专题38第7章圆之垂径切线图备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

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1、38第7章圆之垂径切线图一、单选题1如图，O的半径为2，点A为O上一点，OD弦BC于D，如果BAC60°，那么OD的长是（）ABC1D2【答案】C【分析】由于BAC60°，根据圆周角定理可求BOC120°，又ODBC，根据垂径定理可知BOD60°，在RtBOD中，利用特殊角的三角函数值即可求出OD【详解】解：OD弦BC，BDO90°，BODBAC60°，ODOB1，故答案选：C【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数计算2O的直径为26cm，AB、CD是O的两条弦，ABCD，AB24cm，CD10cm，则AB和CD

2、之间的距离为（ ）cmA7B5C7，17D5，17【答案】C【分析】作OEAB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，根据平行线的性质得OFCD，再利用垂径定理得到AE= AB=12，CF=CD=5，接着根据勾股定理，在Rt中计算出OE=5，在Rt中计算出OF=12，然后分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF-OE从而可得答案【详解】解：作OEAB于E，交CD于F，连结OA、OC，由O的直径为26cm，则O的半径为13cm，如图， ABCD， OFCD， AE=BE= AB=12，CF=DF=CD=5， 在Rt中，OA=13，AE=12

3、， OE= 在Rt中，OC=13，CF=5， OF= 当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE=12+5=17； 当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF-OE=12-5=7； 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm 故选：C【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理学会运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键3如图，AB是O的直径，O是圆心，弦CDAB于E，AB=10，CD=8，则OE的长为()A2B3C4D5【答案】B【分析】先根据垂径定理得出CE的长，再根据勾股定理求出OE即可【详解】连接OC直径AB=10，OC=5CDAB，AB

4、为直径，CD=2CE=8，OEC=90°，CE=4，由勾股定理得：OE3故选：B【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出CE的长是解题的关键4如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2x4），则PDCD的最大值是（）A2B3C4D6【答案】A【分析】过点O向BC作垂线OH，垂足为H，由垂径定理得到H为PD的中点，设PC=x，根据CD=PC-PD，进而求出PD·CD，整理后得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取

5、值【详解】过点O向BC作垂线OH，垂足为H，PD是O的弦，OHPD，PH=HD.CHO=HCA=OAC=90°，四边形OACH为矩形，CH=OA=2，PC=x，PH=HD=PC-CH=x-2，CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x，PD·CD=2 (x-2)(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2，2x4，当x=3时，PD·CD的值最大，最大值是2，故选：A【点评】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、二次函数的性质，作OHBC，利用垂径定理求解是解答的关键5如图，已知，为反比例函数的图象上一点，以为直径的圆的圆心在轴上，与轴正半轴交于，则

6、的值为（ ）ABCD【答案】C【分析】过B点作BHx轴于H点，由AB为直径，推出H在圆上，再由垂径定理求出OH的长，再在COH中由勾股定理求出圆的半径，进而求出CO，最后再求出BH，求得的值.【详解】解：过B点作BHx轴于H点，连接CH，如下图所示： AB为圆的直径，且AHB=90°由直径所对的圆周角为90°知：H必在圆C上.又AHy轴，由垂径定理知：OA=OH=2.设圆的半径CD=CH=r，则CO=DO-CD=4-r在RtCOH中，由勾股定理有：，解得CO =又O为AH的中点CO为ABH的中位线BH=2CO=3B点坐标为(2,3),故=6.故答案为：C.【点评】本题考查了

7、垂径定理、圆周角定理及其推论、中位线定理、反比例函数解析式的求法，属于综合题，熟练掌握圆周角定理及推论是解决此题的关键.6如图，的直径垂直于弦，垂足是点，则弦的长为（ ）ABCD【答案】A【分析】先根据垂径定理得到CE=DE，再根据圆周角定理得到BOC=2A=45°，则OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=4，从而得到CD的长【详解】解：CDAB，CE=DE，BOC=2A=2×22.5°=45°，OCE为等腰直角三角形，CE=sin45°×OC=×8=4，CD=2CE=8故选：A【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中

8、，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理，以及锐角三角函数的知识二、填空题7如图，两个同心圆，大圆的弦AB切小圆于点C，且AB10，则图中阴影部分面积为_【答案】【分析】如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得，再根据垂径定理可得，然后利用勾股定理可得，最后根据阴影部分面积等于大圆面积减去小圆面积即可得【详解】如图，连接OA、OC，由圆的切线的性质得：，由垂径定理得：，在中，则图中阴影部分面积为，故答案为：【点评】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键8如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在

9、x轴上方），过ABC三点的M满足MBC=45°，则点C的坐标为_【答案】（5，3）【分析】作轴，轴，垂足分别为D、E、F，连接DF，求出CF=BD=1，求出CE=x-2，再由点C在抛物线上，设C，可得方程，求解方程即可【详解】作轴，轴，垂足分别为D、E、F，连接DF，则中，设点C的坐标为对于，令y=0，则，解得，MDAB,BD=1，解得，（舍去），故答案为（5，3）【点评】此题主要考查了圆的基本性质和抛物线上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答本题的关键9如图，圆柱形水管的截面半径是，阴影部分为有水部分，水面宽，则水的最大深度是_【答案】1.6【分析】如图（见解析），先根据

10、圆的性质得出水的最大深度为CD的长，再根据垂径定理、勾股定理求出OC的长，由此即可得【详解】如图，设圆心为点O，过点O作于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA由圆的性质可知，圆的半径为，水的最大深度为CD的长由垂径定理得：在中，则即水的最大深度是故答案为：【点评】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，理解题意，正确找出水的最大深度为CD的长是解题关键10如图所示，在中，AB为弦，交AB于点D，且为上任意一点，连接PA，PB，若的半径为1，则的最大值为_【答案】【分析】如图（见解析），先根据垂径定理求出AB的长，再根据圆的性质得出AB边上高的最大值，然后利用三角形的面积公式即可得【详解

11、】如图，连接OA的半径为1，OC为圆的半径在中，要使取得最大值，则AB边上的高需最大，即点P到AB的距离需最大由圆的性质可知，当点共线时，点P到AB的距离最大，最大值为则故答案为：【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识点，利用圆的性质得出AB边上的高的最大值是解题关键11如图，AB是圆O的直径，CDAB于点E，交圆O于点D，OFAC于点F，BD=5，则OF=_【答案】【分析】利用垂径定理可得，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得BC=2OF，即可解决问题【详解】直径AB弦CD，BD=BC=5，OFAC，AF=FC，OA=OB，OF是三角形ABC的中位线 ,2OF=，故答案为：【点评

12、】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键12已知分别切于点，为上不同于的一点，则的度数是_【答案】或【分析】连接OA、OB，先确定AOB，再分就点C在上和上分别求解即可【详解】解：如图，连接OA、OB，PA、PB分别切于A、B两点，PAO=PBO=90°AOB=360°-90°-90°-80°=100°，当点C1在上时，则AC1B=AOB=50°当点C2在B上时，则AC2B+AC1B=180°，即.AC2B=130°故答案为或【点评】

13、本题主要考查了圆的切线性质和圆周角定理，根据已知条件确定AOB和分类讨论思想是解答本题的关键三、解答题13如图，已知是的直径，C，D是上的点，交于点E，连结（1）求证：；（2）若，求图中阴影部分的面积【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据圆周角定理得到ADB=90°，根据平行线的性质得到AEO=ADB=90°，即OCAD，于是得到结论；（2）连接CD，OD，根据等腰三角形的性质得到OCB=OBC=30°，根据平行线的性质得到OCB=CBD=30°，求得AOD=120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】（1）证明：AB是O的

14、直径，ADB=90°，OCBD，AEO=ADB=90°，即OCAD，又OC为半径，AE=ED；（2）解：连接CD，OD，OC=OB，OCB=OBC=30°，AOC=OCB+OBC=60°，OCBD，OCB=CBD=30°，COD=2CBD=60°，ABD=60°，AOD=120°，AB=6，BD=3，AD=3，OA=OB，AE=ED，OEBD，S阴影=S扇形AOD-SAOD=【点评】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键14已知AB是O的直径，C是O上的一点（不与点

15、A，B重合），过点C作AB的垂线交O于点D，垂足为E点（1）如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；（2）如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点求证：MEAC【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）先求出半径，然后利用勾股定理求出CE的长度，最后利用垂径定理即可求出CD的长度；（2）延长ME与AC交于点N，先利用直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质得出CEN=DEM=D，然后利用B=C，得出，则CNE =90°，则结论可证【详解】解：（1）如图1，连接OC AE=4，BE=2， AB =6，CO =AO=3， OE =AE-AO=1，CDAB， CE=AB是O的直径，

16、CDAB，CE=DE， CD=2CE= （2）证明：如图2，延长ME与AC交于点NCDAB，BED=90° M为BD中点， EM =BD =DM， DEM=D， CEN=DEM=D B=C， CNE =90°，即MEAB【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质是解题的关键15如图，是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8m， AB为O的劣弧，截面有水部分的最大深度为2m，求水管半径【答案】5【分析】过点O作ODAB于点D，连接OA，根据垂径

17、定理得到AD=4cm，设OA=r，则OD=r2，利用勾股定理得到，即，求值即可.【详解】如图，过点O作ODAB于点D，连接OA，ODAB，AD=AB=×8=4cm，设OA=r，则OD=r2，在RtAOD中，即，解得r=5cm.【点评】此题考查圆的垂径定理，勾股定理，再圆中，通常求圆的半径，弦的一半及弦心距三者中的一个量，都是利用垂径定理及勾股定理解决.16如图已知O的半径长为25，弦AB长为48，OC平分AB，求AC的长【答案】30【分析】OC平分AB，根据圆的性质得OHAB，通过勾股定理计算得OH，从而得到HC，再通过勾股定理计算即可得到AC【详解】连接OAOC平分AB，即H为AB

18、的中点OHAB在RtOAH中，OA=25，AH=24根据勾股定理得： HC=OC-OH=25-7=18在RtAHC中，根据勾股定理得：【点评】本题考查了圆和直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的性质，从而完成求解17如图，中，以为直径作半圆交与点，点为的中点，连结.（1）求证：是半圆的切线；（2）若，求的长.【答案】（1）见解析；（2）6.【分析】（1）连接OD，OE，BD，证OBEODE（SSS），得ODE=ABC=90°；（2）证DEC为等边三角形，得DC=DE=2.【详解】（1）证明：连接OD，OE，BD，AB为圆O的直径，ADB=BDC=90

19、76;，在RtBDC中，E为斜边BC的中点，DE=BE，在OBE和ODE中，OBEODE（SSS），ODE=ABC=90°，则DE为圆O的切线；（2）在RtABC中，BAC=30°，BC= AC，BC=2DE=4，AC=8，又C=60°，DE=CE，DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=AC-DC=6【点评】考核知识点：切线的判定和性质.18九章算术中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果为的直径，弦于，寸，寸，那么直径的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出的长【答案】补图见解

20、析；AB=26【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长【详解】解：如图所示，连接OD弦CDAB，AB为圆O的直径，E为CD的中点，又CD=10寸，CE=DE=CD=5寸，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（x-1）2+52=x2，解得：x=13，AB=26寸，即直径AB的长为26寸【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦

21、长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题19如图，AB、CD是O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AECE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE1，BE3，OE（1）求证：AEDCEB；（2）求证：FGAD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析【分析】（1）由圆周角定理得AC，由ASA得出AEDCEB；（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EFBCBF，由等腰三角形的性质得FEBB，由圆周角定理和对顶角相等证出AAEG90°，进而得出结论；

22、（3）作OHAB于H，连接OB，由垂径定理得出AHBHAB2，则EHAHAE1，由勾股定理求出OH1，OB，由一条直线l到圆心O的距离dO的半径，即可得出结论【详解】（1）证明：由圆周角定理得：AC，在AED和CEB中，AEDCEB（ASA）；（2）证明：ABCD，AEDCEB90°，C+B90°，点F是BC的中点，EFBCBF，FEBB，AC，AEGFEBB，A+AEGC+B90°，AGE90°，FGAD；（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OHAB于H，连接OB，如图所示：AE1，BE3，ABAE+BE4，OHAB，AHBHAB2，EHAHAE

23、1，OH1，OB，即O的半径为，一条直线l到圆心O的距离dO的半径，直线l是圆O的切线【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键20如图，是的直径，点C，点D在上，与相交于点E，与相切于点A，与延长线相交于点F（1）求证：（2）若，求的半径【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据圆周角定理得到ACB=90°，根据切线性质得到BAF=90°，由得出CAD=CDA，结合CDA=ABC，证明CAF=CAD，从而证明A

24、CFACE，即可得到结论；（2）根据EF求出CE，结合sinABF=sinCAD求出AE，再利用勾股定理算出AC，最后根据sinABF=求出AB即可得到半径【详解】解：（1）AB为圆O直径，ACB=90°，AF与圆O相切，BAF=90°=CAF+CAB，CBA+CAB=90°，AC=CD，CAD=CDA，又CDA=CBA，CDA+CAB=CAD+CAB=90°，CAF=CAD，又AC=AC，ACF=ACE=90°，ACFACE（ASA），AE=AF；（2）ABF=ADC=CAD，sinABF=sinCAD=，ACFACE，EF=12，CE=CF

25、=6，=，解得：AE=10，AC=8，sinABF=，AB=，圆O的半径为【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正弦的定义，知识点较多，有一定难度，解题时要注意多个知识点相结合21如图，五边形ABCDE内接于O，CF与O相切于点C，交AB延长线于点F（1）若AEDC，EBCD，求证：DEBC；（2）若OB4，ABBDDA，F45°，求CF的长【答案】（1）见解析；（2）CF4+2【分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出，由圆周角定理得出ADEDBC，证明ADEDBC，即可得出结论；（2）连接CO并延长交AB于G，作OHAB于H，则OHGOHB90

26、76;，由切线的性质得出FCG90°，得出CFG、OGH是等腰直角三角形，得出CFCG，OGOH，由等边三角形的性质得出OBH30°，由直角三角形的性质得出OHOB1，OG，即可得出答案【详解】（1）证明：AEDC，ADEDBC在ADE和DBC中，ADEDBC （AAS）DEBC；（2）解：连接CO并延长交AB于G，作OHAB于H，如图所示：则OHGOHB90°，CF与O相切于点C，FCG90°F45°，CFG、OGH是等腰直角三角形，CFCG，OGOHABBDDA，ABD是等边三角形，ADB60°AOB2ADB120°BO

27、HBOA60°，OBH30°OHOB2OG2CFCGOC+OG4+2【点评】本题主要考查了圆的综合应用，准确计算是解题的关键22如图，为的直径，为弦的中点，连接并延长，交弧于点，过点作的切线，交的延长线于点（1）求证：ACDE；（2）连接、填空当的度数为_时，四边形为菱形；当时，四边形的面积为_【答案】（1）见解析；（2）30°；【分析】（1）由垂径定理以及切线的性质可得FOAC，ODDE，可得ACDE；（2）当OAC=30°时，四边形AOCD是菱形，连接CD，AD，OC，由题意可证ADO是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF=OF，AF=FC，且AC

28、OD，可得四边形AOCD为菱形；由题意易证AFOODE，利用相似三角形的性质可得，即OD=2OF，DE=2AF=AC，可证四边形ACDE是平行四边形，由勾股定理可求DE的长，即可求四边形ACDE的面积【详解】（1）F为弦AC的中点，AF=CF，且OF过圆心O，FOAC，DE是O切线，ODDE，DEAC；（2）当OAC=30°时，四边形AOCD是菱形，理由如下：如图，连接CD，AD，OC，OAC=30°，OFAC，AOF=60°，AO=DO，AOF=60°，ADO是等边三角形，又AFDO，DF=FO，且AF=CF，四边形AOCD是平行四边形，又AO=CO，

29、四边形AOCD是菱形；故答案为：30°；如图，连接CD，ACDE，AFOODE，OD=2OF，DE=2AF，AC=2AF，DE=AC，且DEAC，四边形ACDE是平行四边形，OA=AE=OD=2，OF=DF=1，OE=4，在RtODE中，DE=，S四边形ACDE=DEDF=，故答案为：【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键23如图，中，是的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接（1）求证：是的切线；（2）的半径为，求的长【答

30、案】（1）见解析 （2）【分析】（1）由垂径定理可知ODAE，由于FC=BC，所以CFB=DFG=CBF，由于D+DFG=90°，所以OBD+CBF=90°，从而可知BC是O的切线；（2）连接AD，根据OA=5，得出OG=3，AG=4，易证DAGFDG，所以DG2=AGFG，从而可求出FG的长度，利用勾股定理即可求出FD的长度【详解】（1）点是的中点， 即是的半径，是的切线（2）连接，是的直径，由勾股定理可知：【点评】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，切线的判定与性质等知识，本题属于中等题型24如图，AB为O的直径，点C在O上，AD与

31、过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E（1）求证：AE=AB；（2）若AB=10，BC=6，求CD的长【答案】（1）见解析；（2）【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD/OC,可得OCBE,即可推出ABEE,AE=AB(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由EDCECA得出相似比,求出CD即可【详解】（1）证明：连接OCCD与O相切于C点OCCD又CDAEOC/AEOCBEOC=OBABEOCBABEEAE=AB（2）连接ACAB为O的直径ACB90°AB=AE，ACBEEC=BC=6DECCEA, EDCECAEDCECA【点评】本题考查圆与三角

32、形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解25如图，是的直径，点是弧的中点（1）如图1，求证：；（2）如图2，若于点，交于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于，连接，交于、交于点，已知，求的长【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6【分析】(1)连接OF,根据等弧对等角得出,再根据三线合一即可证明AH=FH(2)延长交于点，连接,由弧长等量代换和等弧对等角,得出FAC=MCA,即可得AE=CE(3) 连接,推出AT=AO, 再连接，作,由推出,再由(1)中的信息求出BC, 作于点，连接OR,证明,由矩形性质即可求出CR【详解】解：（1）连接

33、，点是弧的中点，弧弧；（2）延长交于点，连接，是的直径弧弧弧弧弧弧；（3）连接是的直径设弧弧连接，作于点，弧弧，是的直径，由（1）知，作于点，连接，四边形是矩形，【点评】本题考查圆的综合性质,关键在于合理作出辅助线对角度和线段进行转换26如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点弦平分，交直径于点，连接（1）求证：平分；（2）探究线段，之间的大小关系，并加以证明；（3）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OCCD，则ADOC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；（2）根据圆周角定理

34、以及三角形的外角的性质定理证明PFC=PCF，根据等角对等边即可证得；（3）证明PCBPAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，在直角POC中利用勾股定理即可列方程求解【详解】解：（1）连接OCOA=OC，OAC=OCAPC是O的切线，ADCD，OCP=D=90°，OCADCAD=OCA=OAC即AC平分DAB（2）PC=PF证明：AB是直径，ACB=90°，PCB+ACD=90°又CAD+ACD=90°，CAB=CAD=PCB又ACE=BCE，PFC=CAB+ACE，PCF=PCB+BCEPFC=PCFPC=PF（3）连接AEACE=BCE，AE=BE又AB是直径，AEB=90°AB= BE10，OB=OC=5PCB=PAC，P=P，PCBPACtanPCB=tanCAB=设PB=3x，则PC=4x，在RtPOC中，（3x+5）2=（4x）2+52，解得x1=0，x2x0，x，PF=PC=【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题