备战2020年中考数学压轴题专题研究专题12 最短路径—阿氏圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究（免费下载）.doc

《备战2020年中考数学压轴题专题研究专题12 最短路径—阿氏圆（PA+k&amp#183;PB型）定圆型轨迹问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究（免费下载）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2020年中考数学压轴题专题研究专题12 最短路径—阿氏圆（PA+k&amp#183;PB型）定圆型轨迹问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究（免费下载）.doc（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题十二：最短路径阿氏圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问题探究知识精讲在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB1，则P点轨迹为一条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作平面轨迹一书中，便已经回答了这个问题。接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PBk（k1）时P点的轨迹。对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P且P满足PA：PBk（k1），则动点P的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：几何“PA +

2、k·PB”型的最值问题 如图2所示，O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?如图3所示，在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明BPOPCO，即 k·PB = PC因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小(如图 4 所示) 图2 图3 图4专题导例1.如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是A上的任意一点，

3、将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值 方法点睛“阿氏圆”解题一般步骤:(1)连接动点 P 至圆心 O(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接)，即连接 OP，OB;(2)计算出所连接的这两条线段 OP，OB 的长度;(3)计算这两条线段长度的比 ;(4)在 OB 上取点 C，使得 ，即:半径的平方 = 原有的线段 × 构造线段;(5)连接AC与圆O的交点即为点 P要点：如图5，构造PABCAP，得到PA2=AB·AC，即：半径的平方=原有线段 × 构造线段口决：路径成最短，折线变直线导例答案：22-1典例精讲类型一

4、：圆中的阿氏圆问题 例1如图，已知AC6，BC8，AB10，C的半径为4，点D是C上的动点，连接AD，连接AD、BD，则的最小值为 .方法一：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2，这就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下；而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2，不妨让P点与D点重合，此时DM=1，即可确定M点位置 如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦

5、满足PM:PA=1:2方法二:构造相似三角形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得CPACMP，故PA：PM=2:1，即PM=问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可【问题剖析】（1）这里为什么是？答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是，也只能构造（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为类型二：与抛物线有关的阿氏圆问题例2如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC，OA，AB，已知OA=OB=2，AOB=1

6、20°（1）求这条抛物线的解析式；（2）过点C作CEOB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O，C，P为顶点的三角形与AOE相似，求点P的坐标；（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为（0°120°），连接EA，EB，求EA+12EB的最小值【分析】（1）根据AO=OB=2，AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）EOC=30°，由OA=2OE，OC=233，推出当OP=12OC或OP=2OC时，POC与AOE相似；（3）如图，取Q（12，0）连接AQ，QE由OEQOBE，推出

7、QE'BE'=OE'OB=12，推出EQ=12BE，推出AE+12BE=AE+QE，由AE+EQAQ，推出EA+12EB的最小值就是线段AQ的长；专题突破1.如图，正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上一动点，则的最小值为 ，的最大值为 .2.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是AOB外部的第一象限内一动点，且BPA135º，则2PDPC的最小值是 .3如图，已知菱形ABCD的边长为4，B60°，B的半径为2，P为B上一动点，则的最小值为 .4.如图 9 所示，点 A，B 在O 上，且

8、 OA = OB = 6，且OAOB，C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，且 OD = 4，动点 P在O 上，则 PD +2PC 的最小值为 5.如图，抛物线y89x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y89x+163（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M，将OM绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转

9、角在0°到90°之间）；探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，NPNB始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；试求出此旋转过程中，（NA+34NB）的最小值6如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0m4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设PMN的周长为C1，AEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时

10、针旋转得到OE，旋转角为（0°90°），连接AE、BE，求AE+23BE的最小值7.如图1，在RtABC中，ACB90°，CB4，CA6，C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求APBP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD1，则有，又PCDBCP，PCDBCP，PDBP，APBPAPPD请你完成余下的思考，并直接写出答案：APBP的最小值为 （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，APBP的最小值为 （3）拓展延伸：已知扇形COD中，COD90°，OC6，OA3，OB5，

11、点P是上一点，求2PAPB的最小值专题十二：最短路径阿氏圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问题探究答案例1.连接CD，在BC上取点E，使得CE2，连接AE、ED，如图所示：CD4，BC8，CE2，BCDBCD，CDECBD，BD2DE，根据两点之间，线段最短，当点D在AE上时，ADDE最小，最小值就是AE的长，ACB90º，的最小值是.例2（1）过点A作AHx轴于点HAO=OB=2，AOB=120°，AOH=60°OH=1，AH=3A点坐标为（1，3），B点坐标为（2，0）将两点代入y=ax2+bx,得a-b=3，4a+2b=0.解得a=33,b=-233

12、.抛物线的解析式为：y=33x2233x；（2）如图，C（1，33），tanEOC=ECOE=33EOC=30°POC=90°+30°=120°AOE=120°，AOE=POC=120°来源:学+科+网Z+X+X+KOA=2OE，OC=233，当OP=12OC或OP=2OC时，POC与AOE相似OP=33，OP=433点P坐标为（0，33）或（0，433）（3）如图，取Q（12，0）连接AQ，QEOE'OB=OQOE'=12，QOE=BOE，OEQOBEE'QBE'=OE'OB=12EQ=12B

13、EAE+12BE=AE+QE来源:学&科&网AE+EQAQ，EA+12EB的最小值就是线段AQ的长，最小值为(32)2+(3)2=212专题突破1.在BC上取一点G，使得BG1，连接PG、DG，如图所示：PBGPBC，PBGCBP，在PDG中，DPPGDG，当D、G、P共线时，的值最小，最小值为；当点P在DG的延长线时，的值最大，如图所示：此时最大值也是DG，最大值为5.2.依题意可得OAOB2，BPA135º，点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE1，连接PE、ED，过点D作DFOC于点F，如图所示：，POCE

14、OP，POC EOP，当E、P、D三点共线时，PDPE的值最小，最小值为DE的值，DFOC于点F，则DF2，EF2，的最小值为2DE.3. 在BC上取一点G，使得BG1，过点D作DFBC的延长线交于点F，连接DG、BP，如图所示：PBGPBC，PBG CBP，当D、G、P三点共线时，的值最小，最小值为DG，在RtCDF中，DCF60º，CD4，在RtGDF中，的最小值为.4. 410 提示：如图，作O关于A的对称点E，连接ED交圆O于点P5.（1）在y89x+163中，令x0，则y163，令y0，则x6，B（0，163），A（6，0），把B（0，163），A（6，0）代入y89x2+

15、bx+c得，所以-89×（-6）2-6b+c=0，c=163.b=-409，c=163.抛物线的函数关系式为：y89x2409x+163，令y0，则089x2409x+163，x16，x21，C（1，0）；（2）点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，D（m，89m+163），当DE为底时，如图1，作BGDE于G，则EGGD12ED，GMOB163，DM+DGGMOB，89m+163+12（89m2409m+16389m163）163，解得：m14，m20（不合题意，舍去），当m4时，BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；（3）存在，如图2ONOM4

16、，OB163，NOPBON，当NOPBON时，OPONNPNB=ONOB34，NPNB不变，即OP34ON34×43，P（0，3）；N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由知，NPNB=ONOB=34，NP34NB，（NA+34NB）的最小值NA+NP，此时N，A，P三点共线，NA+34NB的最小值32+62356如图，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0m4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M（1）求a的值和直线AB的函数解析式；（2）设PMN的周长为C1，AEN的

17、周长为C2，若C1C2=65，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为（0°90°），连接AE，BE，求AE+23BE的最小值7. （1）解：将A（4,0）代入抛物线y=ax2+（a+3）x+3，16a+4（a+3）+3=0.解得a-34，抛物线解析式为y=-34x2+94x+3.当x=0时，y=3，所以B（0,3），设直线解析式为y=kx+b，将A，B点的坐标代入得4k+b=0b=3解得k=-34b=3.，y-34x+3.（2） PMAB，PEOA，PMN=AEN.PNM=ANE，PNMANE.PNAN=65.NEOB，ANAB

18、=AEOA.AN54(4m).抛物线的解析式为y=-34x2+94x+3.PN=-34m294m3-(-34m3)= -34m23m. -34m23m54(4m)65m2.（3）如图，在y轴上取一点M，使得OM=43,连接AM,在AM取一点E ，使得OE =OE，OEOE2，O M·OB=43×3=4.OE'2 = O M·OB.BO E'=MOE, MOEE' OB.M'E'B E'=OE'OB23.ME=23 B E'.A E+23BE= A E+ ME= A M，此时A E+23BE最小(两点之

19、间线段最短，A, M，E三点共线)在RtAO M中，AO=4，O M=43，A M=43 10，A E+23BE最小值为43 10.（1）如图1，连结AD，APBPAPPD，要使APBP最小，APAD最小，当点A，P，D在同一条直线时，APAD最小，即：APBP最小值为AD，在RtACD中，CD1，AC6，APBP的最小值为；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD，PCDACP，PCDACP，PDAP，APBPBPPD，同（1）的方法得出APBP的最小值为；（3）如图3，延长OA到点E，使CE6，OEOCCE12，连接PE、OP，OA3，AOPAOP，OAPOPE，EP2PA，2PAPBEPPB，当E、P、B三点共线时，取得最小值为：.