90°，G+2=90°，CAF+G=90°，AFG=90°，在RtAFB中，AB2=AF2

17、+BF2，在RtABC中，AB2=AC2+BC2=2AC2，BF2+AF2=2AC2，BF2+EF2=2AC25（1）如图所示：（2）ACB90°，CACB，BACCBA45°，CAD+DAB45°，DADE，DAEDEB，DBA是DBE的一个外角，EDB+DEBDBA45°，EDBCAD，点E关于直线BC的对称点F，EDBFDB，CADFDB；（3）线段AB，BD，BF之间的数量关系是ABBF=2BD，证明：过点D作AC的平行线交AB于M点，CMDB90°，CABDMB45°，DMBDBM，DMDB，MB=2BD，点E关于直线BC的

18、对称点F，DEDF，ADDE，ADDF，ACMD，CADADM，CADFDB，ADMFDB，ADMFDB（SAS），AMBF，ABBFABAMMB，又MB=2BD，ABBF=2BD6.解：ABAC，ABCC，DACACD，DACABC，CC，CADCBA，CD，BDBCCD，DAMDACDBA，ADMADB，ADMBDA，即，DM，MBBDDM，ABMCMED，A、B、E、D四点共圆，ADBBEM，EBMEADABD，ABDMBE，BE故答案为：7（1）如图； （2）40°；60 °；（3）证明：点B关于射线AP的对称点为点D， BAEDAE BAE=DAE= AD=AB=

19、AC，ADC=60° AEC=60° ACB=60°，ACD=ADC=60°，BCE=ABC=60°，ABE=ADC=60°，BEC=60°（4）证明：法一：在CD上截取AF=AEAEF=60°，AEF是等边三角形AFC=AED=120°ACD=ADC=60°，ADEACFDE=CFCD=2DE+EFAE=EF，CD=2DE+AE法二：在CD上截取BG=BEBEC=60°，BEG是等边三角形BGC=AED=120°BCE=DAE=，BCGDAEAE=CGEG=BE=DE，CD

20、=2DE+CGCD=2DE+AE8.解：（1）连接AD，如图1点D与点B关于直线AP对称，ADAB，DAPBAP30°，ABAC，BAC60°，ADAC，DAC120°，2ACE+60°+60°180°，ACE30°，故答案为：30°；（3）线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形证明：连接AD，EB，如图2点D与点B关于直线AP对称，ADAB，DEBE，EDAEBA，ABAC，ABAD，ADAC，ADEACE，ABEACE设AC，BE交于点F，又AFBCFE，BACBEC60°，线

21、段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形9(1)根据折叠，DBCDBE，又ADBC，DBCADB，DBEADB，DFBF，BDF是等腰三角形(2)菱形，理由：四边形ABCD是矩形，ADBC，FDBG，又FDBG，四边形BFDG是平行四边形，DFBF，四边形BFDG是菱形AB6，AD8，BD10.OBBD5.设DFBFx，AFADDF8x.在RtABF中，AB2AF2BF2，即62(8x)2x2，解得x，即BF，FO，FG2FO10.解：【问题情境】证明：在RtABC中，ACB90°，ACBC，点D为AB中点，CDAB，CDBDADAB，BCDB45°，B

22、DC90°，EDF90°，CDFBDE，在BDE与CDF中，BDECDF（ASA），BECF；【探索发现】成立，理由：在RtABC中，D为AB中点，CDBD，又ACBC，DCAB，DBCDCB45°，DEDF，EDF90°，EDB+BDFCDF+BDF90°，CDFBDE，ADFCDE，AFCE，CFBE；【类比迁移】ABC是等边三角形，AB60°，FDE60°，BDF120°ADE，AED120°ADE，BDFAED，ADEBDF，点D为AB中点，AB4，ADBD2，ACBC4，CF2CE，设CEx，则CF2x，当点E在线段AC上时，AE4x，BF42x，解得：x3，x3+（不合题意，舍去），CE3，如图，当点E在AC的延长线上时，AE4+x，BF42x，解得：x1+，（负值舍去），CE1+综上所述，CE3或1+，故答案为：3或1+11.解：（1）AEB110°，ACB90°，DAEAEBACB20°；（2）补全图形，如图所示证明：由题意可知AEF90°，EFAEACB90°，AEC+BEFAEC+DAE90°BEFDAE在EBF和ADE中，EBFADE（SAS）DEBF