2020年中考数学第二轮重难题型突破题型七 综合实践题-2020年中考数学第二轮重难题型突破（解析版）（免费下载）.doc

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1、 题型七题型七 综合实践题综合实践题 例例 1 【问题情境】【问题情境】 已知 Rt ABC 中，BAC90 ，ABAC，点 E 是线段 AC 上的一个动点(不与 A、C 重合)，以 CE 为一边作 Rt DCE，使DCE90 ， 且 CDCA.沿 CA 方向平移 CDE， 使点 C 移动到点 A， 得到 ABF.过点 F 作 FGBC， 交线段 BC 于点 G，连接 DG、EG. 【深入探究】 (1)如图，当点 E 在线段 AC 上时，小文猜想 GCGF，请你帮他证明这一结论； (2)如图，当点 E 在线段 AC 的延长线上，且 CECA 时，猜想线段 DG 与 EG 的数量关系和位置关系，

2、并证明你的猜想； 【拓展应用】 (3)如图，将(2)中的“CECA”改为“CECA”，若设CDE，请用含 的式子表示CGE 的度数(直接回答即可，不必证明) 第 1 题图 【答案】(1)证明：在 Rt BAC 中，BAC90 ，ABAC， BCAABC45 ， FGBC， FGC90 ，GFC90 GCF45 ， GFCGCF， GCGF； (2)解：DGEG，DGEG； 证明：同(1)可证 GCGF， DCE90 ，BCA45 ， DCG45 ， GFC45 ， DCGEFG， CDE 平移得到 ABF， CEAF，CECFAFCF，即 EFAC， ACCD，EFCD，DCGEFG(SAS)

3、， DGEG，DGCEGF， DGCEGCEGFEGC， 即DGECGF90 ， DGEG； (3)解：CGE180 . 例例 2在正方形 ABCD 中，BD 是一条对角线，点 P 在直线 CD 上(不与点 C、D 重合)，连接 AP，平移 ADP，使点 D移动到点 C，得到 BCQ，过点 Q 作 QHBD 于 H，连接 AH，PH. 【问题发现】 (1)如图，若点 P 在线段 CD 上，AH 与 PH 的数量关系是_，位置关系是_； 【拓展探究】 (2)如图，若点 P 在线段 CD 的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由； 【解决问题】 (3)

4、若点 P 在线段 DC 的延长线上，且AHQ120 ，正方形 ABCD 的边长为 2，请直接写出 DP 的长度 第 2 题图 【答案】解：(1)AHPH，AHPH； 【解法提示】如解图，连接 HC， 第 2 题解图 四边形 ABCD 是正方形， BDC45 ， 又QHBD， DHQ 是等腰直角三角形， HDHQ，HDPHQC45 ， 由平移的性质可知 DPCQ， 在 HDP 和 HQC 中，HDHQHDPHQCDPQC， HDPHQC. HPHC，DHPQHC. 根据正方形是轴对称图形得到 HAHC，AHDCHD， AHPAHDDHPCHDQHC90 ，即 AHPH. HAHP，AHPH. (

5、2)(1)中的结论仍然成立， 理由如下：如解图，连接 HC， 第 2 题解图 四边形 ABCD 是正方形， BDC45 ， 又QHBD， DHQ 是等腰直角三角形，HDPHQC135 ，HDHQ，由平移的性质可知 DPCQ， 在 HDP 和 HQC 中，HDHQHDPHQCPDCQ， HDPHQC(SAS)， HPHC，DHPQHC， 根据正方形是轴对称图形得到 HAHC，AHDCHD， AHPAHDDHPCHDCHQ90 ， HAHP，AHPH； (3)DP2 3. 【解法提示】由(1)知，AHPH，AHPH， HPA45 ， AHQ120 ， PHQ120 90 30 . PHDQHDPH

6、Q60 ，AHBCHBAHPPHD30 ， CHPCHBAHB30 ， CPH180 CHP275 ， APDCPHAPH30 ，在 Rt ADP 中，AD2， DP2tanAPD2 3. 例例 3如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，A30 ，点 O 为 AB 中点，点 P 为直线 BC 上的动点(不与点 B、点 C 重合)，连接 OC、OP，将线段 OP 绕点 P 逆时针旋转 60 ，得到线段 PQ，连接 BQ. (1)如图，当点 P 在线段 BC 上时，请直接写出线段 BQ 与 CP 的数量关系； (2)如图，当点 P 在 CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；

7、若不成立，请说明理由； (3)如图，当点 P 在 BC 延长线上时，若BPO45 ，AC 6，请直接写出 BQ 的长 第 3 题图 【答案】解：(1)CPBQ; 【解法提示】如解图，连接 OQ， 第 3 题解图 由旋转可知，PQOP，OPQ60 ， POQ 是等边三角形， OPOQ，POQ60 ， 在 Rt ABC 中，O 是 AB 中点， OCOAOB， BOC2A60 POQ， COPBOQ， 在 COP 和 BOQ 中，OCOBCOPBOQ，OPOQ COPBOQ(SAS)， CPBQ； (2)成立，理由如下： 如解图，连接 OQ， 图 由旋转知 PQOP，OPQ60 ， POQ 是等边

8、三角形， OPOQ，POQ60 ， 在 Rt ABC 中，O 是 AB 中点， OCOAOB， BOC2A60 POQ，COPBOQ， 在 COP 和 BOQ 中，OCOBCOPBOQ，OPOQ COP BOQ(SAS)， CPBQ； (3)BQ6 22. 【解法提示】在 Rt ABC 中，A30 ，AC 6， BCAC tanA 2， 如解图，过点 O 作 OHBC 于点 H， 第 3 题解图 OHB90 BCA，OHAC， O 是 AB 中点， CH12BC22，OH12AC62， BPO45 ，OHP90 ， BPOPOH，PHOH62， CPPHCH62226 22， 连接 OQ，同(

9、1)的方法得，BQCP6 22. 例例 4 已知正方形 ABCD， 点 E 在直线 AD 上(不与点 A、 D 重合)， 连接 BE， 作 EFBE， 且 EFBE， 过点 F 作 FGBC，交直线 BC 于点 G. (1)如图，当点 E 在边 AD 上，点 G 在边 BC 的延长线上时，求证：ABAEBG； (2)如图，当点 E 在边 DA 的延长线上，点 G 在边 BC 上时，FG 交 AD 于点 H，试猜想 AB、AE 与 BG 的关系，并加以证明； (3)如图，当点 E 在边 AD 的延长线上，点 G 在边 BC 上时，FG 交 AD 于点 N，请直接写出线段 AB、AE、BG 之间的

10、数量关系，不需要证明 图 图 图 第 4 题图 【答案】(1)证明：如解图，延长 AD 交 GF 的延长线于点 M， 四边形 ABCD 是正方形， 第 4 题解图 A90 ，ABC90 ， 又FGBC， 四边形 ABGM 是矩形， AMBG， A90 ，EFBE，M90 ， AEBMFE， 在 ABE 和 MEF 中，AMAEBMFEEBEF， ABEMEF(AAS)， ABEM， AMAEEMAEAB， ABAEBG； (2)ABAEBG； 证明：FEHBEA90 ， BEAABE90 ， FEHABE， 在 ABE 和 HEF 中，BAEEHFABEHEFBEEF， ABEHEF(AAS)

11、， EHAB，EHAEABAEAH， 四边形 ABGH 是矩形， AHBG，ABAEBG； (3)AEABBG. 【解法提示】由(2)得 ABENEF， NEAB， ANNEANABAE，BGAN， AEABBG. 例例 5如图， ABC 中，ABBC，BDAC 于点 D，FAC12ABC，且FAC 在 AC 下方，点 P，Q 分别是射线 BD，射线 AF 上的动点，且点 P 不与点 B 重合，点 Q 不与点 A 重合，连接 CQ，过点 P 作 PECQ 于点 E，连接 DE. (1)若ABC60 ，BPAQ. 如图，当点 P 在线段 BD 上运动时，请直接写出线段 DE 和线段 AQ 的数量

12、关系和位置关系； 如图，当点 P 运动到线段 BD 的延长线上时，试判断中的结论是否成立，并说明理由； (2)若ABC260，请直接写出当线段 BP 和线段 AQ 满足什么数量关系时，能使(1)中的结论仍然成立(用含 的三角函数表示) 第 5 题图 【答案】解：(1)DE12AQ，DEAQ； 成立； 【解法提示】如解图，连接 PC、PQ， 第 5 题解图 BABC，ABC60 ， ABC 是等边三角形， BCAC， BCAC，FACPBC30 ，AQBP， AQCBPC(SAS)， QCPC，ACQBCP， ACQACPBCPACP60 ， PCQ 是等边三角形， 又 PEQC，E 为 QC

13、的中点， ABBC，BDAC，D 为 AC 的中点， DE12AQ，DEAQ； 成立理由如下： 如解图，连接 PC、PQ. 第 5 题解图 BABC，ABC60 ， ABC 是等边三角形，BCAC， BCAC，FACPBC30 ，AQBP， AQCBPC(SAS)， QCPC，ACQBCP， PCQBCA60 ， PCQ 是等边三角形， 又PEQC，E 为 QC 的中点， ABBC，BDAC，D 为 AC 的中点， DE12AQ，DEAQ； 第 5 题解图 (2)如解图，连接 PC，取 PC 中点 M，连接 MD、ME，设 PE 与 AC 交点为 N， PDC90 ， MD12PC， 同理 M

14、E12PC，即 MPMCMDME， P、D、E、C 四点共圆， NCENPD，EDCNPC， DEAQ，QACEDC， 又QACPBC， NPCPBC， EPDNPCPBCBCP， EPDBCP， NCEBCP. 由NCEBCP，QACPBC，得 QACPBC， AQBPACBC2DCBC2sinDBC2sinABC2， 即 AQBP2sin. 例例 6已知， ABC 为直角三角形，ACB90 ，点 P 是射线 CB 上一点(点 P 不与点 B、C 重合)，线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90 得到线段 AQ，连接 QB 交射线 AC 于点 M. (1)如图，当 ACBC，点 P 在线段 C

15、B 上时，线段 PB，CM 的数量关系是_； (2)如图，当 ACBC，点 P 在线段 CB 的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)如图，若ACBC52，点 P 在线段 CB 的延长线上，CM2，AP13，求 ABP 的面积 第 6 题图 【答案】解：(1)PB2CM； 【解法提示】如解图，过点 Q 作 QDAC 于点 D， 第 6 题解图 QEBC 交 BC 的延长线于点 E. AQ 是由 AP 绕点 A 顺时针旋转 90 得到的， APAQ，且PAQ90 ， PACQAD90 ，又PACAPC90 ， QADAPC， ACPQDA(AAS

16、)， ACQDCE， 又ABC 为等腰直角三角形， ACBCEC，即点 C 为 BE 的中点， CM12QE，即 QE2CM， 连接 AE，ACCEBC， ABE 为等腰直角三角形， AEAB， BAEPAQ90 ，BAPEAQ， 又APAQ， APBAQE(SAS)， BPQE2CM， PB2CM； (2)(1)中的结论 PB2CM 仍然成立； 证明：如解图所示，过点 Q 作 QGBC 交 BC 的延长线于点 G，过点 A 作 AFQG 交 QG 的延长线于点 F. 第 6 题解图 AQ 是由 AP 绕点 A 顺时针旋转 90 得到的， APAQ，且PAQ90 ， PACCAQ90 ， 又Q

17、AFCAQ90 ， PACQAF， PACQAF(AAS)， ACAF， 四边形 AFGC 为正方形， CGACBC，即 C 为 BG 的中点， QG2CM， 连接 AG 可得， ABG 为等腰直角三角形， ABAG， PABBAQQAGBAQ90 ， PABQAG， PABQAG(SAS)， PBQG2CM， PB2CM； (3) 如解图所示，过点 Q 作 QHAC 交 AC 的延长线于点 H. 第 6 题解图 由题知，ACBC52，设 AC5a，BC2a， 由(2)知， ACPQHA，QHAC5a， 又BCMQHM， BCQHCMMH， 2a5a2MH，MH5， 又APAQ13， 在 Rt

18、 AHQ 中，根据勾股定理得：QH2AH2AQ2， (5a)2(5a25)2132， 化简得：5a27a120， 即(a1)(5a12)0， 解得：a11，a2125(舍)， BC2，AHCP12，AC5， BPPCBC12210， S ABP12BP AC12 10 525. 例例 7如图，等边 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点， DMN 为等边三角形 (1)如图，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？ (2)如图，当点 M 在线段 BC 上时，其他条件不变，(1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系

19、是否仍然成立？若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由； (3)若点 M 在点 C 右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由 第 7 题图 【答案】解：(1)ENMF； 【解法提示】如解图，连接 DE、DF， D、E、F 是等边 ABC 三边中点， DEF 是等边三角形，DEDF，EDF60 ， DMN 为等边三角形，DMDN，MDN60 ， MDFNDE60 NDF， DMFDNE(SAS)，ENMF. 图 图 第 7 题解图 (2)成立 证明：如解图，连接 DE、DF 和 EF， ABC 是等边三角形，ABACBC. 又

20、D，E，F 是三边的中点， DE，DF，EF 为三角形的中位线， DEDFEF，FDE60 . 又MDFFDN60 ， NDEFDN60 ， MDFNDE. 在 DMF 和 DNE 中，DFDE，MDFNDE，DMDN， DMFDNE(SAS)，ENFM； (3)画出图形如解图， 第 7 题解图 MF 与 EN 相等的结论仍然成立(或 ENMF 成立) 【解法提示】如解图，连接 DE、EF、DF. 第 7 题解图 D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，且 ABC 是等边三角形，DEF 是等边三角形， DEDF，EDF60 . DMN 是等边三角形， DMDN，MDN60 ， MDFMD

21、EMDENDE， MDFNDE， MDFNDE(SAS)， MFNE. 例例 8已知，在矩形 ABCD 中，BC2AB，点 M 为 AD 边的中点，连接 BD，点 P 是对角线 BD 上的动点，连接 AP，以点 P 为顶点作EPF90 ，PE 交 AB 边于点 E，PF 交 AD 边于点 F. (1)发现问题 如图，当点 P 运动过程中PBA 与PAB 互余时，线段 BE、MF 与 AB 的数量关系为_； (2)解决问题 如图，当点 P 运动过程中PBA 与PAB 相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展延伸 在(2)的条件下，连接 EF 并

22、延长 EF，交直线 BD 于点 G，若 BEAF23，EF 85，求 DG 的长 第 8 题图 【答案】解：(1)BE12MF12AB； 【解法提示】如解图，取 AB 的中点 N，连接 PN、PM. 第 8 题解图 PBA 与PAB 互余， PBAPAB90 ， APB90 ， APD90 ， N 是 AB 的中点，M 是 AD 的中点， PNBNAN12AB，AMDMPM12AD， NAPNPA，MAPMPA. 四边形 ABCD 是矩形， BAD90 ，ABCD，ADBC. BC2AB， AD2AB， ABAD12， 而NAPMAPBAD90 ， NPAMPA90 ，即NPM90 . EPF

23、90 ， NPMEPF， NPMEPMEPFEPM， NPEMPF. ABPBAP90 ，BAPDAP90 ， ABPDAP. PNBN，AMPM， ABPBPN，DAPMPA， ENPFMP， PNEPMF， NEMFPNPM12AB12AD12. NE12MF， BENEBN， BE12MFBN， 又BN12AB， BE12MF12AB. (2)不成立； 理由如下：如解图，取 AB 的中点 N，连接 PN、PM， 第 8 题解图 四边形 ABCD 是矩形， BADABC90 ，ABCD，ADBC，ADBC， ADBCBD， PBAPAB， PAPB， N 是 AB 的中点， PNAB， A

24、NP90 ， PABPAD90 ，PBAPBC90 ， PADPBC， PADPDA， PAPD. M 是 AD 的中点， PMAD， PMA90 ， 四边形 PMAN 是矩形， NPM90 ，ANPM，PNAM. EPF90 ， NPMEPF， NPMEPMEPFEPM， NPEMPF. PNEPMF90 ， PNEPMF， NEMFPNPM12AD12AB. AD2AB， NE2MF. BENEBN， BE2MFBN， N 是 AB 的中点， BN12AB， BE2MF12AB，故(1)中结论不成立； (4) 如解图，延长 CD 交 FG 于点 H，设 BE2a，则 AF3a. 第 8 题

25、解图 BE2MF12AB， BE2(AFAM)12AB. AMAB， 2a2(3aAB)12AB， AB83a， AD163a，AE23a，FD73a. AE2AF2EF2， (23a)2(3a)2( 85)2， 解得 a13，a23(舍去) AE2，BE6，AF9，DF7，BD8 5. HDAB， AEFDHF， DHAEDFAF， DH279， DH149. 四边形 ABCD 是矩形， ABCD，即 HDBE. GDHGBE， DGBGDHBE， DGDG8 51496， DG14 55. 例例 9如图，在等腰 Rt ABC 和等腰 Rt EDB 中，ACBC，DEBD，ACBEDB90

26、，P 为 AE 的中点 (1)观察猜想 连接 PC、PD，则线段 PC 与 PD 的位置关系是_，数量关系是_； (2)探究证明 如图，当点 E 在线段 AB 上运动时，其他条件不变，作 EFBC 于 F，连接 PF，试判断 PCF 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸 在点 E 的运动过程中，当 PCF 是等边三角形时，直接写出 ACB 与 EDB 的两直角边之比 第 9 题图 【答案】解：(1)PCPD，PCPD； 【解法提示】如解图，过点 E 作 EFBC 于 F，过点 P 作 PHBC 于 H，连接 PF， 第 9 题解图 易得四边形 EFBD 是正方形， EFED，DEBFEB45

27、， PEFPED135 ， 在 PEF 和 PED 中， EFEDPEFPEDPEPE， PEFPED(SAS)， PFPD，EPFEPD， ACPHEF，点 P 为 AE 的中点， 点 H 是 FC 的中点， CHHF， 又 PHBC，PCPF， 故 PCF 是等腰三角形，CPHFPH， PCPD； HPBHPFEPF45 ， CPDCPHHPFEPFEPD2(HPFEPF)90 ， PCPD. (2) PCF 为等腰三角形， 理由如下：如解图，过点 P 作 PHBC 于点 H， 第 9 题解图 则 ACPHEF， P 为 AE 的中点， 点 H 是 FC 的中点，CHHF， 又 PHBC，

28、 PCPF， PCF 为等腰三角形； (3) 32. 【解法提示】如解图，过点 E 作 EFBC 于点 F，过点 P 作 PHBC 于点 H，由(1)知，四边形 BDEF 为正方形，设EFBFBDx，HFy， 第 9 题解图 PCF 是等边三角形， PH 3y， PHEF， BEFBPH， EFPHBFBH，即x3yxxy， 解得 y312x， BCx2y( 32)x， BCBD（ 32）xx 32. ACB 与 EDB 的两直角边之比为 32. 例例 10已知在 ABC 中，AB 边上的动点 D 由 A 向 B 运动(与 A，B 不重合)，点 E 与点 D 同时出发，由点 C 沿 BC 的延

29、 长线方向运动(E 不与 C 重合)，连接 DE 交 AC 于 F，点 H 是线段 AF 上一点 (1)初步尝试 如图，若 ABC 是等边三角形，DHAC，且点 D，E 的运动速度相等，过点 D 作 DGBC 交 AC 于点 G，则 GH 与AH 的数量关系是_，GF 与 FC 的数量关系是_，ACHF的值是_； (2)类比探究 如图，若在 ABC 中，ABC90 ，ADHA30 ，且点 D，E 的运动速度之比是 31，求ACHF的值； (3)延伸拓展 如图，若在 ABC 中，ABAC，ADHA36 ，记BCABm，且点 D，E 的运动速度相等，试用含 m 的代数式表示ACHF.(直接写出结果

30、，不必写出解答过程) 第 10 题图 【答案】解：(1)GHAH，GFFC，2； 【解法提示】DGBC， ADGB，AGDACB， ABC 是等边三角形， ABACB60 ， ADGAGDA， ADG 是等边三角形，GDADCE， DHAC，GHAH， DGBC， GDFCEF，DGFECF， 在 GDF 和 CEF 中， GDFCEFGDCEDGFECF， GDFCEF(ASA)， GFCF， GHGFAHCF，即 HF12AC， ACHF2. (2)如解图，过点 D 作 DGBC，交 AC 于点 G， 第 10 题解图 则ADGB90 ， AADH30 ，HGDHDG60 ， DHG 是等

31、边三角形， AHGHGD，AD 3GD， 根据题意得 AD 3CE，GDCE， DGBC，GDFCEF，DGFECF， 在 GDF 和 CEF 中， GDFCEFGDCEDGFECF，GDFCEF(ASA)， GFCF，GHGFAHCF， 即 HF12AC，ACHF2； (3)ACHFm1m. 【解法提示】如解图，过点 D 作 DGBC，交 AC 于点 G， 第 10 题解图 则ADGB，AGDACB，ADEC， ABAC，A36 ， ACBBADGAGD72 ， ADHA36 ， AHDH，DHG72 AGD， DGDHAH， ADGABC， ADGDGH， DGHABC，GHDGBCABDGADm，GHAHm， DGBC，DFGEFC，GFFCDGCE， 又CEAD，DGCEDGADm，GFFCDGCEm， GHGFAHFCHFAHFCm，AHFCHF1m， ACHFAHFCHFHF1m1m1m.