2018年中考数学突破瓶颈疑难解答专题八讲：2018年中考数学突破瓶颈疑难解答专题第四讲情景应用型问题（免费学习）.docx

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1、专题第四讲情景应用问题【要点梳理】情境应用问题是以现实生活为背景，取材新颖，立意巧妙，重在考查阅读理解能力和数学建模能力，让学生在阅读理解的基础上，将实际问题转化为数学问题其主要类型有代数型(包括方程型、不等式型、函数型、统计型)和几何型两大类解决代数型应用问题：关键是审题，弄清关键词句的含义；重点是分析，找出问题中的数量关系，并将其转化为数学式子，进行整理、运算、解答解决几何型应用问题：一般是先将实际问题转化为几何问题，再运用相关的几何知识进行解答，要注重数形结合，充分利用“图形”的直观性和“数”的细微性【学法指导】 (1)方程(组)、不等式、函数型情境应用题：解决这类问题的关键是针对背景材

2、料，设定合适的未知数，找出相等关系，建立方程(组)、不等式、函数型模型来解决；(2)统计概率型应用题：解决这类问题：要能从多个方面去收集数据信息，特别注意统计图表之间的相互补充和利用；通过对数据的整理，能从统计学角度出发去描述、分析，并作出合理的推断和预测；(3)几何型情境应用题：解决这类问题的关键是在理解题意的基础上，对问题进行恰当地抽象与概括，建立恰当的几何模型，从而确定某种几何关系，利用相关几何知识来解决几何求值问题，当未知量不能直接求出时，一般需设出未知数，继而建立方程(组)，用解方程(组)的方法去求结果，这是解题中常见的具有导向作用的一种思想【考点解析】方程型情境应用题(2017湖北

3、宜昌)某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，

4、若这样，辅助配套工程也可以如期完工经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2，可得答案（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得x、b的

5、值可得答案（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得【解答】解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54×=36（亿元）；（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据题意，得：，解得：，市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，由题意，得：20（1y）2=5，解得：y1=0.

6、5，y2=1.5（舍）答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%不等式型情境应用题（2017山东聊城）在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元（1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？（2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的少90台，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的

7、学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）设该型号的学生用电脑的单价为x万元，教师用笔记本电脑的单价为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可得到结果；（2）设能购进的学生用电脑m台，则能购进的教师用笔记本电脑为（m90）台，根据“两种电脑的总费用不超过预算438万元”列出不等式，求出不等式的解集【解答】解：（1）设该型号的学生用电脑的单价为x万元，教师用笔记本电脑的单价为y万元，依题意得：，解得，经检验，方程组的解符合题意答：该型号的学生用电脑的单价为0.19万元，教师用笔记本电脑的单价为0.3万元

8、；（2）设能购进的学生用电脑m台，则能购进的教师用笔记本电脑为（m90）台，依题意得：0.19m+0.3×（m90）438，解得m1860所以m90=×186090=282（台）答：能购进的学生用电脑1860台，则能购进的教师用笔记本电脑为282台统计与概率型情境应用题（2017山东临沂）为了解某校学生对最强大脑、朗读者、中国诗词大会、出彩中国人四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计9要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表： 学生最喜爱的节目人数统计表 节目 人数（名） 百分比 最强大脑 5 10% 朗读者 15

9、b% 中国诗词大会 a 40% 出彩中国人 10 20%根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）x=50，a=20，b=30；（2）补全上面的条形统计图；（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱中国诗词大会节目的学生有多少名【分析】（1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出x的值，进而求出a与b的值即可；（2）根据a的值，补全条形统计图即可；（3）由中国诗词大会的百分比乘以1000即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：x=5÷10%=50，a=50×40%=20，b=×100=30；故答案为：50；20；30；（2）中国诗词大会的人数

10、为20人，补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1000×40%=400（名），则估计该校最喜爱中国诗词大会节目的学生有400名【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本题的关键几何型情境应用题（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若ACB=ACD=ABD=ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD

11、小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60°”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明（2）小华提出：如图5，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60°”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=”，其它条件不变，那么线段BC，CD

12、，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明【分析】（1）先判断出ADE=ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再得出AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断ADE=ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）（2）先判断出ADE=ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论【解答】解：（1）BC+CD=AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，ABD=ADB=45°，AB=AD，BAD=180°ABDADB=90°，ACB=ACD=45°，ACB+ACD=45°，BAD+B

13、CD=180°，ABC+ADC=180°，ADC+ADE=180°，ABC=ADE，在ABC和ADE中，ABCADE（SAS），ACB=AED=45°，AC=AE，ACE是等腰直角三角形，CE=AC，CE=CE+DE=CD+BC，BC+CD=AC；（2）BC+CD=2ACcos理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，ABD=ADB=，AB=AD，BAD=180°ABDADB=180°2，ACB=ACD=，ACB+ACD=2，BAD+BCD=180°，ABC+ADC=180°，ADC+ADE=180°，A

14、BC=ADE，在ABC和ADE中，ABCADE（SAS），ACB=AED=，AC=AE，AEC=，过点A作AFCE于F，CE=2CF，在RtACF中，ACD=，CF=ACcosACD=ACcos，CE=2CF=2ACcos，CE=CD+DE=CD+BC，BC+CD=2ACcos【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目【真题训练】训练一：（2017重庆B）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产（1）该地某果农今年收获樱

15、桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值训练二：（2017甘肃天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划

16、购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？训练三：（2017温州）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每

17、位学生必须且只选其中一门）（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率（要求列表或画树状图）训练四：(2017湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”理解：（1）如图1，已知A、B是O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2

18、，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在O上存在一点P，使得OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标训练五：（2017湖北随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点下面是两位学生有代表性的证明思路：思路1：不

19、需作辅助线，直接证三角形全等；思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；（2）如图2，在（1）的前提下，当ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值参考答案：训练一：（2017重庆B）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获

20、的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，

21、进而得出答案【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400x7x，解得：x50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1m%）×30+200×（1+2m%）×20（1m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1y）+4000（1+2y）（1y）=7000，整理可得：8y2y=0解得：y1=0，y2=0.125m1=0（舍去），m2=12.5m2=12.5，答：m的值为12.5【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是解题关

22、键训练二：（2017甘肃天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A

23、：二元一次方程组的应用【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，解得，答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元（2）设购买A型公交车a辆，则B型

24、公交车（10a）辆，由题意得，解得：a，因为a是整数，所以a=6，7，8；则（10a）=4，3，2；三种方案：购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元训练三：（2017温州）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（

25、每位学生必须且只选其中一门）（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率（要求列表或画树状图）【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VC：条形统计图【专题】11 ：计算题【分析】（1）利用样本估计总体，用480乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出他和小慧被

26、分到同一个班的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）480×1815+27+18+36=90，估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数为90人；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2，所以他和小慧被分到同一个班的概率=26=13【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率训练四：(2017湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”理

27、解：（1）如图1，已知A、B是O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在O上存在一点P，使得OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标【考点】MR：圆的综合题【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然

28、后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解【解答】解：（1）如图1所示：（2）AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，E是DC的中点，DE=CE=2a，BC：FC=4：1，FC=a，BF=4aa=3a，在R

29、tADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在RtECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在RtABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，AE2+EF2=AF2，AEF是直角三角形，斜边AF上的中线等于AF的一半，AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ=2，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM=，故点P的坐标（，），（，）训练五：（2017湖北随州）如图，分别是可活动的菱形

30、和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点下面是两位学生有代表性的证明思路：思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；（2）如图2，在（1）的前提下，当ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值【考点】SO：相似形综合题【分析】（

31、1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，ABCD，利用平行四边形的性质得AB=EF，ABEF，则CD=EF，CDEF，再根据平行线的性质得CDM=FEM，则可根据“AAS”判断CDMFEM，所以DM=EM；证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AFBE，再根据平行线分线段成比例定理得到=1，所以DM=EM；（2）由CDMFEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD为正方形得到AC=a，接着证明ANF为等腰直角三角形得到NF=a+b，则NE=NF+EF=2a+b，然后计算的值；（4）由于=+=k，则=，然后表示出=+1，再把=代入计

32、算即可【解答】解：（1）如图1，证法一：四边形ABCD为菱形，AB=CD，ABCD，四边形ABEF为平行四边形，AB=EF，ABEF，CD=EF，CDEF，CDM=FEM，在CDM和FEM中，CDMFEM，DM=EM，即点M是DE的中点；证法二：四边形ABCD为菱形，DH=BH，四边形ABEF为平行四边形，AFBE，HMBE，=1，DM=EM，即点M是DE的中点；（2）CDMFEM，CM=FM，设AD=a，CM=b，ABE=135°，BAF=45°，四边形ABCD为菱形，NAF=45°，四边形ABCD为正方形，AC=AD=a，ABEF，AFN=BAF=45°，ANF为等腰直角三角形，NF=AF=（a+b+b）=a+b，NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，=；（4）=+=k，=k，=，=+1=+1=