2018年中考数学一轮复习20讲（专题知识归纳＋2017年真题解析）：第13讲二次函数综合应用 知识归纳＋真题解析（2017年真题）（免费学习）.doc

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1、【知识归纳】一二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的公共点有三种情况： 公共点（即有两个交点）， 公共点， 公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)，一元二次方程ax2+bx+c=0有 个不等实根=b2-4ac 0。(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有 实根， (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点，

2、一元二次方程ax2+bx+c=0 根=b2-4ac 0.二二次函数的应用.利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.【知识归纳答案】一二次函数与一元二次方程的关系两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根=b2-4ac0。(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0) 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点，一元二次方程

3、ax2+bx+c=0没有实数根=b2-4ac0.二二次函数的应用.利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.真题解析一选择题（共5小题）1设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a0）的图象的对称轴，（）A若m1，则（m1）a+b0B若m1，则（m1）a+b0C若m1，则（m1）a+b0D若m1，则（m1）a+b0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系【分析】根据对称轴，可得b=2a，根据有理数的乘法，可得答案【解答】解：由对称轴，得b=2a（m+1）a+b=ma+a2a=（m1）a，当m1时，（m1）a0，（m1）a+b与0无

4、法判断当m1时，（m1）a0，（m1）a+b0故选：C2如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论ab0，abc0，1，其中错误的个数是（）A3B2C1D0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号，对称轴在y轴的右侧判断b的符号，抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号，以及抛物线与x轴的交点个数判断b24ac的符号【解答】解：抛物线的开口向上，a0，对称轴在y轴的右侧，b0，ab0，故错误；抛物线和y轴的负半轴相交，c0，abc0，故正确；抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，1，故正确；故选C3已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图

5、所示，以下四个结论：a0；c0；b24ac0；0，正确的是（）ABCD【考点】H4：二次函数图象与系数的关系【分析】由抛物线开口向上可得出a0，结论正确；由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得出c0，结论错误；由抛物线与x轴有两个交点，可得出=b24ac0，结论正确；由抛物线的对称轴在y轴右侧，可得出0，结论错误综上即可得出结论【解答】解：抛物线开口向上，a0，结论正确；抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，c0，结论错误；抛物线与x轴有两个交点，=b24ac0，结论正确；抛物线的对称轴在y轴右侧，0，结论错误故选C4如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x0）和抛物线C2：y=（x0

6、）交于A，B两点，过点A作CDx轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EFx轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）ABCD【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度，即可解题【解答】解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为，BEx轴，点F纵坐标为，点F是抛物线y=x2上的点，点F横坐标为x=，CDx轴，点D纵坐标为a2，点D是抛物线y=上的点，点D横坐标为x=2a，AD=a，BF=a，CE=a2，OE=a2，则=×=，故选 D5如图，将函数y=（x2）2

7、+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）ABCD【考点】H6：二次函数图象与几何变换【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作ACx轴，交BB的延长线于点C，则C（4，1），AC=41=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA=3，然后根据平移规律即可求解【解答】解：函数y=（x2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），m=（12）2+1=1，n=（42）2+1=3，A（

8、1，1），B（4，3），过A作ACx轴，交BB的延长线于点C，则C（4，1），AC=41=3，曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），ACAA=3AA=9，AA=3，即将函数y=（x2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，新图象的函数表达式是y=（x2）2+4故选D二填空题（共5小题）6对于实数p，q，我们用符号minp，q表示p，q两数中较小的数，如min1，2=1，因此，min， =；若min（x1）2，x2=1，则x=2或1【考点】H3：二次函数的性质；2A：实数大小比较【分析】首先理解题意，进而可得min， =，min（x1）2，x2=1时再分情况讨论，当x

9、=0.5时，x0.5时和x0.5时，进而可得答案【解答】解：min， =，min（x1）2，x2=1，当x=0.5时，x2=（x1）2，不可能得出，最小值为1，当x0.5时，（x1）2x2，则（x1）2=1，x1=±1，x1=1，x1=1，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），当x0.5时，（x1）2x2，则x2=1，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=1，故答案为：；2或17若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是1（写一个即可）【考点】H3：二次函数的性质【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c的开口向下

10、，a0，a的值可能是1，故答案为：18已知抛物线：y=ax2+bx+c（a0）经过A（1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：b1；c2；0m；n1则所有正确结论的序号是【考点】H4：二次函数图象与系数的关系【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出b=a+1、c=2a+2，结合a0，可得出b1、c2，即结论正确；由抛物线顶点的横坐标m=，可得出m=，即m，结论不正确；由抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A（1，1），可得出n1，结论正确综上即可得出结论【解答】解：抛物线过点A（1，1），B（2，4），b=a+1，c=2a+2a0，b1，c2，结论正确；抛物线

11、的顶点坐标为（m，n），m=，m，结论不正确；抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A（1，1），顶点坐标为（m，n），n1，结论正确综上所述：正确的结论有故答案为：9已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2m8【考点】H6：二次函数图象与几何变换【分析】根据向下平移横坐标不变，分别代入B的横坐标和D的横坐标求得对应的函数值，即可求得m的取值范围【解答】解：设平移后的解析式为y=y=（x+1）2m，将B点坐标代入，得4m=2，解得m=2，将D点坐标

12、代入，得9m=1，解得m=8，y=（x+1）2向下平移m个单位（m0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2m8，故答案为：2m810如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：abc0；方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点是（1，0）；当1x4时，有y2y1；x（ax+b）a+b，其中正确的结论是（只填写序号）【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交

13、点【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可【解答】解：由图象可知：a0，b0，c0，故abc0，故错误观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故正确根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（2，0），故错误，观察图象可知，当1x4时，有y2y1，故错误，因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+ca+b+c，即x（ax+b）a+b，故正确，所以正确，故答案为三解答题（共7小题）11设a、b是任意两个实数，用maxa，b表示a、b两数中较大者，例如：max1，1=1，max1，2=2，max4，3=4

14、，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max5，2=5，max0，3=3；（2）若max3x+1，x+1=x+1，求x的取值范围；（3）求函数y=x22x4与y=x+2的图象的交点坐标，函数y=x22x4的图象如图所示，请你在图中作出函数y=x+2的图象，并根据图象直接写出maxx+2，x22x4的最小值【考点】H7：二次函数的最值；F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；H2：二次函数的图象【分析】（1）根据maxa，b表示a、b两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max3x+1，x+1=x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可

15、求出交点坐标，画出直线y=x+2的图象，观察图形，即可得出maxx+2，x22x4的最小值【解答】解：（1）max5，2=5，max0，3=3故答案为：5；3（2）max3x+1，x+1=x+1，3x+1x+1，解得：x0（3）联立两函数解析式成方程组，解得：，交点坐标为（2，4）和（3，1）画出直线y=x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x=3时，maxx+2，x22x4取最小值1（2）当y=0时（x+a）（xa1）=0，解得x1=a，x2=a+1，y1的图象与x轴的交点是（a，0），（a+1，0），当y2=ax+b经过（a，0）时，a2+b=0，即b=a2；当y2=ax+b经过（a+1，

16、0）时，a2+a+b=0，即b=a2a；（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由mn，得0x0；当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，由mn，得x01，综上所述：mn，求x0的取值范围0x0113如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且SABP=4SCOE，求P点坐标注：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，）【考点】H4：

17、二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x0，y0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标【解答】解：（1）由点A（1，0）和点B（3，0）得，解得：，抛物线的解析式为y=x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，C（0，3），y=x2+2x+3=（x1）2+4，D（1，4）；（3）设P（x，

18、y）（x0，y0），SCOE=×1×3=，SABP=×4y=2y，SABP=4SCOE，2y=4×，y=3，x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，P（2，3）14如图，AOB的顶点A、B分别在x轴，y轴上，BAO=45°，且AOB的面积为8（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C若ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换；KH：等腰

19、三角形的性质【分析】（1）首先证明OA=OB，利用三角形的面积公式，列出方程即可求出OA、OB，由此即可解决问题；（2）首先确定A、B、C的坐标，再利用的待定系数法即可解决问题；抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，4），设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，4）代入得到n=14m，可得抛物线的解析式为y=mx2+（14m）2x，由，消去y得到mx24mx4=0，由题意=0，可得16m2+16m=0，求出m的值即可解决问题【解答】解：（1）在RtAOB中，BAO=45°，AO=BO，OAOB=8，OA=OB=4，A（4，0），B（0，4）（2）由题意抛物线经过C

20、（4，0），B（0，4），A（4，0），顶点为B（0，4），时抛物线解析式为y=ax2+4，（4，0）代入得到a=，抛物线的解析式为y=x2+4抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，4），设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，4）代入得到n=14m，抛物线的解析式为y=mx2+（14m）2x，由，消去y得到mx24mx4=0，由题意=0，16m2+16m=0，m0，m=1，抛物线的解析式为y=x2+3x，由，解得，N（2，2）15已知抛物线C1：y=ax24ax5（a0）（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定

21、点，并求出这两个定点的坐标；将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换【分析】（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题； 根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或2，即可解题；【解答】解：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x24x5=（x2）29，对称轴为x=2；当y=0时，x2=3或3，即x=1或5；抛物线与x轴的交点坐标为（1，

22、0）或（5，0）；（2）抛物线C1解析式为：y=ax24ax5，整理得：y=ax（x4）5；当ax（x4）=0时，y恒定为5；抛物线C1一定经过两个定点（0，5），（4，5）；这两个点连线为y=5；将抛物线C1沿y=5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；抛物线C2解析式为：y=ax2+4ax5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者2；当y=2时，2=4a+8a5，解得，a=；当y=2时，2=4a+8a5，解得，a=；a=或；16湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售已知每天

23、放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示分别求出当0t50和50t100时，y与t的函数关系式；设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值（利润=销售总额总成本）【考点】HE：二次函数的应用当50t100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2，将点（50，25）、代入，得：，解得：，

24、y与t的函数解析式为y=t+30；由题意，当0t50时，W=20000（t+15）=3600t，36000，当t=50时，W最大值=180000（元）；当50t100时，W=（t+30）=10t2+1100t+150000=10（t55）2+180250，100，当t=55时，W最大值=180250（元），综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元17我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表

25、所示，网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示时间t（天）051015202530日销售量y1（百件）025404540250（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值【考点】HE：二次函数的应用【分析】（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（

26、5，25），（10，40）代入即可得到结论；（2）当0t10时，设y2=kt，求得y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10t30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y2与t的函数关系式为：y2=k+30，（3）依题意得y=y1+y2，当0t10时，得到y最大=80；当10t30时，得到y最大=91.2，于是得到结论【解答】解（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入得：，解得，y1与t的函数关系式为：y1=t2+6t（0t30，且为整数）；（2）当0t10时，设y2=kt，（10，40）在其图象上，10k=40，k=4，y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10t30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得，解得，y2与t的函数关系式为：y2=k+30，综上所述，y2=；（3）依题意得y=y1+y2，当0t10时，y=t2+6t+4t=t2+10t=（t25）2+125，t=10时，y最大=80；当10t30时，y=t2+6t+t+30=t2+7t+30=（t）2+，t为整数，t=17或18时，y最大=91.2，91.280，当t=17或18时，y最大=91.2（百件）